Радикал кольца

В теории колец , разделе математики , радикал кольца — это идеал «нехороших» элементов кольца .

Первым примером радикала был нильрадикал , введенный Кёте (1930) на основе предположения Веддерберна (1908) . В последующие несколько лет было открыто несколько других радикалов, наиболее важным примером которых является радикал Джекобсона . Общая теория радикалов была разработана независимо (Амицуром 1952 , 1954 , 1954b ) и Курошем (1953) .

Определения

В теории радикалов кольца обычно считаются ассоциативными , но не обязательно должны быть коммутативными и не обязательно иметь мультипликативную идентичность . В частности, каждый идеал в кольце также является кольцом.

( Радикальный класс также называемый радикальным свойством или просто радикалом ) — это класс колец σ, возможно, без мультипликативных тождеств, такой, что:

гомоморфный σ образ кольца в σ также находится в
каждое кольцо R содержит идеал S ( R ) в σ, который содержит любой другой идеал кольца R , принадлежащий σ.
S ( R / S ( R )) = 0. Идеал S ( R ) называется радикалом или σ-радикалом R .

Исследование таких радикалов называется торсионной теорией .

Для любого класса колец δ существует наименьший радикальный класс L δ, содержащий его, называемый нижним радикалом δ. Оператор L называется нижним радикальным оператором .

Класс колец называется регулярным , если каждый ненулевой идеал кольца в этом классе имеет ненулевой образ в этом классе. Для каждого регулярного класса колец δ существует наибольший радикальный класс U δ, называемый верхним радикалом кольца δ, имеющий нулевое пересечение с δ. Оператор U называется верхнерадикальным оператором .

Класс колец называется наследственным , если каждый идеал кольца этого класса также принадлежит этому классу.

Примеры

Радикал Джейкобсона

Пусть R — любое кольцо, не обязательно коммутативное. Радикал Джекобсона R есть пересечение аннуляторов всех простых правых R -модулей .

Существует несколько эквивалентных характеристик радикала Джекобсона, таких как:

J( R ) — пересечение регулярных максимальных правых (или левых) идеалов кольца R .
J( R — пересечение всех правых (или левых) примитивных идеалов R ) .
J( R ) — максимальный правый (или левый) квазирегулярный правый (соответственно левый) идеал кольца R .

Как и в случае с нильрадикалом , мы можем распространить это определение на произвольные двусторонние идеалы I , определив J( I ) как прообраз J( R/I ) при отображении проекции R → R/I .

Если R коммутативен, радикал Джекобсона всегда содержит нильрадикал. Если кольцо R является конечно порожденной Z - алгеброй , то нильрадикал равен радикалу Джекобсона, и в более общем смысле: радикал любого идеала I всегда будет равен пересечению всех максимальных идеалов R содержащих I. , Это говорит о том, что R — кольцо Джекобсона .

Радикал Бэра

Радикал Бэра кольца есть пересечение простых идеалов кольца R . Эквивалентно это наименьший полупервичный идеал в R . Радикал Бэра — это нижний радикал класса нильпотентных колец. Также называется «нижним нильрадикалом» (и обозначается Nil _∗ R ), «первичным радикалом» и «радикалом Бэра-Маккоя». Каждый элемент радикала Бэра нильпотентен , поэтому это нулевой идеал .

Для коммутативных колец это просто нильрадикал , который точно соответствует определению радикала идеала .

Верхний нулевой радикал или радикал Кете

Сумма ниль-идеалов кольца R есть верхний нильрадикал Nil ^*R или радикал Кёте и является уникальным наибольшим нулевым идеалом R . Гипотеза Кёте спрашивает, находится ли какой-либо левый нуль-идеал в нильрадикале.

Единственный радикал

Элемент кольца (возможно, некоммутативного кольца) называется левосингулярным, если он аннулирует существенный левый идеал, т. е. является сингулярным слева, если Ir = 0 для некоторого существенного левого идеала I. r Множество левых сингулярных элементов кольца R представляет собой двусторонний идеал, называемый левым сингулярным идеалом , и обозначается ${\mathcal {Z}}(_{R}R)$ . Идеальный N из R такой, что $N/{\mathcal {Z}}(_{R}R)={\mathcal {Z}}(_{R/{\mathcal {Z}}(_{R}R)}R/{\mathcal {Z}}(_{R}R))\,$ обозначается ${\mathcal {Z}}_{2}(_{R}R)$ и называется сингулярным радикалом или Голди кручением R . Сингулярный радикал содержит простой радикал (нильрадикал в случае коммутативных колец), но может содержать его даже в коммутативном случае. Однако особый радикал нётерова кольца всегда нильпотентен.

Радикал Левицкого

Радикал Левицкого определяется как наибольший локально нильпотентный идеал , аналогичный радикалу Хирша–Плоткина в теории групп . Если кольцо нётерово , то радикал Левицкого сам по себе является нильпотентным идеалом, как и единственный наибольший левый, правый или двусторонний нильпотентный идеал. ^{[ нужна ссылка ]}

Радикал Брауна-Маккоя

Радикал Брауна–Маккоя (называемый сильным радикалом в теории банаховых алгебр ) можно определить любым из следующих способов:

пересечение максимальных двусторонних идеалов
пересечение всех максимальных модулярных идеалов
верхний радикал класса всех простых колец с мультипликативным тождеством

Радикал Брауна–Маккоя изучен в гораздо большей общности, чем ассоциативные кольца с единицей.

Регулярный радикал фон Неймана

Регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо A (возможно, некоммутативное без мультипликативного тождества) такое, что для каждого a существует некоторое b такое, что a = aba . Регулярные кольца фон Неймана образуют радикальный класс. Он содержит все кольца матриц над телом , но не содержит ниль-колец.

Артиновский радикал

Артинов радикал обычно определяется для двусторонних нётеровых колец как сумма всех правых идеалов, являющихся артиновыми модулями . Определение симметрично слева направо и действительно дает двусторонний идеал кольца. Этот радикал важен при изучении нётеровых колец, как это указано Чаттерсом и Хаярнависом (1980) .

См. также

Связанное использование радикалов , не являющихся радикалами колец:

Ссылки

Амицур, С.А. (1952). «Общая теория радикалов. I: Радикалы в полных решетках». Американский журнал математики . 74 : 774–786. дои : 10.2307/2372225 . JSTOR 2372225 .
Амицур, С.А. (1954). «Общая теория радикалов. II: Радикалы в кольцах и бикатегориях». Американский журнал математики . 75 : 100–125. дои : 10.2307/2372403 . JSTOR 2372403 .
Амицур, С.А. (1954б). «Общая теория радикалов. III: Приложения». Американский журнал математики . 75 : 126–136. дои : 10.2307/2372404 . JSTOR 2372404 .
Чаттерс, AW; Хаярнавис, Ч.Р. (1980), Кольца с условиями цепочки , Исследовательские заметки по математике, том. 44, Бостон, Массачусетс: Pitman (Продвинутая издательская программа), стр. vii+197, ISBN 0-273-08446-1 , МР 0590045
Кете, Готфрид (1930). «Строение колец, кольцо классов вычетов которых вполне приводимо после радикала». Математический журнал . 32 (1): 161–186. дои : 10.1007/BF01194626 . S2CID 123292297 .
Курош, А.Г. (1953). «Радикалы колец и алгебр». Математический сборник . 33 : 13–26.
Веддерберн, JHM (1908). «О гиперкомплексных числах» . Труды Лондонского математического общества . 6 : 77–118. дои : 10.1112/plms/s2-6.1.77 .

Дальнейшее чтение

Андрунакиевич, В.А. (2001) [1994], «Радикал кольца и алгебры» , Энциклопедия математики , EMS Press
Амицур, Шимшон А.; Манн, Авиноам (2001), Избранные статьи С.А. Амицура с комментариями, Часть 1 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 9780821829240
Дивинский, Нью-Джерси (1965), Кольца и радикалы , Математические пояснения № 14, University of Toronto Press , MR 0197489
Гарднер, Би Джей; Вигандт, Р. (2004), Радикальная теория колец , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, том. 261, Марсель Деккер , ISBN 978-0-8247-5033-6 , МР 2015465
Гудерл, КР (1976), Теория колец , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-6354-1 , МР 0429962
Грей, Мэри В. (1970), Радикальный подход к алгебре , Аддисон-Уэсли , MR 0265396
Стенстрем, Бо (1971), Кольца и модули частных , Конспект лекций по математике, том. 237, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/BFb0059904 , ISBN. 978-3-540-05690-4 , МР 0325663 , Збл 0229.16003
Вигандт, Ричард (1974), Радикальные и полупростые классы колец , Кингстон, Онтарио: Королевский университет , MR 0349734