элемент Казимира

В математике элемент Казимира (также известный как инвариант Казимира или оператор Казимира ) — это выдающийся элемент центра универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли . Прототипическим примером является оператор квадрата углового момента , который является элементом Казимира трехмерной группы вращения .

В более общем смысле, элементы Казимира можно использовать для обозначения любого элемента центра универсальной обертывающей алгебры. Алгебра алгебре этих элементов, как известно, изоморфна полиномов посредством изоморфизма Хариш -Чандры .

Элемент Казимира назван в честь Хендрика Казимира , который идентифицировал его в своем описании динамики твердого тела в 1931 году. ^[1]

Определение

Наиболее часто используемый инвариант Казимира — это квадратичный инвариант. Это определение проще всего, поэтому оно дается первым. Однако могут существовать и инварианты Казимира более высокого порядка, соответствующие однородным симметричным полиномам более высокого порядка.

Квадратичный элемент Казимира

Предположим, что ${\mathfrak {g}}$ это $n$ -мерная алгебра Ли . Пусть B — невырожденная билинейная форма на ${\mathfrak {g}}$ инвариантный относительно действия присоединенного ${\mathfrak {g}}$ на себе, то есть $B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0$ для всех X , Y , Z в ${\mathfrak {g}}$ . (Наиболее типичным выбором B является форма Киллинга , если ${\mathfrak {g}}$ это полупросто .)Позволять

\{X_{i}\}_{i=1}^{n}

быть какой- основой либо ${\mathfrak {g}}$ , и

\{X^{i}\}_{i=1}^{n}

быть двойной основой ${\mathfrak {g}}$ по отношению Б. к Элемент Казимира $\Omega$ поскольку B — элемент универсальной обертывающей алгебры $U({\mathfrak {g}})$ заданной формулой

\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.

Хотя определение основано на выборе базиса алгебры Ли, легко показать, что Ω не зависит от этого выбора. С другой стороны, Ω зависит от билинейной формы B . Из инвариантности B следует, что элемент Казимира коммутирует со всеми элементами алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ , и, следовательно, лежит в центре универсальной обертывающей алгебры $U({\mathfrak {g}})$ . ^[2]

Квадратичный инвариант Казимира линейного представления и гладкого действия

Учитывая представление ρ ${\mathfrak {g}}$ в векторном пространстве V , возможно, бесконечномерном, инвариант Казимира ρ определяется как ρ (Ω), линейный оператор на V , заданный формулой

\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).

Конкретная форма этой конструкции играет важную роль в дифференциальной геометрии и глобальном анализе. Предположим, что связная группа Ли G с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ действует на дифференцируемом многообразии M . Рассмотрим соответствующее представление ρ группы G в пространстве гладких функций на M. Тогда элементы ${\mathfrak {g}}$ представлены дифференциальными операторами первого порядка на M. В этой ситуации инвариантом Казимира ρ является G-инвариантный дифференциальный оператор второго порядка на M, определенный приведенной выше формулой.

Специализируясь далее, если случается, что M имеет риманову метрику , на которой G действует транзитивно посредством изометрий, а подгруппа стабилизатора G _x точки действует неприводимо на касательном пространстве M в точке x , то инвариант Казимира ρ является скалярным кратным оператора Лапласа, исходящего из метрики.

Также могут быть определены более общие инварианты Казимира, которые часто встречаются при изучении псевдодифференциальных операторов в теории Фредгольма .

Казимировы элементы высшего порядка

В статье об универсальных обертывающих алгебрах дается подробное и точное определение операторов Казимира и излагаются некоторые их свойства. Все операторы Казимира соответствуют симметричным однородным многочленам в симметрической алгебре присоединенного представления $\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.$ :

C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}

где $m$ — порядок симметричного тензора $\kappa ^{ij\cdots k}$ и $X_{i}$ образуют векторного пространства базис ${\mathfrak {g}}.$ Это соответствует симметричному однородному многочлену

c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}

в $m$ неопределенных переменных $t_{i}$ в алгебре полиномов $K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]$ полем $К. над$ Причина симметрии следует из теоремы о ПБВ и гораздо более подробно обсуждается в статье об универсальных обертывающих алгебрах .

Более того, элемент Казимира должен принадлежать центру универсальной обертывающей алгебры, т. е. подчиняться

[C_{(m)},X_{i}]=0

для всех базовых элементов $X_{i}.$ В терминах соответствующего симметричного тензора $\kappa ^{ij\cdots k}$ , это условие эквивалентно инвариантности тензора:

f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0

где $f_{ij}^{\;\;k}$ являются структурными константами алгебры Ли, т.е. $[X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}$ .

Характеристики

Единственность квадратичного элемента Казимира

Поскольку для простой алгебры Ли каждая инвариантная билинейная форма кратна форме Киллинга , соответствующий элемент Казимира определен однозначно с точностью до константы. Для общей полупростой алгебры Ли пространство инвариантных билинейных форм имеет один базисный вектор для каждой простой компоненты, и, следовательно, то же самое верно и для пространства соответствующих операторов Казимира.

Связь с лапласианом на G

Если $G$ является группой Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ , выбор невырожденной инвариантной билинейной формы на ${\mathfrak {g}}$ соответствует выбору биинвариантной римановой метрики на $G$ . Тогда при отождествлении универсальной обертывающей алгебры ${\mathfrak {g}}$ с левоинвариантными дифференциальными операторами на $G$ , элемент Казимира билинейной формы на ${\mathfrak {g}}$ отображает лапласиан $G$ (относительно соответствующей биинвариантной метрики).

Элементы Казимира и теория представлений

По Рака теореме ^[3] для полупростой алгебры Ли размерность центра универсальной обертывающей алгебры равна ее рангу . Оператор Казимира дает понятие лапласиана на общей полупростой группе Ли ; но единственного аналога лапласиана для ранга > 1 не существует.

По определению любой член центра универсальной обертывающей алгебры коммутирует со всеми остальными элементами алгебры. По лемме Шура в любом неприводимом представлении алгебры Ли любой элемент Казимира, таким образом, пропорционален единице. Собственные значения всех элементов Казимира можно использовать для классификации представлений алгебры Ли (а, следовательно, и ее группы Ли ). ^[4] ^{[ нужны разъяснения ]}

Физическая масса и спин являются примерами этих собственных значений, как и многие другие квантовые числа, встречающиеся в квантовой механике . На первый взгляд топологические квантовые числа представляют собой исключение из этого правила; хотя более глубокие теории намекают, что это две грани одного и того же явления. ^{[ по мнению кого? ]}^{[ нужна ссылка ]}.

Позволять $L(\lambda )$ быть конечномерным модулем старшего веса веса $\lambda$ . Тогда квадратичный элемент Казимира $\Omega$ действует на $L(\lambda )$ по константе

\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,

где $\rho$ — вес, определяемый половиной суммы положительных корней. ^[5] Если $L(\lambda )$ нетривиально (т.е. если $\lambda \neq 0$ ), то эта константа отлична от нуля. Ведь с тех пор $\lambda$ является доминирующим, если $\lambda \neq 0$ , затем $\langle \lambda ,\lambda \rangle >0$ и $\langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0$ , показывая это $\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0$ . Это наблюдение играет важную роль в доказательстве теоремы Вейля о полной сводимости . Также возможно доказать ненулевое обращение собственного значения более абстрактным способом - без использования явной формулы для собственного значения - с использованием критерия Картана; см. разделы 4.3 и 6.2 в книге Хамфриса.

Симметричные инвариантные тензоры простых алгебр Ли

Элемент порядка Казимира $m$ соответствует симметричному инвариантному тензору того же порядка через $C_{(m)}=\kappa ^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}$ . Построение и связь элементов Казимира эквивалентно тому же самому для симметричных инвариантных тензоров.

Построение симметричных инвариантных тензоров.

Симметричные инвариантные тензоры могут быть построены как симметричные следы в определяющем представлении. ^[6]

k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)

где индексы повышаются и понижаются по форме Киллинга и симметричны относительно всех перестановок.

Также возможно построить симметричные инвариантные тензоры из антисимметричных инвариантных тензоров типа

\Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}

Симметричный инвариантный тензор ^[7]

t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}

бесследно для $m>2$ . Такие инвариантные тензоры ортогональны друг другу в том смысле, что $t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0$ если $n>m$ .

В случае простой алгебры Ли $A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}$ , введем вполне симметричный тензор третьего порядка $d_{ijk}$ такая, что в определяющем представлении

X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}

Тогда симметричные инвариантные тензоры Садбери имеют вид ^[6]

d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}

d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}

d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}

d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}

Соотношения между симметричными инвариантными тензорами

Для простой алгебры Ли ранга $r$ , есть $r$ алгебраически независимые симметричные инвариантные тензоры. Следовательно, любой такой тензор можно выразить через $r$ заданные тензоры. Существует систематический метод вывода полных наборов тождеств между симметричными инвариантными тензорами. ^[6]

В случае алгебры Ли $A_{l}$ , симметричные инвариантные тензоры $t^{(m)}$ подчиняться $t^{(m>l+1)}=0$ . ^[7] Перевыразив эти тензоры в терминах других семейств, таких как $d^{(m)}$ или $k^{(m)}$ порождает нетривиальные отношения внутри этих других семейств. Например, тензоры Садбери $d^{(m>l+1)}$ может быть выражено через $d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}$ , с отношениями типа ^[7]

d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}

d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}

d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}

Структурные константы также подчиняются тождествам, не связанным напрямую с симметричными инвариантными тензорами, например ^[8]

3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}

Примеры

Случай $sl(2)$

Алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ состоит из комплексных матриц размера два на два с нулевым следом. Существует три стандартных базовых элемента: $e$ , $f$ , и $h$ , с

{\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Коммутаторы

{\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}

Можно показать, что элемент Казимира

$\Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe={\frac {3}{2}}I_{2}.$

Случай $так(3)$

Алгебра Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ — алгебра Ли SO(3) , группы вращения трехмерного евклидова пространства . Он простой, ранга 1, поэтому у него есть единственный независимый Казимир. Форма Киллинга для группы вращения — это просто дельта Кронекера , поэтому инвариант Казимира — это просто сумма квадратов образующих. $L_{x},\,L_{y},\,L_{z}$ алгебры. То есть инвариант Казимира определяется выражением

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.

Рассмотрим неприводимое представление ${\mathfrak {so}}(3)$ в котором наибольшее собственное значение $L_{z}$ является $\ell$ , где возможные значения $\ell$ являются ${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$ . Инвариантность оператора Казимира подразумевает, что он кратен тождественному оператору. $I$ . Эту константу можно вычислить явно, что дает следующий результат ^[9]

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.

В квантовой механике скалярная величина $\ell$ называется полным угловым моментом . Для конечномерных матричных представлений группы вращений $\ell$ всегда принимает целые значения (для бозонных представлений ) или полуцелые значения (для фермионных представлений ).

Для заданного значения $\ell$ , матричное представление $(2\ell +1)$ -мерный. Так, например, трехмерное представление для ${\mathfrak {so}}(3)$ соответствует $\ell =1$ , и задается генераторами

{\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}

где факторы $i$ необходимы для согласования с физическим соглашением (используемым здесь) о том, что генераторы должны быть косо-самосопряженными операторами. ^[10]

Тогда квадратичный инвариант Казимира можно легко вычислить вручную, в результате чего

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

как $\ell (\ell +1)=2$ когда $\ell =1$ .

Именно это имеется в виду, когда мы говорим, что собственные значения оператора Казимира используются для классификации неприводимых представлений алгебры Ли (и связанной с ней группы Ли): два неприводимых представления алгебры Ли эквивалентны тогда и только тогда, когда их Казимира элементы имеют одинаковое собственное значение. В этом случае ${\mathfrak {so}}(3)$ полностью определяются стоимостью $\ell$ или, что то же самое, на значение $\ell (\ell +1)$ .Аналогично, двумерное представление имеет основу, заданную матрицами Паули , которые соответствуют спину 1 ⁄ 2 , и можно снова проверить формулу Казимира непосредственным вычислением.

См. также

Ссылки

^ Оливер, Дэвид (2004). Лохматый конь физики: математическая красота в физическом мире . Спрингер. п. 81 . ISBN 978-0-387-40307-6 .
^ Зал 2015 г., Предложение 10.5.
^ Рака, Джулио (1965). Теория групп и спектроскопия . Шпрингер Берлин Гейдельберг.
^ Ксавье Бекарт, « Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике » (2005) Лекция, Летняя школа Модаве по математической физике .
^ Зал 2015 г., Предложение 10.6.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Маунтин, Артур Дж. (1998). «Инвариантные тензоры и операторы Казимира для простых компактных групп Ли». Журнал математической физики . 39 (10): 5601–5607. arXiv : физика/9802012 . Бибкод : 1998JMP....39.5601M . дои : 10.1063/1.532552 . ISSN 0022-2488 . S2CID 16436468 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Аскаррага, де; Макфарлейн, Эй Джей; Маунтин, Эй Джей; Буэно, Х. К. Перес (3 июня 1997 г.). «Инвариантные тензоры для простых групп». Ядерная физика Б . 510 (3): 657–687. arXiv : физика/9706006 . дои : 10.1016/S0550-3213(97)00609-3 . S2CID 14665950 .
^ Хабер, Ховард Э. (31 декабря 2019 г.). «Полезные соотношения между образующими в определяющих и присоединенных представлениях SU (N)» . Конспекты лекций по физике SciPost . arXiv : 1912.13302v2 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.21 . S2CID 42081451 .
^ Зал 2013 г. , Предложение 17.8
^ Зал 2013 г. , Предложение 17.3

Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN 9781461471165
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666

Дальнейшее чтение

Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9 (второе издание, переработанное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5 .
Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Дуврские публикации. стр. 243–249 . ISBN 0-486-63832-4 .
https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element

[1] Оливер, Дэвид (2004). Лохматый конь физики: математическая красота в физическом мире . Спрингер. п. 81 . ISBN 978-0-387-40307-6 .

[2] Зал 2015 г., Предложение 10.5.

[3] Рака, Джулио (1965). Теория групп и спектроскопия . Шпрингер Берлин Гейдельберг.

[4] Ксавье Бекарт, « Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике » (2005) Лекция, Летняя школа Модаве по математической физике .

[5] Зал 2015 г., Предложение 10.6.

[mou98-6] Jump up to: ^а ^б ^с Маунтин, Артур Дж. (1998). «Инвариантные тензоры и операторы Казимира для простых компактных групп Ли». Журнал математической физики . 39 (10): 5601–5607. arXiv : физика/9802012 . Бибкод : 1998JMP....39.5601M . дои : 10.1063/1.532552 . ISSN 0022-2488 . S2CID 16436468 .

[ammb97-7] Jump up to: ^а ^б ^с Аскаррага, де; Макфарлейн, Эй Джей; Маунтин, Эй Джей; Буэно, Х. К. Перес (3 июня 1997 г.). «Инвариантные тензоры для простых групп». Ядерная физика Б . 510 (3): 657–687. arXiv : физика/9706006 . дои : 10.1016/S0550-3213(97)00609-3 . S2CID 14665950 .

[hab19-8] Хабер, Ховард Э. (31 декабря 2019 г.). «Полезные соотношения между образующими в определяющих и присоединенных представлениях SU (N)» . Конспекты лекций по физике SciPost . arXiv : 1912.13302v2 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.21 . S2CID 42081451 .

[9] Зал 2013 г. , Предложение 17.8

[10] Зал 2013 г. , Предложение 17.3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]