Адиабатический инвариант

Свойство физической системы , такое как энтропия газа, которое остается примерно постоянным, когда изменения происходят медленно, называется адиабатическим инвариантом . Под этим подразумевается, что если система изменяется между двумя конечными точками, то по мере того, как время изменения между конечными точками увеличивается до бесконечности, изменение адиабатического инварианта между двумя конечными точками стремится к нулю.

В термодинамике адиабатический процесс — это изменение, происходящее без теплового потока; это может быть медленно или быстро. Обратимый адиабатический процесс — это адиабатический процесс, который происходит медленно по сравнению со временем достижения равновесия. В обратимом адиабатическом процессе система находится в равновесии на всех стадиях и энтропия постоянна. В 1-й половине 20 века учёные, работавшие в области квантовой физики, использовали термин «адиабатический» для обратимых адиабатических процессов, а позднее для любых постепенно изменяющихся условий, позволяющих системе адаптировать свою конфигурацию. Квантовомеханическое определение ближе к термодинамическому понятию квазистатического процесса и не имеет прямого отношения к адиабатическим процессам в термодинамике.

В механике адиабатическое изменение — это медленная деформация гамильтониана , при которой относительная скорость изменения энергии намного медленнее орбитальной частоты. Область, ограниченная различными движениями в фазовом пространстве, является адиабатическим инвариантом .

В квантовой механике адиабатическое изменение — это изменение, которое происходит со скоростью, намного меньшей, чем разница в частоте между собственными состояниями энергии. В этом случае энергетические состояния системы не совершают переходов, так что квантовое число является адиабатическим инвариантом.

Старая квантовая теория была сформулирована путем приравнивания квантового числа системы к ее классическому адиабатическому инварианту. Это определило форму правила квантования Бора–Зоммерфельда : квантовое число — это площадь в фазовом пространстве классической орбиты.

Термодинамика

В термодинамике адиабатические изменения — это изменения, которые не увеличивают энтропию. Они происходят медленно по сравнению с другими характерными временными масштабами интересующей системы. и допускают тепловой поток только между объектами одинаковой температуры. В изолированных системах адиабатическое изменение не позволяет теплу проникать внутрь или наружу.

Адиабатическое расширение идеального газа

Если сосуд с идеальным газом мгновенно расшириться, температура газа вообще не изменится, поскольку ни одна из молекул не замедляется. Молекулы сохраняют свою кинетическую энергию, но теперь газ занимает больший объем. Однако если контейнер расширяется медленно, так что закон давления идеального газа соблюдается в любой момент времени, молекулы газа теряют энергию со скоростью, с которой они работают на расширяющейся стенке. Объем работы, которую они совершают, равен давлению, умноженному на площадь стенки, умноженному на смещение наружу, что равно давлению, умноженному на изменение объема газа:

$$dW=P\,dV={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}\,dV.$$

Если тепло не поступает в газ, энергия в молекулах газа уменьшается на такую ​​же величину. По определению, газ идеален, когда его температура является функцией только внутренней энергии частицы, а не объема. Так

$$dT={\frac {1}{NC_{v}}}\,dE,$$

где $C_{v}$ - удельная теплоемкость при постоянном объеме. Когда изменение энергии полностью обусловлено работой, совершаемой стенкой, изменение температуры определяется выражением

$$NC_{v}\,dT=-dW=-{\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}\,dV.$$

Это дает дифференциальную связь между изменениями температуры и объема, которую можно проинтегрировать, чтобы найти инвариант. Константа $k_{\text{B}}$ — это всего лишь коэффициент пересчета единиц , который можно установить равным единице:

$$d(C_{v}N\log T)=-d(N\log V).$$

Так

$$C_{v}N\log T+N\log V$$

является адиабатическим инвариантом, связанным с энтропией

$$S=C_{v}N\log T+N\log V-N\log N=N\log \left({\frac {T^{C_{v}}V}{N}}\right).$$

Таким образом, энтропия является адиабатическим инвариантом. Член N log( N ) добавляет энтропию, поэтому энтропия двух объемов газа представляет собой сумму энтропий каждого из них.

В молекулярной интерпретации S является логарифмом фазового объема всех газовых состояний с энергией E ( T и объемом V. )

Для одноатомного идеального газа в этом легко убедиться, записав энергию:

$$E={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(p_{k1}^{2}+p_{k2}^{2}+p_{k3}^{2}\right).$$

Различные внутренние движения газа с полной энергией E определяют сферу, поверхность 3 N -мерного шара радиусом ${\sqrt {2mE}}$. Объем сферы

$${\frac {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{(3N-1)/2}}{\Gamma (3N/2)}},$$

где $\Gamma$ это гамма-функция .

Поскольку каждая молекула газа может находиться где угодно в объеме V , объем фазового пространства, занимаемый состояниями газа с энергией E, равен

$${\frac {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{(3N-1)/2}V^{N}}{\Gamma (3N/2)}}.$$

Поскольку молекулы газа N неразличимы, объем фазового пространства делится на $N!=\Gamma (N+1)$, число перестановок N молекул.

Используя приближение Стирлинга для гамма-функции и игнорируя факторы, которые исчезают в логарифме после принятия большого значения N ,

$${\begin{aligned}S&=N\left({\tfrac {3}{2}}\log(E)-{\tfrac {3}{2}}\log({\tfrac {3}{2}}N)+\log(V)-\log(N)\right)\\&=N\left({\tfrac {3}{2}}\log \left({\tfrac {2}{3}}E/N\right)+\log \left({\frac {V}{N}}\right)\right).\end{aligned}}$$

Поскольку удельная теплоемкость одноатомного газа равна 3/2, это то же самое, что и термодинамическая формула для энтропии.

ящика

Для ящика с излучением, игнорируя квантовую механику, энергия классического поля в тепловом равновесии бесконечна , поскольку равнораспределение требует, чтобы каждая мода поля имела в среднем одинаковую энергию, а мод было бесконечно много. Это физически смешно, поскольку означает, что вся энергия со временем утекает в высокочастотные электромагнитные волны.

Тем не менее, без учета квантовой механики кое-что можно сказать о равновесном распределении, исходя только из термодинамики, поскольку все еще существует понятие адиабатической инвариантности, связывающей коробки разного размера.

Когда ящик медленно расширяется, частоту света, отскакивающего от стены, можно вычислить по доплеровскому сдвигу . Если стена не движется, свет отражается с той же частотой. Если стена движется медленно, частота отдачи одинакова только в том кадре, где стена неподвижна. В кадре, где стена удаляется от источника света, входящий свет более синий, чем исходящий, в два раза превышающий коэффициент доплеровского сдвига v / c :

$$\Delta f={\frac {2v}{c}}f.$$

С другой стороны, энергия света также уменьшается, когда стена удаляется, потому что свет совершает работу над стеной за счет радиационного давления. Поскольку свет отражается, давление равно удвоенному импульсу света, то есть E / c . Скорость, с которой давление действует на стенку, находится путем умножения на скорость:

$$\Delta E=v{\frac {2E}{c}}.$$

Это означает, что изменение частоты света равно работе, совершаемой над стеной давлением излучения. Отраженный свет изменяется как по частоте, так и по энергии на одну и ту же величину:

$${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta E}{E}}.$$

Поскольку медленное перемещение стены должно сохранять тепловое распределение фиксированным, вероятность того, что свет имеет энергию E на частоте f, должна быть только функцией E / f .

Эту функцию невозможно определить только на основе термодинамических рассуждений, и Вин предположил, что форма справедлива при высоких частотах. Он предположил, что средняя энергия в высокочастотных модах подавляется фактором, подобным Больцману:

$$\langle E_{f}\rangle =e^{-\beta hf}.$$

Это не ожидаемая классическая энергия в моде, которая $1/2\beta$ путем эквираспределения, а является новым и неоправданным предположением, которое соответствует высокочастотным данным.

Когда математическое ожидание складывается по всем модам в полости, это распределение Вина , и оно описывает термодинамическое распределение энергии в классическом газе фотонов. Закон Вина неявно предполагает, что свет статистически состоит из пакетов, которые меняют энергию и частоту одинаковым образом. Энтропия газа Вина масштабируется как объем в степени N , где N — количество пакетов. Это привело Эйнштейна к предположению, что свет состоит из локализуемых частиц с энергией, пропорциональной частоте. Тогда энтропии газа Вина можно дать статистическую интерпретацию как число возможных положений, в которых могут находиться фотоны.

Классическая механика – переменные действия

Маятник со сверхмалой вибрацией, где $\omega (t)={\sqrt {g/L(t)}}\approx {\sqrt {g/L_{0}}},$ и $L(t)\approx L_{0}+\varepsilon (t).$

Предположим, что гамильтониан медленно меняется во времени, например, одномерный гармонический осциллятор с изменяющейся частотой:

$$H_{t}(p,x)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega (t)^{2}x^{2}}{2}}.$$

Действие : J классической орбиты — это площадь, охватываемая орбитой в фазовом пространстве

$$J=\int _{0}^{T}p(t)\,{\frac {dx}{dt}}\,dt.$$

Поскольку J является интегралом за полный период, он является только функцией энергии. Когда гамильтониан постоянен во времени, а J постоянен во времени, канонически сопряженная переменная $\theta$ увеличивается во времени с постоянной скоростью:

$${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J}}=H'(J).$$

Итак, константа $H'$ может использоваться для замены производных по времени вдоль орбиты на частные производные по $\theta$ при постоянном Дж . Дифференцирование интеграла для J по J дает тождество, которое фиксирует $H'$:

$${\frac {dJ}{dJ}}=1=\int _{0}^{T}\left({\frac {\partial p}{\partial J}}{\frac {dx}{dt}}+p{\frac {\partial }{\partial J}}{\frac {dx}{dt}}\right)\,dt=H'\int _{0}^{T}\left({\frac {\partial p}{\partial J}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}-{\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial J}}\right)\,dt.$$

Подынтегральная функция — это скобка Пуассона для x и p . Скобка Пуассона двух канонически сопряженных величин, таких как x и p , равна 1 в любой канонической системе координат. Так

$$1=H'\int _{0}^{T}\{x,p\}\,dt=H'T,$$

и $H'$ это обратный период. Переменная $\theta$ увеличивается на одинаковую величину в каждом периоде для всех значений J – это угловая переменная.

инвариантность J

Гамильтониан является функцией только J , и в простом случае гармонического осциллятора

$$H=\omega J.$$

Когда H не зависит от времени, J постоянен. Когда H медленно меняется во времени, скорость изменения J можно вычислить, повторно выразив интеграл для J :

$$J=\int _{0}^{2\pi }p{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\,d\theta .$$

Производная по времени этой величины равна

$${\frac {dJ}{dt}}=\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {dp}{dt}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+p{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\right)\,d\theta .$$

Заменив производные по времени тета-производными, используя $d\theta =\omega \,dt,$ и настройка $\omega :=1$ без потери общности ( $\omega$ будучи глобальной мультипликативной константой в результирующей производной действия по времени) дает

$${\frac {dJ}{dt}}=\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+p{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\right)\,d\theta .$$

Итак, пока координаты J , $\theta$ не изменяются заметно за один период, это выражение можно проинтегрировать по частям, чтобы получить ноль. Это означает, что для медленных изменений не происходит изменений низшего порядка в области, ограниченной орбитой. Это теорема адиабатической инвариантности: переменные действия являются адиабатическими инвариантами.

Для гармонического осциллятора площадь в фазовом пространстве орбиты с энергией E равна площади эллипса постоянной энергии:

$$E={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}.$$

Радиус x этого эллипса равен ${\sqrt {2E/\omega ^{2}m}},$ а радиус p эллипса равен ${\sqrt {2mE}}$. Умножив, получим площадь $2\pi E/\omega$. Таким образом, если маятник медленно втягивается так, что частота меняется, энергия изменяется на пропорциональную величину.

квантовая

После того, как Планк обнаружил, что закон Вина можно распространить на все частоты, даже на очень низкие, путем интерполяции с классическим законом равнораспределения излучения, физики захотели понять квантовое поведение других систем.

Закон излучения Планка квантовал движение осцилляторов поля в единицах энергии, пропорциональных частоте:

$$E=hf=\hbar \omega .$$

Квант может зависеть от энергии/частоты только за счет адиабатической инвариантности, и поскольку энергия должна быть аддитивной при соединении ящиков один в один, уровни должны быть расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Эйнштейн, а затем Дебай расширили область квантовой механики, рассматривая звуковые моды в твердом теле как квантованные осцилляторы . Эта модель объяснила, почему удельная теплоемкость твердых тел приближается к нулю при низких температурах, а не остается фиксированной. $3k_{\text{B}},$ как предсказывает классическое равнораспределение .

На конференции Сольве был поднят вопрос о квантовании других движений, и Лоренц указал на проблему, известную как маятник Рэлея-Лоренца . Если вы рассмотрите квантовый маятник, струна которого укорачивается очень медленно, квантовое число маятника не может измениться, поскольку ни в одной точке не существует достаточно высокой частоты, чтобы вызвать переход между состояниями. Но частота маятника меняется, когда струна становится короче, поэтому квантовые состояния меняют энергию.

Эйнштейн ответил, что при медленном тяге частота и энергия маятника изменяются, но соотношение остается неизменным. Это аналогично наблюдению Вина о том, что при медленном движении стенки отношение энергии к частоте отраженных волн остается постоянным. Вывод заключался в том, что величины, подлежащие квантованию, должны быть адиабатическими инвариантами.

Эта линия аргументации была расширена Зоммерфельдом в общую теорию: квантовое число произвольной механической системы задается переменной адиабатического действия. Поскольку переменная действия в гармоническом осцилляторе является целым числом, общее условие таково:

$$\int p\,dq=nh.$$

Это условие стало основой старой квантовой теории , которая была способна предсказывать качественное поведение атомных систем. Теория неточна для малых квантовых чисел, поскольку смешивает классические и квантовые понятия. Но это был полезный промежуточный шаг к новой квантовой теории .

Физика плазмы

В физике плазмы существуют три адиабатических инварианта движения заряженных частиц.

Первый адиабатический инвариант μ

Магнитный момент вращающейся частицы равен

$$\mu ={\frac {\gamma m_{0}v_{\perp }^{2}}{2B}},$$

который соблюдает специальную теорию относительности. $\gamma$ – релятивистский фактор Лоренца , $m_{0}$ это масса покоя, $v_{\perp }$ - скорость, перпендикулярная магнитному полю, и $B$ это величина магнитного поля.

$\mu$ — константа движения всех порядков в разложении по $\omega /\omega _{c}$, где $\omega$ — это скорость любых изменений, которые испытывает частица, например, из-за столкновений или из-за временных или пространственных изменений магнитного поля. Следовательно, магнитный момент остается практически постоянным даже при изменениях со скоростями, приближающимися к гирочастоте. Когда $\mu$ постоянна, энергия перпендикулярной частицы пропорциональна $B$, поэтому частицы можно нагреть, увеличивая $B$, но это «разовая» сделка, потому что поле нельзя увеличивать бесконечно. Он находит применение в магнитных зеркалах и магнитных бутылках .

Есть несколько важных ситуаций, в которых магнитный момент не инвариантен:

Магнитная накачка

Если частота столкновений больше частоты накачки, μ больше не сохраняется. В частности, столкновения обеспечивают чистый нагрев за счет передачи части перпендикулярной энергии параллельной энергии.

Циклотронный нагрев

Если B колеблется на циклотронной частоте , то условие адиабатической инвариантности нарушается и возможен нагрев. В частности, индуцированное электрическое поле вращается синфазно с некоторыми частицами и непрерывно их ускоряет.

Магнитные точки возврата

Магнитное поле в центре каспа исчезает, поэтому циклотронная частота автоматически становится меньше скорости любых изменений. Таким образом, магнитный момент не сохраняется, и частицы относительно легко рассеиваются в конус потерь .

Второй адиабатический инвариант J

Продольный инвариант частицы, запертой в магнитном зеркале ,

$$J=\int _{a}^{b}p_{\parallel }\,ds,$$

где интеграл находится между двумя точками поворота, также является адиабатическим инвариантом. Это гарантирует, например, что частица в магнитосфере , движущаяся вокруг Земли, всегда возвращается на одну и ту же силовую линию. Адиабатическое условие нарушается при магнитной накачке во время прохождения , когда длина магнитного зеркала колеблется с частотой отражения, что приводит к суммарному нагреву.

Третий адиабатический инвариант Φ

Полный магнитный поток $\Phi$ окруженная дрейфовой поверхностью – это третий адиабатический инвариант, связанный с периодическим движением зеркально-захваченных частиц, дрейфующих вокруг оси системы. Поскольку это дрейфовое движение относительно медленное, $\Phi$ часто не сохраняется в практических приложениях.

Ссылки

• Юрграу, Вольфганг; Стэнли Мандельштам (1979). Вариационные принципы в динамике и квантовой теории . Нью-Йорк: Дувр. §10. ISBN  978-0-486-63773-0 .
• Паули, Вольфганг (1973). Чарльз П. Энц (ред.). Лекции Паули по физике . Том. 4. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 85–89. ISBN  978-0-262-66035-8 .
• Джаммер, Макс (1 января 1966 г.). Концептуальное развитие квантовой механики (Первое изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-032275-2 .

Внешние ссылки

• конспект лекций по второму адиабатическому инварианту
• конспект лекций по третьему адиабатическому инварианту