Цоколь (математика)

Чтобы узнать о других значениях, см. Socle .

В математике термин «цоколь» имеет несколько связанных значений.

Цоколь группы

контексте теории групп цоколь группы , G , обозначаемый soc( G ), — это подгруппа порожденная минимальными нормальными подгруппами группы G. В Может случиться так, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (т. е. каждая нетривиальная нормальная подгруппа содержит другую такую ​​подгруппу), и в этом случае цоколь определяется как подгруппа, порожденная единицей. Цоколь является прямым произведением минимальных нормальных подгрупп.

В качестве примера рассмотрим циклическую группу Z ₁₂ с генератором u , которая имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна из которых порождается u ⁴ (что дает нормальную подгруппу с 3 элементами), а другую — по u ⁶ (что дает нормальную подгруппу с двумя элементами). Таким образом, цоколь Z ₁₂ — это группа, порожденная u ⁴ и ты ⁶ , который представляет собой группу, порожденную u ² .

Цоколь является характеристической подгруппой и, следовательно, нормальной подгруппой. Однако это не обязательно транзитивно нормально .

Если группа G — конечная разрешимая группа , то цоколь можно выразить как произведение элементарных абелевых p -групп . Таким образом, в данном случае это просто произведение копий Z / p Z для различных p , где одно и то же p может встречаться в произведении несколько раз.

Цоколь модуля

контексте теории модулей и теории колец цоколь модуля M R над кольцом подмодулей определяется как сумма минимальных ненулевых M В . Его можно рассматривать как двойственное понятие радикала модуля . В заданных обозначениях

$\mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ is a simple submodule of }}M}N.$

Эквивалентно,

$\mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ is an essential submodule of }}M}E.$

Цоколь кольца R может относиться к одному из двух множеств в кольце. Рассматривая R правый R -модуль, soc( RR ₎ определяется и рассматривая R как левый R soc( _RR как -модуль, определяется ). Оба этих цоколя являются кольцевыми идеалами , и известно, что они не обязательно равны.

• Если M — артинов модуль , soc( M ) сам по себе существенным M. является подмодулем

Фактически, если — полуартинов модуль , то soc( M ) сам по себе является подмодулем M. M существенным если M ненулевой модуль над полуартиновым слева кольцом , то soc( M ) сам по себе является существенным подмодулем M Кроме того , . Это связано с тем, что любой ненулевой модуль над левым полуартиновым кольцом является полуартиновым модулем.

• Модуль является полупростым тогда и только тогда, когда soc( M ) = M . Кольца, для которых soc( M ) = M для всех M, являются в точности полупростыми кольцами .
• soc(soc( M )) = soc( M ).
• M является конечно-копорожденным модулем тогда и только тогда, когда soc( ) конечно порожден и soc( M ) является существенным подмодулем M M .
• Поскольку сумма полупростых модулей полупроста, цоколь модуля также можно определить как единственный максимальный полупростой подмодуль.
• Из определения rad( R ) легко увидеть, что rad( R ) аннулирует soc( R ). Если R — конечномерная единичная алгебра и M — конечно порожденный R -модуль, то цоколь состоит в точности из элементов, аннулируемых Джекобсона радикалом R .

Цоколь алгебры Ли

В контексте алгебр Ли цоколь симметричной алгебры Ли — это собственное пространство ее структурного автоморфизма , соответствующее собственному значению −1. (Симметричная алгебра Ли разлагается в прямую сумму своего цоколя и косокола .)

См. также

• Инъективная оболочка
• Радикал модуля
• Косокле

Ссылки

• Альперин, JL ; Белл, Роуэн Б. (1995). Группы и представления . Спрингер-Верлаг . п. 136 . ISBN  0-387-94526-1 .
• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992). Кольца и категории модулей . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-97845-1 .
• Робинсон, Дерек Дж. С. (1996), Курс теории групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 80 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xviii+499, doi : 10.1007/978-1-4419-8594-1 , ISBN  0-387-94461-3 , МР   1357169