Нильрадикал кольца

В алгебре нильрадикал состоящий коммутативного кольца — это идеал, из нильпотентных элементов :

${\mathfrak {N}}_{R}=\lbrace f\in R\mid f^{m}=0{\text{ for some }}m\in \mathbb {Z} _{>0}\rbrace .$

Таким образом, это радикал нулевого идеала . Если нильрадикал является нулевым идеалом, кольцо называется приведенным кольцом . Нильрадикал коммутативного кольца — это пересечение всех простых идеалов .

В случае некоммутативного кольца то же определение не всегда работает. Это привело к тому, что несколько радикалов по-разному обобщили коммутативный случай; см. в статье « Радикал кольца» дополнительную информацию об этом .

Нильрадикал алгебры Ли определяется аналогично для алгебр Ли .

Коммутативные кольца

Нильрадикал коммутативного кольца — это совокупность всех нильпотентных элементов в кольце или, что то же самое, радикал нулевого идеала . Это идеал, потому что сумма любых двух нильпотентных элементов нильпотентна (по биномиальной формуле ), а произведение любого элемента на нильпотентный элемент нильпотентен (по коммутативности). Его также можно охарактеризовать как пересечение всех простых идеалов кольца (фактически это пересечение всех минимальных простых идеалов ).

Предложение - Позволять $R$ быть коммутативным кольцом. Тогда нильрадикал ${\mathfrak {N}}_{R}$ из $R$ равно пересечению всех простых идеалов $R.$

Доказательство

Во-первых, нильрадикал содержится в каждом простом идеале. Действительно, если $r\in {\mathfrak {N}}_{R},$ у одного есть $r^{n}=0$ для некоторого положительного целого числа $n.$ Поскольку каждый идеал содержит 0, а каждый простой идеал содержит произведение, то здесь $r^{n}=0,$ содержит один из своих множителей, можно сделать вывод, что каждый простой идеал содержит $r.$

И наоборот, пусть $f\notin {\mathfrak {N}}_{R};$ нам нужно доказать, что существует простой идеал, не содержащий $f.$ Рассмотрим набор $\Sigma$ всех идеалов, которые не содержат в себе никакой силы $f.$ У одного есть $(0)\in \Sigma ,$ по определению нильрадикала. Для каждой цепи $J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \dots$ идеалов в $\Sigma ,$ союз ${\textstyle J=\bigcup _{i\geq 1}J_{i}}$ это идеал, принадлежащий $\Sigma ,$ поскольку в противном случае оно содержало бы в себе силу $f,$ который должен принадлежать какому-то $J_{i},$ противоречащее определению $J_{i}.$

Так, $\Sigma$ — частично упорядоченное по множеству включение такое, что каждая цепочка имеет наименьшую верхнюю границу . Таким образом, применима лемма Цорна и существует максимальный элемент ${\mathfrak {m}}\in \Sigma$. Мы должны доказать, что ${\mathfrak {m}}$ является первичным идеалом. Если бы он не был простым, было бы два элемента $g\in R$ и $h\in R$ такой, что $g\notin {\mathfrak {m}},$ $h\notin {\mathfrak {m}},$ и $gh\in {\mathfrak {m}},$Позволять $g,h\in {\mathfrak {m}}.$ По максимальности ${\mathfrak {m}},$ у одного есть ${\mathfrak {m}}+(g)\notin \Sigma$ и ${\mathfrak {m}}+(h)\notin \Sigma .$ Значит, существуют целые положительные числа $r$ и $s$ такой, что $f^{r}\in {\mathfrak {m}}+(g)$ и $f^{s}\in {\mathfrak {m}}+(h).$ Отсюда следует, что $f^{r}f^{s}=f^{r+s}\in {\mathfrak {m}}+(gh)={\mathfrak {m}},$ опровергая тот факт, что ${\mathfrak {m}}$ находится в $\Sigma$. На этом доказательство закончено, поскольку мы доказали существование простого идеала, не содержащего $f.$

Кольцо называется приведенным, если оно не имеет ненулевой нильпотента. Таким образом, кольцо редуцировано тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Если R — произвольное коммутативное кольцо, то факторизация его по нильрадикалу является приведенным кольцом и обозначается через $R_{\text{red}}$.

Поскольку каждый максимальный идеал является простым идеалом, радикал Джекобсона , который является пересечением максимальных идеалов, должен содержать нильрадикал. Кольцо R называется кольцом Джекобсона если нильрадикал и радикал Джекобсона кольца R / P совпадают для всех простых идеалов P кольца R. , Артиново кольцо — джекобсоновское, а его нильрадикал — максимальный нильпотентный идеал кольца. В общем случае, если нильрадикал конечно порожден (например, кольцо нётерово ), то он нильпотентен .

Некоммутативные кольца

Дополнительная информация: Радикал кольца.

Для некоммутативных колец существует несколько аналогов нильрадикала. Нижний нильрадикал (или радикал Бэра – Маккоя, или простой радикал) является аналогом радикала нулевого идеала и определяется как пересечение простых идеалов кольца. Аналогом множества всех нильпотентных элементов является верхний нильрадикал, который определяется как идеал, порожденный всеми ниль-идеалами кольца, которое само является ниль-идеалом. Само множество всех нильпотентных элементов не обязательно должно быть идеалом (или даже подгруппой ), поэтому верхний нильрадикал может быть намного меньше этого множества. Радикал Левицкого находится посередине и определяется как наибольший локально нильпотентный идеал. Как и в коммутативном случае, когда кольцо артиново, радикал Левицкого нильпотентен, а значит, является единственным наибольшим нильпотентным идеалом. Действительно, если кольцо просто нётерово, то нижний, верхний радикал и радикал Левицкого нильпотентны и совпадают, что позволяет определить нильрадикал любого нётерова кольца как единственный наибольший (левый, правый или двусторонний) нильпотентный идеал кольца. кольцо.

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид , «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии», Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN   0-387-94268-8 .
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-95325-0 , МР   1838439