Ортогональная симметричная алгебра Ли

В математике ортогональная симметричная алгебра Ли — это пара $({\mathfrak {g}},s)$ состоящая из вещественной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ и автоморфизм $s$ из ${\mathfrak {g}}$ порядка $2$ такое, что собственное пространство ${\mathfrak {u}}$ s , соответствующего 1 (т.е. множество ${\mathfrak {u}}$ неподвижных точек ) — компактная подалгебра . Если «компактность» опущена, она называется симметричной алгеброй Ли . Ортогональная симметрическая алгебра Ли называется эффективной , если ${\mathfrak {u}}$ пересекает центр ​ ${\mathfrak {g}}$ тривиально . На практике часто предполагается эффективность; мы делаем это и в этой статье.

Канонический пример — алгебра Ли симметрического пространства , $s$ являющийся дифференциалом симметрии.

Позволять $({\mathfrak {g}},s)$ — эффективная ортогональная симметрическая алгебра Ли, и пусть ${\mathfrak {p}}$ обозначает -1 собственное пространство $s$. Мы говорим, что $({\mathfrak {g}},s)$ имеет компактный тип, если ${\mathfrak {g}}$ компактен ​ и полупрост . Если вместо этого оно некомпактно, полупросто, и если ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}+{\mathfrak {p}}$ является разложением Картана, то $({\mathfrak {g}},s)$ имеет некомпактный тип . Если ${\mathfrak {p}}$ является абелевым идеалом ${\mathfrak {g}}$, затем $({\mathfrak {g}},s)$ Говорят, что это евклидов тип .

Любая эффективная ортогональная симметрическая алгебра Ли разлагается в прямую сумму идеалов ${\mathfrak {g}}_{0}$, ${\mathfrak {g}}_{-}$ и ${\mathfrak {g}}_{+}$, каждый инвариант относительно $s$ и ортогональна относительно Киллинга формы ${\mathfrak {g}}$, и такой, что если $s_{0}$, $s_{-}$ и $s_{+}$ обозначают ограничение $s$ к ${\mathfrak {g}}_{0}$, ${\mathfrak {g}}_{-}$ и ${\mathfrak {g}}_{+}$, соответственно, тогда $({\mathfrak {g}}_{0},s_{0})$, $({\mathfrak {g}}_{-},s_{-})$ и $({\mathfrak {g}}_{+},s_{+})$ являются эффективными ортогональными симметрическими алгебрами Ли евклидова, компактного и некомпактного типа.

Ссылки

• Хельгасон, Сигурдур (2001). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2848-9 .