Асимптотология

Асимптотология определяется как «искусство работы с прикладными математическими системами в предельных случаях ». ^[1] а также «наука о синтезе простоты и точности посредством локализации». ^[2]

Принципы [ править ]

Область асимптотики обычно впервые встречается в школьной геометрии с введением асимптоты — линии, к которой стремится кривая на бесконечности. Слово Ασύμπτωτος (асимптотос) в переводе с греческого означает «несовпадение» и подчеркивает тот факт, что приближение не превращается в совпадение. Это отличительная черта асимптотики, но само по себе это свойство не полностью охватывает идею асимптотики , и этимологически этот термин кажется совершенно недостаточным.

Теория возмущений, малые и большие параметры [ править ]

В физике и других областях науки часто встречаются задачи асимптотического характера, такие как затухание, вращение по орбите, стабилизация возмущенного движения и т. д. Их решения поддаются асимптотическому анализу ( теории возмущений ), который широко используется в современных прикладная математика , механика и физика . Но асимптотические методы претендуют на то, чтобы быть чем-то большим, чем просто частью классической математики. К. Фридрихс говорил: «Асимптотическое описание является не только удобным инструментом математического анализа природы, оно имеет и более фундаментальное значение». М. Крускал ввел специальный термин асимптотология, определенный выше, и призвал к формализации накопленного опыта для превращения искусства асимптотологии в науку. Общий термин способен обладать значительной эвристической ценностью. В своем эссе «Будущее математики» ^[3] А. Пуанкаре писал следующее.

Изобретения нового слова часто бывает достаточно, чтобы выявить отношение, и слово будет творческим... Едва ли можно поверить, какую экономию мысли, как говорил Мах, можно произвести с помощью хорошего... выбранный термин... Математика - это искусство давать одно и то же имя разным вещам... Когда язык выбран правильно, с удивлением обнаруживаешь, что все доказательства, сделанные для известного объекта, немедленно применимы ко многим новым объектам: ничего необходимо изменить, даже термины, поскольку имена стали прежними... Таким образом, простой факт не представляет иногда большого интереса... он приобретает ценность только тогда, когда какой-нибудь более внимательный мыслитель уловит связь, которую он создает. out, и символизирует это термином.

Кроме того, «успех « кибернетики », « аттракторов » и « теории катастроф » иллюстрирует плодотворность словотворчества как научного исследования». ^[4]

Почти каждая физическая теория, сформулированная в самом общем виде, довольно сложна с математической точки зрения. Поэтому как при зарождении теории, так и при ее дальнейшем развитии особое значение приобретают простейшие предельные случаи, допускающие аналитические решения. В этих пределах обычно уменьшается число уравнений, снижается их порядок, нелинейные уравнения могут заменяться линейными, исходная система становится в определенном смысле усредненной и т. д.

Все эти идеализации, какими бы разными они ни казались, повышают степень симметрии математической модели рассматриваемого явления.

подход Асимптотический

По сути, асимптотический подход к сложной задаче состоит в том, чтобы трактовать недостаточно симметричную управляющую систему как можно ближе к некоторой симметричной.

При попытке получить лучшее приближение точного решения данной задачи крайне важно, чтобы определение корректирующих решений, отклоняющихся от предельного случая, было намного проще, чем непосредственное исследование управляющей системы. На первый взгляд, возможности такого подхода ограничиваются изменением параметров, определяющих систему, лишь в узком диапазоне. Однако опыт исследования различных физических задач показывает, что если параметры системы достаточно изменились и система далеко отклонилась от симметричного предельного случая, то может быть найдена другая предельная система, часто с менее очевидными симметриями, к которой проводится асимптотический анализ. также применимо. Это позволяет описывать поведение системы на основе небольшого числа предельных случаев во всем диапазоне изменения параметров. Такой подход соответствует максимальному уровню интуиции, способствует дальнейшему пониманию и в конечном итоге приводит к формулированию новых физических концепций.

Важно также, что асимптотический анализ помогает установить связь между различными физическими теориями. Целью асимптотического подхода является упрощение объекта. Это упрощение достигается за счет уменьшения окрестности рассматриваемой особенности. Характерно, что точность асимптотических разложений растет с локализацией. Точность и простота обычно рассматриваются как взаимоисключающие понятия. Стремясь к простоте, мы жертвуем точностью и, пытаясь достичь точности, не ожидаем простоты. Однако при локализации антиподы сходятся; противоречие разрешается в синтезе, называемом асимптотикой . Другими словами, простота и точность связаны соотношением «принципа неопределенности», а размер области служит малым параметром – мерой неопределенности.

Принцип асимптотической неопределенности

Проиллюстрируем «принцип асимптотической неопределенности». Возьмем разложение функции $f(x)$ в асимптотической последовательности ${\phi _{n}(x)}$ :
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$ , $x$ → $0$ .

Частичная сумма ряда обозначается $S_{N}(x)$ , а также точность аппроксимации при заданном $N$ оценивается $\Delta _{N}(x)=|f(x)-S_{N}(x)|$ . Простота здесь характеризуется числом $N$ а локальность по длине интервала $x$ .

Основываясь на известных свойствах асимптотического разложения , рассмотрим парную взаимосвязь величин $x$ , $N$ , и $\Delta$ . По фиксированной $x$ разложение изначально сходится, т. е. точность увеличивается за счет простоты. Если мы исправим $N$ , точность и размер интервала начинают конкурировать. Чем меньше интервал, тем заданное значение $\Delta$ достигается проще.

Проиллюстрируем эти закономерности на простом примере. Рассмотрим показательную интегральную функцию:
$\operatorname {Ei} (y)=\int _{-\infty }^{y}e^{\zeta }\zeta ^{-1}d{\zeta },y<0$ .

Интегрируя по частям, получаем следующее асимптотическое разложение
$\operatorname {Ei} (y)\sim e^{y}\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)!y^{-n},\;y$ → $-\infty$ .

Помещать $f(x)=-e-y\operatorname {Ei} (y)$ , $y=-x-1$ . Вычисление частичных сумм этого ряда и значений $\Delta _{N}(x)$ и $f(x)$ для разных $x$ дает:

  $x$ 	 $f(x)$       $\Delta _{1}$        $\Delta _{2}$        $\Delta _{3}$        $\Delta _{4}$        $\Delta _{5}$ 	 $\Delta _{6}$        $\Delta _{7}$ 
 1/3	0.262	0.071	0.040	0.034	0.040	0.060	0.106	0.223
 1/5	0.171	0.029	0.011	0.006	0.004	0.0035	0.0040	0.0043
 1/7	0.127	0.016	0.005	0.002	0.001	0.0006	0.0005	0.0004

Таким образом, при данном $x$ точность сначала возрастает с ростом $N$ а затем уменьшается (поэтому имеется асимптотическое разложение). Для данного $N$ , можно наблюдать улучшение точности с уменьшением $x$ .

Наконец, стоит ли использовать асимптотический анализ, если компьютеры и численные методы достигли такого продвинутого состояния? Как генеральный директор Крайтон , отметил ^[5]

Разработка расчетных или экспериментальных схем без руководства асимптотической информацией в лучшем случае расточительна, в худшем - опасна из-за возможной неспособности выявить решающие (жесткие) особенности процесса и их локализацию в пространстве координат и параметров. Более того, весь опыт показывает, что асимптотические решения полезны в численном отношении далеко за пределами их номинального диапазона применимости и часто могут использоваться напрямую, по крайней мере, на предварительном этапе проектирования продукта, например, избавляя от необходимости точных расчетов до заключительного этапа проектирования, где многие переменные были ограничены узкими диапазонами.

Примечания [ править ]

^ Краскал, доктор медицинских наук, «Асимптотология», в книге «Математические модели в физических науках » (ред. С. Дробот и П. А. Виброк), материалы конференции в Университете Нотр-Дам, 1962 г. (Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1963 г.) 17-48. (препринтная версия)
^ Баранцев Р.Г., «Асимптотическая и классическая математика», «Темы математического анализа » под редакцией Т. М. Рассиас, World Scientific : 1989, 49–64.
^ Будущее математики
^ Арнольд, VI (1994), «Основные понятия», Dynamical Systems V (редактор - Арнольд, VI), Springer, 207-215.
^ Крайтон, Д.Г., «Асимптотика - незаменимое дополнение к размышлениям, вычислениям и экспериментам в прикладном математическом моделировании». В материалах седьмого Евр. Конф. Математика. в промышленности (2–6 марта 1993 г., Монтекатини-Терме) . А. Фазано, М. Примичерио (ред.) Штутгарт: Б. Г. Тойбнер, 3–19.

Ссылки [ править ]

Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотология: идеи, методы и приложения . Издательство Kluwer Academic , 2002.
Дьюар Р.Л. «Асимптотология – поучительная история», ANZIAM Journal , 2002, 44, 33–40. два : 10.1017/S1446181100007884
Фридрихс К.О. «Асимптотические явления в математической физике», Бюллетень Американского математического общества , 1955, 61, 485–504.
Сигел Л.А. «Важность асимптотического анализа в прикладной математике», American Mathematical Monthly , 1966, 73, 7–14.
Уайта РБ Асимптотический анализ дифференциальных уравнений , исправленное издание, Лондон: Imperial College Press , 2010.

[1] Краскал, доктор медицинских наук, «Асимптотология», в книге «Математические модели в физических науках » (ред. С. Дробот и П. А. Виброк), материалы конференции в Университете Нотр-Дам, 1962 г. (Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1963 г.) 17-48. (препринтная версия)

[2] Баранцев Р.Г., «Асимптотическая и классическая математика», «Темы математического анализа » под редакцией Т. М. Рассиас, World Scientific : 1989, 49–64.

[3] Будущее математики

[4] Арнольд, VI (1994), «Основные понятия», Dynamical Systems V (редактор - Арнольд, VI), Springer, 207-215.

[5] Крайтон, Д.Г., «Асимптотика - незаменимое дополнение к размышлениям, вычислениям и экспериментам в прикладном математическом моделировании». В материалах седьмого Евр. Конф. Математика. в промышленности (2–6 марта 1993 г., Монтекатини-Терме) . А. Фазано, М. Примичерио (ред.) Штутгарт: Б. Г. Тойбнер, 3–19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]