Убийственная форма

В математике форма Киллинга , названная в честь Вильгельма Киллинга , представляет собой симметричную билинейную форму , играющую основную роль в теориях групп Ли и алгебр Ли . Критерии Картана (критерий разрешимости и критерий полупростоты) показывают, что форма Киллинга имеет тесную связь с полупростотой алгебр Ли. ^[1]

История и название

Форма Киллинга была по существу введена в теорию алгебры Ли Эли Картаном ( 1894 ) в его диссертации. В историческом обзоре теории лжи Борель (2001) описал, как термин «форма убийства» впервые появился в 1951 году во время одного из его собственных докладов для семинара Бурбаки ; оно возникло как неправильное название , поскольку эта форма ранее использовалась теоретиками Ли без присоединения к ней названия. Некоторые другие авторы теперь используют термин « форма Картана-убийцы » . ^[2] В конце XIX века Киллинг заметил, что коэффициенты характеристического уравнения регулярного полупростого элемента алгебры Ли инвариантны относительно присоединенной группы, из чего следует, что форма Киллинга (т. е. коэффициент степени 2) равна инвариант, но он этим фактом особо не воспользовался. Основным результатом, который использовал Картан, был критерий Картана , который утверждает, что форма Киллинга невырождена тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простых алгебр Ли . ^[2]

Определение

Рассмотрим алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем $К.$ Каждый элемент $x$ из ${\mathfrak {g}}$ определяет присоединенный эндоморфизм $ad(x)$ (также записываемый как $ad x$ ) ${\mathfrak {g}}$ с помощью скобки Ли, т.к.

\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].

Теперь, предположим ${\mathfrak {g}}$ имеет конечную размерность, след композиции двух таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),

со значениями в $K$ , форма Киллинга на ${\mathfrak {g}}$ .

Характеристики

Следующие свойства следуют как теоремы из приведенного выше определения.

Форма Киллинга $B$ билинейна и симметрична.
Форма Киллинга является инвариантной формой, как и все другие формы, полученные из операторов Казимира . Вывод ; операторов Казимира исчезает для формы Киллинга это исчезновение можно записать как

B([x,y],z)=B(x,[y,z])

где [, ] — скобка Ли .

Если ${\mathfrak {g}}$ является простой алгеброй Ли , то любая инвариантная симметрическая билинейная форма на ${\mathfrak {g}}$ является скалярным кратным формы Киллинга.
Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов $s$ алгебры ${\mathfrak {g}}$ , то есть,

B(s(x),s(y))=B(x,y)

для

s

в

{\mathfrak {g}}

.

Критерий Картана утверждает, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена .
Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли тождественно равна нулю.
Если $I, J$ — два идеала в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ с нулевым пересечением, то $I$ и $J$ — ортогональные подпространства относительно формы Киллинга.
Ортогональное дополнение к идеалу по отношению к $B$ снова является идеалом. ^[3]
Если данная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является прямой суммой своих идеалов $I 1,..., I n$ , то форма Киллинга ${\mathfrak {g}}$ является прямой суммой форм Киллинга отдельных слагаемых.

Матричные элементы

Учитывая базис $e i$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ матричные элементы формы Киллинга имеют вид

B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).

Здесь

\left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}

в обозначениях суммирования Эйнштейна , где $c ij к$ являются структурными коэффициентами алгебры Ли. Индекс $k$ функционирует как индекс столбца, а индекс $n$ — как индекс строки в матрице $ad(e i)ad(e j)$ . Взятие следа равносильно тому, чтобы положить $k = n$ и суммировать, поэтому мы можем написать

B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}

Форма Киллинга — это простейший 2- тензор , который можно составить из структурных констант. Сама форма тогда $B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.$

В приведенном выше индексированном определении мы стараемся различать верхние и нижние индексы ( ко- и контрвариантные индексы). Это связано с тем, что во многих случаях форма Киллинга может использоваться в качестве метрического тензора на многообразии, и в этом случае это различие становится важным для свойств преобразования тензоров. Когда алгебра Ли полупроста над полем нулевой характеристики, ее форма Киллинга невырождена и, следовательно, может использоваться в качестве метрического тензора для повышения и понижения индексов. В этом случае всегда можно выбрать основу для ${\mathfrak {g}}$ такие, что структурные константы со всеми верхними индексами полностью антисимметричны .

Форма Киллинга для некоторых алгебр Ли ${\mathfrak {g}}$ (для $X, Y$ в ${\mathfrak {g}}$ рассматриваемые в их фундаментальном матричном представлении): ^{[ нужна ссылка ]}

${\mathfrak {g}}$	$B(X,Y)$	Классификация	Двойной номер Кокстера
${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )$	$2n{\text{tr}}(XY)-2{\text{tr}}(X){\text{tr}}(Y)$	-	-
${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} ),n\geq 2$	$2n{\text{tr}}(XY)$	$A_{n-1}$	$n$
${\mathfrak {su}}(n),n\geq 2$	$2n{\text{tr}}(XY)$	$A_{n-1}$	$n$
${\mathfrak {so}}(n),n\geq 2$	$(n-2){\text{tr}}(XY)$	$B_{m},n=2m+1$ для $n$ странный. $D_{m},n=2m$ для $n$ даже.	$n-2$
${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),n\geq 2$	$(n-2){\text{tr}}(XY)$	$B_{m},n=2m+1$ для $n$ странный. $D_{m},n=2m$ для $n$ даже.	$n-2$
${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} ),n\geq 1$	$2(n+1){\text{tr}}(XY)$	$C_{n}$	$n+1$
${\mathfrak {sp}}(n),n\geq 1$	$2(n+1){\text{tr}}(XY)$	$C_{n}$	$n+1$

Из таблицы видно, что индекс Дынкина для присоединенного представления равен удвоенному двойственному числу Кокстера .

Связь с реальными формами

Предположим, что ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли над полем действительных чисел $\mathbb {R}$ . По критерию Картана форма Киллинга невырождена и может быть диагонализирована в подходящем базисе с диагональными элементами $\pm1$ . По закону инерции Сильвестра количество положительных элементов является инвариантом билинейной формы, т. е. не зависит от выбора диагонализирующего базиса, и называется индексом алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ . Это число от $0$ до размера ${\mathfrak {g}}$ что является важным инвариантом вещественной алгебры Ли. В частности, реальная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ называется компактной , если форма Киллинга отрицательно определена (или отрицательно полуопределена, если алгебра Ли не полупроста). Обратите внимание, что это одно из двух неэквивалентных определений, обычно используемых для компактности алгебры Ли; другой утверждает, что алгебра Ли компактна, если она соответствует компактной группе Ли. Определение компактности в терминах отрицательной определенности формы Киллинга является более ограничительным, поскольку с помощью этого определения можно показать, что при лиева соответствии компактные алгебры Ли соответствуют компактным группам Ли .

Если ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ является полупростой алгеброй Ли над комплексными числами , то существует несколько неизоморфных вещественных алгебр Ли, комплексификация которых есть ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ , которые называются его действительными формами . Оказывается, каждая комплексная полупростая алгебра Ли допускает единственную (с точностью до изоморфизма) компактную вещественную форму ${\mathfrak {g}}$ . Вещественные формы данной комплексной полупростой алгебры Ли часто обозначаются положительным индексом инерции их формы Киллинга.

Например, комплексная специальная линейная алгебра ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ имеет две действительные формы: вещественную специальную линейную алгебру, обозначаемую ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ и специальная унитарная алгебра , обозначенная ${\mathfrak {su}}(2)$ . Первая из них некомпактна, так называемая расщепленная вещественная форма , и ее форма Киллинга имеет сигнатуру $(2, 1)$ . Вторая форма — компактная вещественная форма, и ее форма Киллинга отрицательно определена, т.е. имеет сигнатуру $(0, 3)$ . Соответствующие группы Ли представляют собой некомпактную группу $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ вещественных матриц размера $2 \times 2$ с единичным определителем и специальной унитарной группой $\mathrm {SU} (2)$ , который является компактным.

Трассировка форм

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная алгебра Ли над полем $K$ , и $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)$ быть представлением алгебры Ли. Позволять ${\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K$ быть функционалом трассировки на $V$ . Тогда мы можем определить форму следа представления $\rho$ как

{\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow K,

{\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).

Тогда форма Киллинга является частным случаем, когда представление является присоединенным представлением, ${\text{Tr}}_{\text{ad}}=B$ .

Легко показать, что оно симметрично, билинейно и инвариантно для любого представления. $\rho$ .

Если, кроме того, ${\mathfrak {g}}$ является простым и $\rho$ неприводима, то можно показать ${\text{Tr}}_{\rho }=I(\rho )B$ где $I(\rho )$ является индексом представления.

См. также

Цитаты

^ Kirillov 2008 , p. 102.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Борель 2001 , с. 5
^ Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 . См. стр. 207.

Ссылки

Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , История математики, том. 21, Американское математическое общество и Лондонское математическое общество, ISBN. 0821802887
Бамп, Дэниел (2004), Группы лжи , Тексты для выпускников по математике, том. 225, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-1-4614-8024-2 , ISBN. 978-0-387-21154-1
Картан, Эли (1894), О строении конечных и непрерывных групп преобразований , Диссертация, Нони
Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press , ISBN 0-521-48412-Х
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
«Форма убийства» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Кириллов, Александр-младший (2008), Введение в группы Ли и алгебры Ли , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 113, Издательство Кембриджского университета , CiteSeerX 10.1.1.173.1452 , doi : 10.1017/CBO9780511755156 , ISBN 978-0-521-88969-8 , МР 2440737

[FOOTNOTEKirillov2008102-1] Kirillov 2008 , p. 102.

[Borelp5-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Борель 2001 , с. 5

[3] Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 . См. стр. 207.

[1]

[2]

[3]