Радикал модуля

В математике , в теории модулей , радикал модуля является компонентом теории структуры и классификации. Это обобщение радикала Джекобсона для колец . Во многих отношениях это двойственное понятие цоколя soc ( M ) M .

Определение

Пусть R — и кольцо M — левый R - модуль . Подмодуль модуля N M если называется максимальным или копростым, фактор M / N является простым модулем . Радикал M модуля M есть пересечение всех максимальных подмодулей ,

$\mathrm {rad} (M)=\bigcap \,\{N\mid N{\mbox{ is a maximal submodule of }}M\}$

Эквивалентно,

$\mathrm {rad} (M)=\sum \,\{S\mid S{\mbox{ is a superfluous submodule of }}M\}$

Эти определения имеют прямые двойственные аналоги для soc( M ).

Характеристики

• Помимо того факта, что rad( M ) является суммой лишних подмодулей, в нётеровом модуле rad( M ) сам является лишним подмодулем .

Фактически, если M над конечно порожден кольцом, то rad( M ) сам по себе является лишним подмодулем. Это связано с тем, что любой собственный подмодуль M содержится в максимальном подмодуле M, когда M конечно порожден.

• Кольцо, для которого rad( M ) = {0} для любого правого R -модуля M, называется правым V-кольцом .
• Для любого модуля M rad( M /rad( M )) равен нулю.
• M является конечно порожденным модулем тогда и только тогда, когда косокул / M rad( M ) конечно порожден и rad( M ) является лишним подмодулем M .

См. также

• Цоколь (математика)
• радикал Джейкобсона

Ссылки

• Альперин, JL ; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер-Верлаг . п. 136. ИСБН  0-387-94526-1 .
• Андерсон, Фрэнк Уайли; Кент Р. Фуллер (1992). Кольца и категории модулей . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-97845-1 .