Мартин Дэвид Краскал

Мартин Краскал
Рожденный	Мартин Дэвид Краскал ( 1925-09-28 ) 28 сентября 1925 г. Нью-Йорк , Нью-Йорк , США
Умер	26 декабря 2006 г. (26 декабря 2006 г.) (81 год) Принстон, Нью-Джерси , США
Гражданство	Соединенные Штаты
Альма-матер	Нью-Йоркский университет Чикагский университет
Известный	Координаты Крускала – Секереса Неустойчивость Краскала – Шафранова Моды Бернштейна – Грина – Краскала Нестабильность Крускала – Шварцшильда Теория солитонов Крускал граф
Награды	Премия Хейнемана (1983) Национальная медаль науки (1993 г.) ФорМемРС (1997) Премия Стила (2006)
Научная карьера
Поля	Математическая физика
Учреждения	Университет Рутгерса Принстонский университет
Докторантура	Ричард Курант
Докторанты	Роберт Синклер Маккей Стивен Орзаг Налини Джоши

Мартин Дэвид Крускал ( / ˈ k r ʌ s k əl / ; 28 сентября 1925 - 26 декабря 2006) был американским математиком и физиком . Он внес фундаментальный вклад во многие области математики и естественных наук, от физики плазмы до общей теории относительности и от нелинейного анализа до асимптотического анализа . Его самый знаменитый вклад был в теорию солитонов .

Он был студентом Чикагского университета и Нью-Йоркского университета , где защитил докторскую диссертацию. под руководством Ричарда Куранта в 1952 году. Большую часть своей карьеры он провел в Принстонском университете , начиная с 1951 года в качестве научного сотрудника в Лаборатории физики плазмы, а затем в качестве профессора астрономии (1961), основателя и председателя Программы прикладных и вычислительных технологий. математик (1968 г.) и профессор математики (1979 г.). Он ушел из Принстонского университета в 1989 году и поступил на математический факультет Университета Рутгерса , возглавив кафедру математики Дэвида Гильберта.

Помимо серьезной математической работы, Краскал был известен математическими развлечениями. Например, он изобрел счет Крускала — магический эффект, который, как известно, сбивал с толку профессиональных фокусников, поскольку основывался не на ловкости рук, а на математическом явлении.

Личная жизнь

Мартин Дэвид Крускал родился в еврейской семье. в Нью-Йорке и вырос в Нью-Рошель . В мире он был известен как Мартин, а в семье — Дэвид. Его отец, Джозеф Б. Краскал-старший, был успешным оптовым торговцем мехом. Его мать, Лилиан Роуз Форхаус Крускал Оппенгеймер , стала известным пропагандистом искусства оригами в раннюю эпоху телевидения и основала Американский центр оригами в Нью-Йорке, который позже стал OrigamiUSA. Он был одним из пяти детей. Двумя его братьями, выдающимися математиками, были Джозеф Краскал (1928–2010; первооткрыватель многомерного масштабирования , теоремы о дереве Краскала и алгоритма Краскала ) и Уильям Краскал (1919–2005; первооткрыватель теста Краскела-Уоллиса ).

Жена Мартина Крускала, Лаура Крускал, была лектором и писателем по оригами, а также автором многих новых моделей. Они были женаты 56 лет. Мартин Крускал также изобрел несколько моделей оригами, в том числе конверт для отправки секретных сообщений. Конверт можно было легко развернуть, но его нельзя было легко сложить, чтобы скрыть документ. Их трое детей — Карен (адвокат ), Керри (автор детских книг ), и Клайд , ученый-компьютерщик.

Исследования

Научные интересы Мартина Крускала охватывали широкий круг тем чистой математики и приложений математики в науке. На протяжении всей жизни он интересовался многими темами уравнений в частных производных и нелинейного анализа , а также разработал фундаментальные идеи об асимптотических разложениях , адиабатических инвариантах и ​​многочисленных связанных темах.

Его доктор философии. диссертация, написанная под руководством Рихарда Куранта и Бернарда Фридмана в Нью-Йоркском университете , была на тему «Теорема моста для минимальных поверхностей ». Он получил докторскую степень. в 1952 году.

В 1950-х и начале 1960-х годов он в основном работал над физикой плазмы, разработав множество идей, которые сейчас являются фундаментальными в этой области. Его теория адиабатических инвариантов сыграла важную роль в исследованиях термоядерного синтеза. Важные концепции физики плазмы, носящие его имя, включают неустойчивость Краскала-Шафранова и моды Бернштейна-Грина-Краскала (БГК) . Совместно с И.Б. Бернштейном, Э.А. Фриманом и Р.М. Кульсрудом он разработал МГД (или магнитогидродинамическую теорию) . ) Энергетический принцип. Его интересы простирались как на плазменную астрофизику, так и на лабораторную плазму.

В 1960 году Краскал открыл полную классическую пространственно-временную структуру простейшего типа черной дыры в общей теории относительности . Сферически-симметричное пространство-время можно описать решением Шварцшильда , которое было открыто на заре общей теории относительности. Однако в своей первоначальной форме это решение описывает только область вне горизонта событий черной дыры. Крускал (параллельно с Джорджем Секересом ) обнаружил максимальное аналитическое продолжение решения Шварцшильда, которое он изящно продемонстрировал, используя то, что сейчас называется координатами Крускала-Секереса .

Это привело Краскала к удивительному открытию, что внутренняя часть черной дыры выглядит как « кротовая нора », соединяющая две идентичные, асимптотически плоские вселенные. Это был первый реальный пример решения проблемы червоточины в общей теории относительности. Червоточина схлопывается в сингулярность прежде, чем какой-либо наблюдатель или сигнал сможет переместиться из одной вселенной в другую. Сейчас считается, что именно такова судьба червоточин в общей теории относительности. В 1970-х годах, когда была открыта тепловая природа физики черных дыр , свойство червоточины решения Шварцшильда оказалось важным ингредиентом. В настоящее время это считается фундаментальным ключом к пониманию квантовой гравитации .

Самой известной работой Крускала было открытие в 1960-х годах интегрируемости некоторых нелинейных уравнений в частных производных, включающих функции одной пространственной переменной, а также времени. Эти разработки начались с новаторского компьютерного моделирования Крускалом и Норманом Забуски (с некоторой помощью Гарри Дыма ) нелинейного уравнения, известного как уравнение Кортевега – де Фриза (КдВ). Уравнение КдВ представляет собой асимптотическую модель распространения нелинейно- дисперсионных волн. Но Краскал и Забуски сделали поразительное открытие решения уравнения КдВ в виде «уединенной волны», которое распространяется без дисперсии и даже восстанавливает свою форму после столкновения с другими такими же волнами. Из-за свойств такой волны, подобных частице, они назвали ее « солитоном », и этот термин прижился почти сразу.

Эта работа была частично мотивирована парадоксом, близким к повторяемости , который наблюдался в очень раннем компьютерном моделировании. некоторой нелинейной решетки Энрико Ферми , Джоном Пастой , Станиславом Уламом и Мэри Цингу в Лос-Аламосе в 1955 году. Эти авторы наблюдали длительное время почти рекуррентное поведение одномерной цепочки ангармонических осцилляторов, в отличие от быстрой термализации, которая было ожидаемо. Краскал и Забуски смоделировали уравнение КдВ, которое Крускал получил как континуальный предел этой одномерной цепочки, и обнаружили солитонное поведение, противоположное термализации. Это оказалось сутью явления.

Явление уединенных волн было загадкой XIX века, восходящей к работам Джона Скотта Рассела , который в 1834 году наблюдал то, что мы сейчас называем солитоном, распространяющимся в канале, и преследовал его верхом на лошади. Несмотря на свои наблюдения за солитонами в экспериментах с волновым резервуаром, Скотт Рассел никогда не признавал их таковыми из-за своего внимания к «большой поступательной волне», уединенной волне с самой большой амплитудой. Его экспериментальные наблюдения, представленные в его отчете о волнах Британской ассоциации содействия развитию науки в 1844 году, были восприняты со скептицизмом Джорджем Эйри и Джорджем Стоуксом , поскольку их теории линейных волн на воде не смогли их объяснить. Джозеф Буссинеск (1871 г.) и лорд Рэлей (1876 г.) опубликовали математические теории, подтверждающие наблюдения Скотта Рассела. В 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Врис сформулировали уравнение КдВ для описания волн на мелкой воде (таких как волны в канале, наблюдаемые Расселом), но основные свойства этого уравнения не были поняты до тех пор, пока не появилась работа Крускала и его сотрудников в 1960-е годы.

Солитонное поведение предполагало, что уравнение КдВ должно иметь законы сохранения, выходящие за рамки очевидных законов сохранения массы, энергии и импульса. Четвертый закон сохранения был открыт Джеральдом Уиземом , а пятый – Краскалом и Забуски. Несколько новых законов сохранения были открыты вручную Робертом Миурой , который также показал, что существует множество законов сохранения для родственного уравнения, известного как модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза (МКдВ). С помощью этих законов сохранения Миура показал связь (называемую преобразованием Миуры) между решениями уравнений КдВ и МКдВ. Это была подсказка, которая позволила Краскалу вместе с Клиффордом С. Гарднером , Джоном М. Грином и Миурой (GGKM) открыть общий метод точного решения уравнения КдВ и понять законы его сохранения. Это был метод обратной задачи рассеяния — удивительный и элегантный метод, демонстрирующий, что уравнение КдФ допускает бесконечное число сохраняющихся по Пуассону величин и является полностью интегрируемым. Это открытие дало современную основу для понимания явления солитона: уединенная волна воссоздается в уходящем состоянии, поскольку это единственный способ удовлетворить всем законам сохранения. Вскоре после GGKM Питер Лакс классно интерпретировал метод обратного рассеяния в терминах изоспектральных деформаций и пар Лакса .

Метод обратной задачи рассеяния имел поразительное разнообразие обобщений и применений в различных областях математики и физики. Сам Краскал был пионером некоторых обобщений, таких как существование бесконечного числа сохраняющихся величин для уравнения синус-Гордон . метода обратной задачи рассеяния для этого уравнения . Это привело к открытию М. Дж. Абловицем , Д. Д. Каупом, А. С. Ньюэллом и Х. Сегуром (AKNS) Уравнение синус-Гордон — это релятивистское волновое уравнение в измерениях 1+1, которое также демонстрирует явление солитона и которое стало важной моделью разрешимой релятивистской теории поля. В плодотворной работе, предшествовавшей АКНС, Захаров и Шабат открыли метод обратной задачи рассеяния для нелинейного уравнения Шрёдингера.

Сейчас известно, что солитоны широко распространены в природе, от физики до биологии. В 1986 году Краскал и Забуски разделили золотую медаль Говарда Н. Поттса от Института Франклина «за вклад в математическую физику и ранние творческие комбинации анализа и вычислений, но особенно за плодотворную работу по свойствам солитонов». Присуждая премию Стила в 2006 году Гарднеру, Грину, Краскалу и Миуре, Американское математическое общество заявило, что до их работы «не существовало общей теории точного решения какого-либо важного класса нелинейных дифференциальных уравнений». В AMS добавили: «В приложениях математики солитоны и их потомки (кинки, антикинки, инстантоны и бризеры) вошли и изменили такие разнообразные области, как нелинейная оптика, физика плазмы, а также науки об океане, атмосфере и планетах. Нелинейность произошла революция: от помехи, которую нужно устранить, к новому инструменту, который нужно использовать».

Краскал получил Национальную медаль науки в 1993 году «за свое влияние в качестве лидера нелинейной науки на протяжении более двух десятилетий в качестве главного архитектора теории солитонных решений нелинейных уравнений эволюции».

В статье Обозревая состояние математики на рубеже тысячелетий, выдающийся математик Филип А. Гриффитс писал, что открытие интегрируемости уравнения КдФ «самым прекрасным образом продемонстрировало единство математики. Анализ, который является традиционным способом изучения дифференциальных уравнений. Оказывается, можно понять решения этих дифференциальных уравнений с помощью некоторых очень элегантных конструкций в алгебраической геометрии . Решения также тесно связаны с теорией представлений , поскольку эти уравнения получаются. иметь бесконечное число скрытых симметрий. Наконец, они относятся к задачам элементарной геометрии».

В 1980-х годах Краскал проявил острый интерес к уравнениям Пенлеве . Они часто возникают в результате снижения симметрии солитонных уравнений, и Краскал был заинтригован тесной связью, которая, как оказалось, существовала между свойствами, характеризующими эти уравнения, и полностью интегрируемыми системами. Большая часть его последующих исследований была вызвана желанием понять эту взаимосвязь и разработать новые прямые и простые методы изучения уравнений Пенлеве. Краскала редко удовлетворяли стандартные подходы к дифференциальным уравнениям.

Шесть уравнений Пенлеве обладают характеристическим свойством, называемым свойством Пенлеве: их решения однозначны вокруг всех особенностей, положение которых зависит от начальных условий. По мнению Крускала, поскольку это свойство определяет уравнения Пенлеве, с этого следует иметь возможность начать, без каких-либо дополнительных ненужных структур, чтобы получить всю необходимую информацию об их решениях. Первым результатом было асимптотическое исследование уравнений Пенлеве с Налини Джоши , необычное для того времени, поскольку не требовало использования связанных с ним линейных задач. Его настойчивые сомнения в отношении классических результатов привели к созданию прямого и простого метода, также разработанного совместно с Джоши, для доказательства свойства Пенлеве уравнений Пенлеве.

На более позднем этапе своей карьеры одним из главных интересов Краскала была теория сюрреалистических чисел . Сюрреалистические числа, определяемые конструктивно, обладают всеми основными свойствами и действиями действительных чисел. Они включают в себя действительные числа наряду со многими типами бесконечностей и бесконечно малых. Крускал внес свой вклад в создание теории, определение сюрреалистических функций и анализ их структуры. Он обнаружил замечательную связь между сюрреалистическими числами, асимптотикой и экспоненциальной асимптотикой. Главный открытый вопрос, поднятый Конвеем, Краскалом и Нортоном в конце 1970-х годов и исследованный Краскалом с большим упорством, заключается в том, обладают ли достаточно хорошо ведущие себя сюрреалистические функции определенными интегралами. На этот вопрос в полной мере был дан отрицательный ответ, для чего Conway et al. на что надеялись Костин, Фридман и Эрлих в 2015 году. Однако анализ Costin et al. показывает, что определенные интегралы действительно существуют для достаточно широкого класса сюрреалистических функций, для которых реализуется широко понимаемое видение Крускала асимптотического анализа. На момент своей смерти Краскал вместе с О. Костином писал книгу по сюрреалистическому анализу.

Крускал ввёл термин асимптотология для описания «искусства работы с прикладными математическими системами в предельных случаях». Он сформулировал семь принципов асимптотологии: 1. Принцип упрощения; 2. Принцип рекурсии; 3. Принцип интерпретации; 4. Принцип дикого поведения; 5. Принцип Уничтожения; 6. Принцип максимального баланса; 7. Принцип математической чепухи.

Термин асимптотология не так широко используется, как термин солитон . Асимптотические методы различного типа успешно используются практически с момента зарождения самой науки. Тем не менее Крускал пытался показать, что асимптотология — это особая отрасль знания, в некотором смысле промежуточная между наукой и искусством. Его предложение оказалось очень плодотворным.

Награды и почести

Почести и награды Краскала включали:

• Лектор Гиббса, Американское математическое общество (1979);
• Премия Дэнни Хейнемана Американского физического общества (1983);
• Золотая медаль Говарда Н. Поттса , Институт Франклина (1986 г.);
• Премия в области прикладной математики и численного анализа Национальной академии наук (1989 г.);
• Национальная медаль науки (1993 г.);
• Лекция Джона фон Неймана, SIAM (1994);
• Почетный доктор наук Университета Хериот-Ватт (2000 г.);
• Премия Максвелла, Совет промышленной и прикладной математики (2003 г.);
• Премия Стила Американского математического общества (2006 г.)
• Член Национальной академии наук (1980 г.) и Американской академии искусств и наук (1983 г.).
• Избран иностранным членом Королевского общества (ForMemRS) в 1997 г.
• Избран иностранным членом Российской академии наук (2000 г.).
• Избран членом Королевского общества Эдинбурга (2001 г.).

См. также

• Счет Краскала в занимательной математике

Внешние ссылки

• Памяти: Мартин Дэвид Крускал
• Забуски, Норман Дж. (2005). «Ферми-Паста-Улам, солитоны и ткань нелинейной и вычислительной науки: история, синергетика и визиометрика». Хаос . 15 (1): 015102. Бибкод : 2005Хаос..15a5102Z . дои : 10.1063/1.1861554 . ПМИД   15836279 .
• Солитоны, особенности, сюрреалистические явления и тому подобное: конференция в честь восьмидесятилетия Мартина Краскала
• Некролог «Нью-Йорк Таймс», 13 января 2007 г.
• Некролог еженедельного бюллетеня Принстонского университета, 5 февраля 2007 г.
• Крис Эйлбек/Университет Хериот-Ватт, Эдинбург, Великобритания
• Некролог Los Angeles Times, 6 января 2007 г.
• Некрологи - Общество промышленной и прикладной математики Мартина Дэвида Краскала, 11 апреля 2007 г.