Обратное преобразование рассеяния

В математике обратное преобразование рассеяния — это метод, который решает начальную задачу для нелинейного уравнения в частных производных с использованием математических методов, связанных с рассеянием волн . ^[1]^: 4960 Преобразование прямого рассеяния описывает, как функция рассеивает волны или генерирует связанные состояния . ^[2]^: 39–43 Преобразование обратного рассеяния использует данные рассеяния волн для построения функции, отвечающей за рассеяние волн. ^[2]^: 66–67 Прямое и обратное преобразования рассеяния аналогичны прямому и обратному преобразованиям Фурье , которые используются для решения линейных уравнений в частных производных. ^[2]^: 66–67

Используя пару дифференциальных операторов , трехшаговый алгоритм может решать нелинейные дифференциальные уравнения ; исходное решение преобразуется в данные рассеяния (преобразование прямого рассеяния), данные рассеяния развиваются вперед во времени (эволюция времени), а данные рассеяния восстанавливают решение вперед во времени (преобразование обратного рассеяния). ^[2]^: 66–67

Этот алгоритм упрощает решение нелинейного уравнения в частных производных до решения двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и обыкновенного интегрального уравнения . Этот метод в конечном итоге приводит к аналитическим решениям для многих нелинейных уравнений в частных производных, которые иначе трудно решить. ^[2]^: 72

Обратная задача рассеяния эквивалентна задаче факторизации Римана–Гильберта , по крайней мере, в случае уравнений одного измерения пространства. ^[3] Эту формулировку можно обобщить на дифференциальные операторы порядка выше двух, а также на периодические задачи. ^[4] В более высоких измерениях пространства вместо этого возникает «нелокальная» проблема факторизации Римана – Гильберта (со сверткой вместо умножения) или проблема с d-баром.

История

Обратное преобразование рассеяния возникло в результате изучения уединенных волн. Дж. С. Рассел описал «волну перемещения» или «одиночную волну», возникающую на мелководье. ^[5] Сначала Дж. В. Буссинеск , а позднее Д. Кортевег и Г. де Фрис открыли уравнение Кортевега-де Фриза (КдВ) — нелинейное уравнение в частных производных, описывающее эти волны. ^[5] Позже Н. Забуски и М. Крускал, используя численные методы исследования проблемы Ферми–Пасты–Улама–Цингу , обнаружили, что уединенные волны обладают упругими свойствами сталкивающихся частиц; начальные и конечные амплитуды и скорости волн после волновых столкновений остались неизменными. ^[5] Эти корпускулярные волны называются солитонами и возникают в нелинейных уравнениях из-за слабого баланса между дисперсионными и нелинейными эффектами. ^[5]

Гарднер, Грин, Краскал и Миура представили обратное преобразование рассеяния для решения уравнения Кортевега – де Фриза . ^[6] Лакс, Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур обобщили этот подход, который привел к решению других нелинейных уравнений, включая нелинейное уравнение Шредингера , уравнение синус-Гордона , модифицированное уравнение Кортевега-Де Фриза , уравнение Кадомцева-Петвиашвили , уравнение Ишимори , решетки Тоды уравнение . и уравнение Дыма . ^[5]^[7]^[8] Этот подход также был применен к различным типам нелинейных уравнений, включая дифференциально-разностные, частные разностные, многомерные уравнения и дробно-интегрируемые нелинейные системы. ^[5]

Описание

Нелинейное уравнение в частных производных

Независимые переменные представляют собой пространственную переменную. $x$ и переменная времени $t$ . Индексы или дифференциальные операторы ( ${\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}$ ) указывают на дифференциацию. Функция $u(x,t)$ является решением нелинейного уравнения в частных производных, ${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$ , с начальным условием (значением) ${\textstyle u(x,0)}$ . ^[2]^: 72

Требования

Решение дифференциального уравнения удовлетворяет условиям интегрируемости и условиям Фадеева: ^[2]^: 40

Условие интегрируемости:

\int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty

Состояние Фадеева:

\int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|))|u(x)|\ dx\ <\infty

Пара дифференциальных операторов

Лакса Дифференциальные операторы , ${\textstyle L}$ и ${\textstyle M}$ , — линейные обыкновенные дифференциальные операторы с коэффициентами, которые могут содержать функцию ${\textstyle u(x,t)}$ или его производные. оператор Самосопряженный ${\textstyle L}$ имеет производную по времени ${\textstyle L_{t}}$ и генерирует уравнение собственных значений (спектральное) с собственными функциями ${\textstyle \psi }$ и постоянные во времени собственные значения ( спектральные параметры ) ${\textstyle \lambda }$ . ^[1]^: 4963^[2]^: 98

L(\psi )=\lambda \psi ,\

и

{\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}

Оператор ${\textstyle M}$ описывает, как собственные функции изменяются с течением времени, и генерирует новую собственную функцию ${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$ оператора ${\textstyle L}$ из собственной функции ${\textstyle \psi }$ из ${\textstyle L}$ . ^[1]^: 4963

{\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\

Операторы Лакса объединяются, образуя мультипликативный, а не дифференциальный оператор собственных функций. ${\textstyle \psi }$ . ^[1]^: 4963

(L_{t}+LM-ML)\psi =0

Операторы Лакса выбраны так, чтобы мультипликативный оператор был равен нелинейному дифференциальному уравнению. ^[1]^: 4963

L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0

, Дифференциальные операторы AKNS разработанные Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром, являются альтернативой дифференциальным операторам Лакса и достигают аналогичного результата. ^[1]^: 4964^[9]^[10]

Преобразование прямого рассеяния

Преобразование прямого рассеяния генерирует исходные данные рассеяния; это может включать коэффициенты отражения, коэффициент прохождения, данные собственных значений и константы нормализации решений собственных функций для этого дифференциального уравнения. ^[2]^: 39–48

L(\psi )=\lambda \psi

Эволюция данных рассеяния во времени

Уравнения, описывающие, как данные рассеяния изменяются с течением времени, представляют собой решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка по времени. Используя различные подходы, это линейное дифференциальное уравнение первого порядка может возникнуть из линейных дифференциальных операторов (пара Лакса, пара AKNS), комбинации линейных дифференциальных операторов и нелинейного дифференциального уравнения или посредством дополнительных операций замены, интегрирования или дифференцирования. Пространственно асимптотические уравнения ( ${\textstyle x\to \pm \infty }$ ) упрощают решение этих дифференциальных уравнений. ^[1]^{: 4967–4968}^[2]^: 68–72^[6]

Обратное преобразование рассеяния

Уравнение Марченко объединяет данные рассеяния в линейное интегральное уравнение Фредгольма . Решение этого интегрального уравнения приводит к решению u(x,t) нелинейного дифференциального уравнения. ^[2]^: 48–57

Пример: уравнение Кортевега – Де Фриза.

Нелинейное дифференциальное уравнение Кортевега – Де Фриза имеет вид ^[11]^: 4

u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

Слабые операторы

Операторы Лакса: ^[2]^: 97–102

L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\

и

{\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}

Мультипликативный оператор:

L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

Преобразование прямого рассеяния

Решения этого дифференциального уравнения

{\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }

может включать решения рассеяния с непрерывным диапазоном собственных значений ( непрерывный спектр ) и решения в связанном состоянии с дискретными собственными значениями ( дискретный спектр ). Данные рассеяния включают коэффициенты пропускания ${\textstyle T(k,0)}$ , коэффициент левого отражения ${\textstyle R_{L}(k,0)}$ , коэффициент правого отражения ${\textstyle R_{R}(k,0)}$ , дискретные собственные значения ${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$ левого и правого связанного состояния , а также константы нормализации (нормирования) . ^[1]^: 4960

c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N

c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N

Эволюция данных рассеяния во времени

Пространственно асимптотическая левая ${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$ и правильно ${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$ Функции Йоста упрощают этот шаг. ^[1]^{: 4965–4966}

{\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}

зависимостей Константы ${\textstyle \gamma _{j}(t)}$ связать правую и левую функции Йоста и правую и левую константы нормализации. ^[1]^{: 4965–4966}

\gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}

Лакс ${\textstyle M}$ дифференциальный оператор генерирует собственную функцию, которую можно выразить как зависящую от времени линейную комбинацию других собственных функций. ^[1]^: 4967

\partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)

\partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)

Решения этих дифференциальных уравнений, определенные с использованием рассеяния и пространственно асимптотических функций Йоста связанного состояния, указывают на постоянный во времени коэффициент передачи ${\textstyle T(k,t)}$ , но зависящие от времени коэффициенты отражения и коэффициенты нормализации. ^[1]^{: 4967–4968}

{\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}

Обратное преобразование рассеяния

Ядро Марченко ${\textstyle F(x,t)}$ . ^[1]^{: 4968–4969}

F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}

представляет Интегральное уравнение Марченко собой линейное интегральное уравнение, решенное относительно ${\textstyle K(x,y,t)}$ . ^[1]^{: 4968–4969}

K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0

Решение уравнения Марченко, ${\textstyle K(x,y,t)}$ , генерирует решение ${\textstyle u(x,t)}$ к нелинейному уравнению в частных производных. ^[1]^: 4969

u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}

Примеры интегрируемых уравнений

См. также

Цитаты

Ссылки

Абловиц, MJ; Кауп, диджей; Ньюэлл, AC; Сегур, Х. (1973). «Метод решения уравнения Синус-Гордон» . Письма о физических отзывах . 30 (25): 1262–1264. дои : 10.1103/PhysRevLett.30.1262 .

Абловиц, MJ; Кауп, диджей; Ньюэлл, AC; Сегур, Х. (1974). «Обратное преобразование рассеяния — анализ Фурье для нелинейных задач» . Исследования по прикладной математике . 53 : 249–315.

Абловиц, Марк Дж.; Сегур, Харви (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния . СИАМ. ISBN 978-0-89871-477-7 .

Абловиц, Марк Дж.; Фокас, А.С. (2003). Комплексные переменные: введение и применение . Издательство Кембриджского университета. стр. 604–620. ISBN 978-0-521-53429-1 .

Абловиц, Марк Дж. (2023). «Нелинейные волны и обратное преобразование рассеяния» . Оптик . 278 : 170710. doi : 10.1016/j.ijleo.2023.170710 .

Актосун, Тунчай (2009). «Обратное преобразование рассеяния и теория солитонов». Энциклопедия сложности и системных наук . Спрингер. стр. 4960–4971. ISBN 978-0-387-30440-3 .

Дразин, П.Г.; Джонсон, Р.С. (1989). Солитоны: Введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-33655-0 .

Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза» . Письма о физических отзывах . 19 (19): 1095–1097. дои : 10.1103/PhysRevLett.19.1095 .

Конопельченко Б.Г.; Дубровский, В.Г. (1991). «Локализованные солитоны для уравнения Ишимори». В Саттингере, Дэвид Х.; Трейси, Калифорния; Венакидес, Стефанос (ред.). Обратное рассеяние и его приложения . Американское математическое соц. стр. 77–90. ISBN 978-0-8218-5129-6 .

Ооно, Х. (1996). «N-солитонное решение уравнения Гарри Дыма методом обратной задачи рассеяния». В Альфинито, Э.; Боити, М.; Мартина, Л. (ред.). Нелинейная физика: теория и эксперимент . Всемирная научная издательская компания Pte Limited. стр. 241–248. ISBN 978-981-02-2559-9 .

Осборн, Арканзас (1995). «Физика солитонов и периодическое обратное преобразование рассеяния» . Физика D: Нелинейные явления . 86 (1): 81–89. дои : 10.1016/0167-2789(95)00089-М . ISSN 0167-2789 .

Дальнейшее чтение

Абловиц, Марк Дж.; Кларксон, Пенсильвания (12 декабря 1991 г.). Солитоны, нелинейные эволюционные уравнения и обратное рассеяние . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-38730-9 .

Буллоу, РК; Кодри, Пи Джей (11 ноября 2013 г.). Солитоны . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-81448-8 .

Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1974), «Уравнение Кортевега-де Фриза и его обобщение. VI. Методы точного решения», Comm. Чистое приложение. Математика. , 27 : 97–133, doi : 10.1002/cpa.3160270108 , MR 0336122

Гельфанд, Израиль Моисеевич (1955). Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции . Американское математическое общество. п. 253-304.

Марченко, Владимир А. (1986). Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения . Базель: Биркхойзер.

Шоу, Дж. К. (1 мая 2004 г.). Математические основы волоконно-оптической связи . СИАМ. ISBN 978-0-89871-556-9 .

Внешние ссылки

[FOOTNOTEAktosun2009-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот Актосун 2009 .

[FOOTNOTEDrazinJohnson1989-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Дразин и Джонсон, 1989 .

[FOOTNOTEAblowitzFokas2003604–620-3] Абловиц и Фокас 2003 , стр. 101-1. 604–620.

[FOOTNOTEOsborne1995-4] Осборн 1995 .

[FOOTNOTEAblowitz2023-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Абловиц 2023 .

[FOOTNOTEGardnerGreeneKruskalMiura1967-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Гарднер и др. 1967 год .

[FOOTNOTEKonopelchenkoDubrowsky1991-7] Конопельченко и Дубровский 1991 .

[FOOTNOTEOono1996-8] Июнь 1996 г.

[FOOTNOTEAblowitzKaupNewellSegur1973-9] Абловиц и др. 1973 год .

[FOOTNOTEAblowitzKaupNewellSegur1974-10] Абловиц и др. 1974 год .

[FOOTNOTEAblowitzSegur1981-11] Абловиц и Сегюр 1981 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]