Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.

В математике и физике уравнение Кадомцева -Петвиашвили (часто сокращенно уравнение КП ) представляет собой уравнение в частных производных, описывающее нелинейное волновое движение . Уравнение КП , названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили , обычно записывается как $\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0$ где $\lambda =\pm 1$ . Приведенная выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения , x и y , одномерного уравнения Кортевега – де Фриза (КдВ) . Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x , т. е. иметь только медленные изменения решений в направлении y .

Как и уравнение КдВ, уравнение КП вполне интегрируемо. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Его также можно решить с помощью обратного преобразования рассеяния, очень похожего на нелинейное уравнение Шрёдингера . ^{[ 6 ]}

В 2002 году регуляризованная версия уравнения КП, естественно называемая уравнением Бенджамина – Боны – Махони – Кадомцева – Петвиашвили (или просто уравнением ББМ-КП ), была представлена как альтернативная модель для длинных волн малой амплитуды на мелкой воде. двигаясь в основном в направлении x в пространстве 2+1. ^{[ 7 ]}

\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxt}u)+\lambda \partial _{yy}u=0

где $\lambda =\pm 1$ . Уравнение BBM-KP представляет собой альтернативу обычному уравнению КП, аналогично тому, как уравнение Бенджамина-Боны-Махони связано с классическим уравнением Кортевега-де Фриза , поскольку линеаризованное дисперсионное уравнение BBM-KP является хорошим приближение к КП, но не демонстрирует нежелательного предельного поведения при переменной Фурье, двойственной к x. приближении $\pm \infty$ . Уравнение BBM-КП можно рассматривать как слабое поперечное возмущение уравнения Бенджамина–Боны–Махони . В результате решения соответствующих задач Коши имеют интригующую и сложную математическую взаимосвязь. Агилар и др. доказал, что решение задачи Коши для уравнения модели BBM-КП сходится к решению задачи Коши, связанной с уравнением Беньямина–Боны–Махони в $L^{2}$ -based Sobolev space $H_{x}^{k}(\mathbb {R} )$ для всех $k\geq 1$ , если их соответствующие исходные данные близки по $H_{x}^{k}(\mathbb {R} )$ как поперечная переменная $y\rightarrow \pm \infty$ . ^{[ 8 ]}

История

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928–1998) и Владимиром Петвиашвили (1936–1993); оно стало естественным обобщением уравнения КдВ (выведенного Кортевегом и Де Фрисом в 1895 году). Если в уравнении КдВ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, как в уравнении КдВ, так и в уравнении КП волны должны распространяться в положительном направлении x .

Связь с физикой

Уравнение КП можно использовать для моделирования на воде длинных волн со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией . Если поверхностное натяжение слабое по сравнению с гравитационными силами , $\lambda =+1$ используется; если поверхностное натяжение сильное, то $\lambda =-1$ . Из-за асимметрии в том, как x- и y -члены входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения ( x -direction) и поперечном ( y ) направлении; колебания в направлении y имеют тенденцию быть более плавными (иметь небольшие отклонения).

Уравнение КП также можно использовать для моделирования волн в ферромагнитных средах. ^{[ 9 ]} а также двумерные материево-волновые импульсы в бозе-эйнштейновских конденсатах .

Ограничивающее поведение

Для $\epsilon \ll 1$ , типичные x -зависимые колебания имеют длину волны $O(1/\epsilon )$ давая сингулярный предельный режим как $\epsilon \rightarrow 0$ . Предел $\epsilon \rightarrow 0$ называется бездисперсионным пределом. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

Если мы также предположим, что решения независимы от y как $\epsilon \rightarrow 0$ , то они также удовлетворяют невязкому уравнению Бюргерса :

\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.

Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — $O(\epsilon )$ — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дэйви – Стюартсона .

См. также

Ссылки

^ Вазваз, AM (2007). «Многосолитонные решения уравнения КП билинейным методом Хироты и методом Танха – Кота». Прикладная математика и вычислительная техника . 190 (1): 633–640. дои : 10.1016/j.amc.2007.01.056 .
^ Ченг, Ю.; Ли, Ю.С. (1991). «Ограничение уравнения Кадомцева-Петвиашвили и его специальные решения». Буквы по физике А. 157 (1): 22–26. Бибкод : 1991PhLA..157...22C . дои : 10.1016/0375-9601(91)90403-У .
^ Ма, WX (2015). «Лумковые решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили». Буквы по физике А. 379 (36): 1975–1978. Бибкод : 2015PhLA..379.1975M . doi : 10.1016/j.physleta.2015.06.061 .
^ Кодама, Ю. (2004). «Диаграммы Юнга и N-солитонные решения уравнения КП». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (46): 11169–11190. arXiv : nlin/0406033 . Бибкод : 2004JPhA...3711169K . дои : 10.1088/0305-4470/37/46/006 . S2CID 2071043 .
^ Дэн, Сан-Франциско; Чен, Д.Ю.; Чжан, диджей (2003). «Многосолитонные решения уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал Физического общества Японии . 72 (9): 2184–2192. Бибкод : 2003JPSJ...72.2184D . дои : 10.1143/JPSJ.72.2184 .
^ Абловиц, MJ; Сегур, Х. (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния . СИАМ.
^ Бона, JL ; Лю, Ю.; Том, ММ (2002). «Задача Коши и устойчивость уединенно-волновых решений уравнений типа RLW-КП» . Журнал дифференциальных уравнений . 185 (2): 437–482. Бибкод : 2002JDE...185..437B . дои : 10.1006/jdeq.2002.4171 .
^ Агилар, Дж.Б.; Том, ММ (2024). «Сходимость решений уравнений модели ББМ и ББМ-КП» . Дифференциальные и интегральные уравнения . 37 (3/4): 187–206. arXiv : 2204.06016 . дои : 10.57262/die037-0304-187 .
^ Леблон, Х. (2002). «КП-куски в ферромагнетиках: трехмерная модель КдВ – Бюргерса». Журнал физики A: Математический и общий . 35 (47): 10149–10161. Бибкод : 2002JPhA...3510149L . дои : 10.1088/0305-4470/35/47/313 .
^ Захаров, В.Е. (1994). «Бездисперсионный предел интегрируемых систем в измерениях 2+1». Сингулярные пределы дисперсионных волн . Бостон: Спрингер. стр. 165–174. ISBN 0-306-44628-6 .
^ Страчан, Айова (1995). «Скоба Мойала и бездисперсионный предел иерархии КП». Журнал физики A: Математический и общий . 28 (7): 1967. arXiv : hep-th/9410048 . Бибкод : 1995JPhA...28.1967S . дои : 10.1088/0305-4470/28/7/018 . S2CID 15334780 .
^ Такасаки, К.; Такебе, Т. (1995). «Интегрируемые иерархии и бездисперсионный предел». Обзоры по математической физике . 7 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Бибкод : 1995RvMaP...7..743T . дои : 10.1142/S0129055X9500030X . S2CID 17351327 .

Дальнейшее чтение

Кадомцев Б.Б.; Петвиашвили, В.И. (1970). «Об устойчивости уединенных волн в слабодисперсионных средах». Сов. Физ. Докл . 15 : 539–541. Бибкод : 1970СФД...15..539К . . Перевод "Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах". Doklady Akademii Nauk SSSR . 192 : 753–756.
Кодама, Ю. (2017). К. П. Солитоны и грассманианы: комбинаторика и геометрия двумерных волновых структур . Спрингер. ISBN 978-981-10-4093-1 .
Лу, С.Ю.; Ху, XB (1997). «Бесконечное множество пар Лакса и ограничения симметрии уравнения КП». Журнал математической физики . 38 (12): 6401–6427. Бибкод : 1997JMP....38.6401L . дои : 10.1063/1.532219 .
Минзони, А.А.; Смит, Н.Ф. (1996). «Эволюция единовременных решений уравнения КП». Волновое движение . 24 (3): 291–305. Бибкод : 1996WaMot..24..291M . CiteSeerX 10.1.1.585.6470 . дои : 10.1016/S0165-2125(96)00023-6 .
Накамура, А. (1989). «Билинейная формула N-солитона для уравнения КП». Журнал Физического общества Японии . 58 (2): 412–422. Бибкод : 1989JPSJ...58..412N . дои : 10.1143/JPSJ.58.412 .
Превиато, Эмма (2001) [1994], «КП-уравнение» , Энциклопедия математики , EMS Press
Сяо, Т.; Цзэн, Ю. (2004). «Обобщенные преобразования Дарбу для уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (28): 7143. arXiv : nlin/0412070 . Бибкод : 2004JPhA...37.7143X . дои : 10.1088/0305-4470/37/28/006 . S2CID 18500877 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кадомцева – Петвиашвили» . Математический мир .
Джиони Биондини и Дмитрий Пелиновский (ред.). «Уравнение Кадомцева–Петвиашвили» . Схоларпедия .
Бернар Деконинк. «Страница КП» . Вашингтонский университет , факультет прикладной математики. Архивировано из оригинала 6 февраля 2006 г. Проверено 27 февраля 2006 г.

[1] Вазваз, AM (2007). «Многосолитонные решения уравнения КП билинейным методом Хироты и методом Танха – Кота». Прикладная математика и вычислительная техника . 190 (1): 633–640. дои : 10.1016/j.amc.2007.01.056 .

[2] Ченг, Ю.; Ли, Ю.С. (1991). «Ограничение уравнения Кадомцева-Петвиашвили и его специальные решения». Буквы по физике А. 157 (1): 22–26. Бибкод : 1991PhLA..157...22C . дои : 10.1016/0375-9601(91)90403-У .

[3] Ма, WX (2015). «Лумковые решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили». Буквы по физике А. 379 (36): 1975–1978. Бибкод : 2015PhLA..379.1975M . doi : 10.1016/j.physleta.2015.06.061 .

[4] Кодама, Ю. (2004). «Диаграммы Юнга и N-солитонные решения уравнения КП». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (46): 11169–11190. arXiv : nlin/0406033 . Бибкод : 2004JPhA...3711169K . дои : 10.1088/0305-4470/37/46/006 . S2CID 2071043 .

[5] Дэн, Сан-Франциско; Чен, Д.Ю.; Чжан, диджей (2003). «Многосолитонные решения уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал Физического общества Японии . 72 (9): 2184–2192. Бибкод : 2003JPSJ...72.2184D . дои : 10.1143/JPSJ.72.2184 .

[6] Абловиц, MJ; Сегур, Х. (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния . СИАМ.

[7] Бона, JL ; Лю, Ю.; Том, ММ (2002). «Задача Коши и устойчивость уединенно-волновых решений уравнений типа RLW-КП» . Журнал дифференциальных уравнений . 185 (2): 437–482. Бибкод : 2002JDE...185..437B . дои : 10.1006/jdeq.2002.4171 .

[8] Агилар, Дж.Б.; Том, ММ (2024). «Сходимость решений уравнений модели ББМ и ББМ-КП» . Дифференциальные и интегральные уравнения . 37 (3/4): 187–206. arXiv : 2204.06016 . дои : 10.57262/die037-0304-187 .

[9] Леблон, Х. (2002). «КП-куски в ферромагнетиках: трехмерная модель КдВ – Бюргерса». Журнал физики A: Математический и общий . 35 (47): 10149–10161. Бибкод : 2002JPhA...3510149L . дои : 10.1088/0305-4470/35/47/313 .

[10] Захаров, В.Е. (1994). «Бездисперсионный предел интегрируемых систем в измерениях 2+1». Сингулярные пределы дисперсионных волн . Бостон: Спрингер. стр. 165–174. ISBN 0-306-44628-6 .

[11] Страчан, Айова (1995). «Скоба Мойала и бездисперсионный предел иерархии КП». Журнал физики A: Математический и общий . 28 (7): 1967. arXiv : hep-th/9410048 . Бибкод : 1995JPhA...28.1967S . дои : 10.1088/0305-4470/28/7/018 . S2CID 15334780 .

[12] Такасаки, К.; Такебе, Т. (1995). «Интегрируемые иерархии и бездисперсионный предел». Обзоры по математической физике . 7 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Бибкод : 1995RvMaP...7..743T . дои : 10.1142/S0129055X9500030X . S2CID 17351327 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]