Бездисперсионное уравнение

Бездисперсионные (или квазиклассические) пределы интегрируемых уравнений в частных производных (ЧДУ) возникают в различных задачах математики и физики и интенсивно изучаются в современной литературе (см., например, ссылки ниже). Обычно они возникают при рассмотрении медленно модулированных длинных волн интегрируемой дисперсионной системы УЧП.

Примеры

Бездисперсионное уравнение КП

Бездисперсионное уравнение Кадомцева–Петвиашвили (дКПЕ), известное также (с точностью до несущественной линейной замены переменных) как уравнение Хохлова–Заболоцкой , имеет вид

$(u_{t}+uu_{x})_{x}+u_{yy}=0,\qquad (1)$

Оно возникает в результате коммутации

$[L_{1},L_{2}]=0.\qquad (2)$

следующей пары однопараметрических семейств векторных полей

$L_{1}=\partial _{y}+\lambda \partial _{x}-u_{x}\partial _{\lambda },\qquad (3a)$

$L_{2}=\partial _{t}+(\lambda ^{2}+u)\partial _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\partial _{\lambda },\qquad (3b)$

где $\lambda$ является спектральным параметром. ДКПЕ – это $x$-бездисперсионный предел знаменитого уравнения Кадомцева–Петвиашвили , возникающий при рассмотрении длинных волн этой системы. ДКПЕ, как и многие другие (2+1)-мерные интегрируемые бездисперсионные системы, допускает (3+1)-мерное обобщение.

Уравнения моментов Бенни

Бездисперсионная система КП тесно связана с иерархией моментов Бенни , каждая из которых представляет собой бездисперсионную интегрируемую систему:

$A_{t_{2}}^{n}+A_{x}^{n+1}+nA^{n-1}A_{x}^{0}=0.$

Они возникают как условие согласованности между

$\lambda =p+\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}/p^{n+1},$

и две самые простые эволюции в иерархии:

$p_{t_{2}}+pp_{x}+A_{x}^{0}=0,$

$p_{t_{3}}+p^{2}p_{x}+(pA^{0}+A^{1})_{x}=0,$

ДКП восстанавливается при установке

$u=A^{0},$

и устранение остальных моментов, а также выявление $y=t_{2}$ и $t=t_{3}$.

Если установить $A^{n}=hv^{n}$, так что счетное число моментов $A^{n}$ выражаются через всего две функции, классические уравнения мелкой воды приводят к:

$h_{y}+(hv)_{x}=0,$

$v_{y}+vv_{x}+h_{x}=0.$

Они также могут быть получены из рассмотрения медленно модулированных волновых решений нелинейного уравнения Шредингера . Такие «редукции», выражающие моменты через конечное число зависимых переменных, описываются уравнением Гиббонса-Царева .

Бездисперсионное уравнение Кортевега–де Фриза.

Бездисперсионное уравнение Кортевега – де Фриза (dKdVE) имеет вид

$u_{t_{3}}=uu_{x}.\qquad (4)$

Это бездисперсионный или квазиклассический предел уравнения Кортевега – де Фриза .Оно удовлетворено $t_{2}$-независимые решения системы дКП.Его также можно получить из $t_{3}$-поток иерархии Бенни при настройке

$\lambda ^{2}=p^{2}+2A^{0}.$

Dispersionless Novikov–Veselov equation

Бездисперсионное уравнение Новикова-Веселова чаще всего записывается в виде следующего уравнения для действительной функции $v=v(x_{1},x_{2},t)$:

${\begin{aligned}&\partial _{t}v=\partial _{z}(vw)+\partial _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _{z}v,\end{aligned}}$

где используются следующие стандартные обозначения комплексного анализа: $\partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}-i\partial _{x_{2}})$, $\partial _{\bar {z}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}})$. Функция $w$ здесь вспомогательная функция, определенная однозначно из $v$ с точностью до голоморфного слагаемого.

Многомерные интегрируемые бездисперсионные системы

Видеть для систем с контактными парами Лакса, и, например, и ссылки в нем для других систем.

См. также

• Интегрируемые системы
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Нелинейные системы
• Уравнение Дэйви – Стюартсона
• Дисперсионное уравнение в частных производных
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.
• Уравнение Кортевега – де Фриза

Ссылки

Библиография

• Кодама Ю., Гиббонс Дж. «Интегрируемость бездисперсионной иерархии КП», Nonlinear World 1, (1990).
• Захаров В.Е. "Бездисперсионный предел интегрируемых систем в измерениях 2+1", Сингулярные пределы дисперсионных волн, серия NATO ASI, том 320, 165-174, (1994).
• Такасаки, Канехиса; Такебе, Такаши (1995). «Интегрируемые иерархии и бездисперсионный предел». Обзоры по математической физике . 07 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Бибкод : 1995RvMaP...7..743T . дои : 10.1142/S0129055X9500030X . S2CID   17351327 .
• Конопельченко, Б.Г. (2007). «Квазиклассическое обобщенное представление Вейерштрасса и бездисперсионное уравнение ДС». Физический журнал A: Математический и теоретический . 40 (46): Ф995–Ф1004. arXiv : 0709.4148 . дои : 10.1088/1751-8113/40/46/F03 . S2CID   18451590 .
• Конопельченко Б.Г.; Моро, А. (2004). «Интегрируемые уравнения нелинейной геометрической оптики». Исследования по прикладной математике . 113 (4): 325–352. arXiv : nlin/0403051 . Бибкод : 2004nlin......3051K . дои : 10.1111/j.0022-2526.2004.01536.x . S2CID   17611812 .
• Дунайский, Мацей (2008). «Интерполирующая бездисперсионная интегрируемая система». Физический журнал A: Математический и теоретический . 41 (31): 315202. arXiv : 0804.1234 . Бибкод : 2008JPhA...41E5202D . дои : 10.1088/1751-8113/41/31/315202 . S2CID   15695718 .
• Дунайский М. «Солитоны, инстантоны и твисторы», Oxford University Press, 2010.

Внешние ссылки

• Ishimori_system на вики по дисперсионным уравнениям
• Такебе Т. «Лекции по бездисперсионным интегрируемым иерархиям» , 2014 г.