Топологическое квантовое число

В физике топологическое квантовое число (также называемое топологическим зарядом ) — это любая величина в физической теории, которая принимает только одно из дискретного набора значений из-за топологических соображений. Чаще всего топологические квантовые числа представляют собой топологические инварианты , связанные с топологическими дефектами или решениями солитонного типа некоторого набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему, поскольку сами солитоны обязаны своей стабильностью топологическим соображениям. Конкретные «топологические соображения» обычно связаны с появлением фундаментальной группы или многомерной гомотопической группы в описании задачи , нередко из-за того, что граница, на которой задаются граничные условия , имеет нетривиальную гомотопию. группа, которая сохраняется дифференциальными уравнениями. Топологическое квантовое число решения иногда называют числом обмотки решения, или, точнее, степенью непрерывного отображения .

Недавний ^{[ когда? ]} идеи о природе фазовых переходов указывают на то, что топологические квантовые числа и связанные с ними решения могут создаваться или уничтожаться во время фазового перехода. ^{[ нужна цитата ]}

Физика элементарных частиц [ править ]

В физике элементарных частиц примером является Скирмион , для которого барионное число является топологическим квантовым числом. Происхождение происходит от того факта, что изоспин моделируется SU(2) , который изоморфен 3-сфере. $S^{3}$ и $S^{3}$ наследует групповую структуру SU(2) через свою биективную ассоциацию, поэтому изоморфизм находится в категории топологических групп. Взяв реальное трехмерное пространство и замыкая его бесконечно удаленной точкой, тоже получим трехмерную сферу. Решения уравнений Скирма в реальном трехмерном пространстве отображают точку в «реальном» (физическом; евклидовом) пространстве в точку трехмерного многообразия SU (2). Топологически различные решения «обертывают» одну сферу вокруг другой, так что одно решение, как бы оно ни было деформировано, не может быть «развернуто», не создавая разрыва в решении. В физике такие разрывы связаны с бесконечной энергией и поэтому не допускаются.

В приведенном выше примере топологическое утверждение состоит в том, что третья гомотопическая группа трех сфер равна

\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z}

и поэтому барионное число может принимать только целые значения.

Обобщение этих идей находится в модели Весса–Зумино–Виттена .

Точно решаемые модели [ править ]

Дополнительные примеры можно найти в области точно решаемых моделей , таких как уравнение синус-Гордон , уравнение Кортевега-де Фриза и уравнение Ишимори . Одномерное уравнение синус-Гордон представляет собой особенно простой пример, поскольку в нем задействована фундаментальная группа

\pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z}

и это буквально извилистое число : круг можно обернуть вокруг круга целое число раз. Квантовая модель синус-Гордона эквивалентна массивной модели Тирринга . Фундаментальные возбуждения — это фермионы: топологическое квантовое число. $\mathbb {Z}$ это число фермионов . После квантования модели синус-Гордон топологический заряд становится «дробным». Последовательное рассмотрение ультрафиолетовой перенормировки показывает, что дробное число фермионов отталкивается за пределами ультрафиолетовой границы. Итак $\mathbb {Z}$ умножается на дробное число в зависимости от постоянной Планка .

Физика твердого тела [ править ]

В физике твердого тела некоторые типы кристаллических дислокаций , например винтовые дислокации , могут быть описаны топологическими солитонами. Примером могут служить дислокации винтового типа, связанные с нитевидными нитями германия .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Таулесс, диджей (1998). Топологические квантовые числа в нерелятивистской физике . Всемирная научная. ISBN 981-02-2900-3 .