Novikov–Veselov equation

В математике уравнение Новикова–Веселова (или уравнение Веселова–Новикова ) является естественным (2+1)-мерным аналогом уравнения Кортевега–де Фриза (КдВ) . В отличие от другого (2+1)-мерного аналога КдВ, уравнения Кадомцева–Петвиашвили , оно интегрируется посредством обратного преобразования рассеяния для двумерного стационарного уравнения Шредингера . Аналогично уравнение Кортевега – де Фриза интегрируется посредством преобразования обратного рассеяния для одномерного уравнения Шредингера. Уравнение названо в честь С. П. Новикова и А. П. Веселова, опубликовавших его в работе Новиков и Веселов (1984) .

Определение

Уравнение Новикова–Веселова чаще всего записывается как

${\begin{aligned}&\partial _{t}v=4\;\Re \left\{4\partial _{z}^{3}v+\partial _{z}(vw)-E\partial _{z}w\right\},\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _{z}v,\end{aligned}}$

( 1 )

где $v=v(x_{1},x_{2},t),$ $w=w(x_{1},x_{2},t)$ следующие стандартные обозначения комплексного анализа : и используются $\Re$ это реальная часть ,

\partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}-i\partial _{x_{2}}),\quad \partial _{\bar {z}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}}).

Функция $v$ обычно считается реальной стоимостью. Функция $w$ — вспомогательная функция, определяемая через $v$ с точностью до голоморфного слагаемого, $E$ - действительный параметр, соответствующий уровню энергии связанного двумерного уравнения Шредингера

L\psi =E\psi ,\quad L=-\Delta +v(x,t),\quad \Delta =\partial _{x_{1}}^{2}+\partial _{x_{2}}^{2}.

Связь с другими нелинейными интегрируемыми уравнениями

Когда функции $v$ и $w$ в уравнении Новикова–Веселова зависят только от одной пространственной переменной, например $v=v(x_{1},t)$ , $w=w(x_{1},t)$ , то уравнение сводится к классическому уравнению Кортевега–де Фриза . Если в уравнении Новикова–Веселова $E\to \pm \infty$ , то уравнение сводится к другому (2+1)-мерному аналогу уравнения КдВ — уравнению Кадомцева–Петвиашвили (к КП-I и КП-II соответственно) ( Захаров, Шульман, 1991 ).

История

Метод обратного преобразования рассеяния для решения нелинейных уравнений в частных производных (ЧДУ) начинается с открытия К. С. Гарднера , Дж. М. Грина , М. Д. Крускала , Р. М. Миуры ( Гарднер и др., 1967 ), которые продемонстрировали, что уравнение Кортевега – де Фриза можно интегрировать. через обратную задачу рассеяния для одномерного стационарного уравнения Шрёдингера. Алгебраическую природу этого открытия раскрыл Лакс , который показал, что уравнение Кортевега–де Фриза можно записать в следующей операторной форме (так называемая пара Лакса ):

${\frac {\partial L}{\partial t}}=[L,A],$

( 2 )

где $L=-\partial _{x}^{2}+v(x,t)$ , $A=\partial _{x}^{3}+{\frac {3}{4}}(v(x,t)\partial _{x}+\partial _{x}v(x,t))$ и $[\cdot ,\cdot ]$ является коммутатором . Уравнение ( 1 ) является условием совместности уравнений

{\begin{aligned}&L\psi =\lambda \psi ,\\&\psi _{t}=A\psi \end{aligned}}

для всех значений $\lambda$ .

Впоследствии представление вида ( 2 ) было найдено для многих других физически интересных нелинейных уравнений, таких как уравнение Кадомцева–Петвиашвили , уравнение синус-Гордон , нелинейное уравнение Шрёдингера и другие. Это привело к широкому развитию теории обратного преобразования рассеяния для интегрирования нелинейных уравнений в частных производных.

При попытке обобщить представление ( 2 ) на два измерения получается, что оно справедливо только для тривиальных случаев (операторы $L$ , $A$ , $B$ иметь постоянные коэффициенты или оператор $L$ является дифференциальным оператором порядка не выше 1 по одной из переменных). Однако С. В. Манаков показал, что в двумерном случае правильнее рассматривать следующее представление (далее называемое тройкой LAB Манакова):

${\frac {\partial L}{\partial t}}=[L,A]+BL,$

( 3 )

или, что то же самое, искать условие совместности уравнений

{\begin{aligned}&L\psi =\lambda \psi ,\\&\psi _{t}=A\psi \end{aligned}}

при одном фиксированном значении параметра $\lambda$ ( Манаков 1976 ).

Представление ( 3 ) для двумерного оператора Шрёдингера $L$ был обнаружен С. П. Новиковым и А. П. Веселовым в работе ( Новиков, Веселов, 1984 ). Авторы также построили иерархию эволюционных уравнений, интегрируемых с помощью обратного преобразования рассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии. В эту систему эволюционных уравнений (которую иногда называют иерархией уравнений Новикова–Веселова) входит, в частности, уравнение ( 1 ).

Физические приложения

Бездисперсионная версия уравнения Новикова–Веселова была получена в модели нелинейной геометрической оптики ( Конопельченко и Моро, 2004 ).

Поведение решений

Поведение решений уравнения Новикова–Веселова существенно зависит от регулярности данных рассеяния для этого решения. Если данные рассеяния регулярны, то решение равномерно исчезает со временем. Если данные рассеяния имеют особенности, то в решении могут образовываться солитоны . Например, данные рассеяния солитонных решений Гриневича– Захарова уравнения Новикова–Веселова имеют особые точки.

Солитоны традиционно являются ключевым объектом исследования в теории нелинейных интегрируемых уравнений. Солитоны уравнения Новикова–Веселова при положительной энергии являются прозрачными потенциалами, как и в одномерном случае (в котором солитоны являются безотражательными потенциалами). Однако в отличие от одномерного случая, когда существуют хорошо известные экспоненциально затухающие солитоны , уравнение Новикова–Веселова (по крайней мере, при ненулевой энергии) не обладает экспоненциально локализованными солитонами ( Новиков 2011 ).

Ссылки

Гарднер, CS; Грин, Дж. М.; Краскал, доктор медицины; Миура, Р.М. (1967), «Метод решения уравнения Кортевега – де Фриза», Phys. Преподобный Летт. , 19 (19): 1095–1098, Бибкод : 1967PhRvL..19.1095G , doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1095
Конопельченко Б.; Моро, А. (2004), «Интегрируемые уравнения в нелинейной геометрической оптике», Исследования по прикладной математике , 113 (4): 325–352, arXiv : nlin/0403051 , doi : 10.1111/j.0022-2526.2004.01536.x , S2CID 17611812
Манаков С.В. (1976), "Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения" , Успехи матем. Наук , 31 (5): 245–246 (англ. перевод: Russian Math. Surveys 31 (1976), № 5, 245–246.)
Новиков, Р.Г. (2011), «Отсутствие экспоненциально локализованных солитонов для уравнения Новикова–Веселова при положительной энергии», Physics Letters A , 375 (9): 1233–1235, arXiv : 1010.0770 , Bibcode : 2011PhLA..375.1233N , doi : 10.1016/ж.физлета.2011.01.052
Новиков, ИП; Веселов А.П. (1984), "Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шредингера. Явная формула и эволюционные уравнения" (PDF) , Сов. Математика. Докл. , 30 : 588–591
Захаров В.Е.; Шульман, Е.И. (1991), «Интегрируемость нелинейных систем и теория возмущений», в Захарове, В.Е. (ред.), Что такое интегрируемость? , Серия Спрингера по нелинейной динамике, Берлин: Springer – Verlag, стр. 185–250, ISBN. 3-540-51964-5

Внешние ссылки