Маятник Рэлея – Лоренца

Маятник Рэлея-Лоренца (или маятник Лоренца ) — простой маятник , но подверженный медленно меняющейся частоте из-за внешнего воздействия (частота меняется за счет изменения длины маятника), названный в честь лорда Рэлея и Хендрика Лоренца . Эта проблема легла в основу концепции адиабатических инвариантов в механике. Учитывая медленное изменение частоты, показано, что отношение средней энергии к частоте постоянно.

История

Проблема маятника была впервые сформулирована лордом Рэлеем в 1902 году, хотя некоторые математические аспекты обсуждались ранее Леоном Лекорню в 1895 году и Шарлем Боссю в 1778 году. Не зная о работе Рэлея, на первой конференции Сольвея в 1911 году Хендрик Лоренц предложил вопрос: как ведет себя простой маятник, когда длина подвесной нити постепенно сокращается? , чтобы прояснить квантовую теорию того времени. На это Альберт Эйнштейн ответил на следующий день, сказав, что и энергия, и частота квантового маятника изменяются так, что их соотношение остается постоянным, так что маятник находится в том же квантовом состоянии, что и исходное состояние. Эти две отдельные работы легли в основу концепции адиабатического инварианта , которая нашла применение в различных областях и старой квантовой теории . В 1958 году Субраманьян Чандрасекар заинтересовался этой проблемой и изучил ее, так что к проблеме возобновился интерес, который впоследствии был изучен многими другими исследователями, такими как Джон Эденсор Литтлвуд и т. Д.

Математическое описание

Уравнение простого гармонического движения с частотой $\omega$ для смещения $x(t)$ дается $${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0.$$

Если частота постоянна, решение просто дается формулой $x=A\cos(\omega t+\phi )$. Но если позволить частоте медленно изменяться со временем $\omega =\omega (t)$, или, точнее, если характерный временной масштаб изменения частоты много меньше периода времени колебаний, т. е. $$\left|{\frac {1}{\omega }}{\frac {d\omega }{dt}}\right|\ll \omega ,$$ то можно показать, что $${\frac {\bar {E}}{\omega }}={\text{constant}},$$ где ${\bar {E}}$ — средняя энергия, усредненная за колебание. Поскольку частота меняется со временем из-за внешнего воздействия, сохранение энергии больше не выполняется, и энергия одного колебания не является постоянной. Во время колебаний меняется частота (пусть и медленно), как и ее энергия. Поэтому для описания системы определяют среднюю энергию на единицу массы для данного потенциала. $V(x;\omega )$ следующее $${\bar {E}}={\frac {\displaystyle \oint dt\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+V(x(t);\omega (t))\right]}{\displaystyle \oint dt}}$$ где замкнутый интеграл означает, что он берется по полному колебанию. При таком определении можно видеть, что усреднение производится с взвешиванием каждого элемента орбиты по доле времени, которое маятник проводит в этом элементе. Для простого гармонического осциллятора оно сводится к $${\bar {E}}={\tfrac {1}{2}}A^{2}\omega ^{2}$$ где и амплитуда, и частота теперь являются функциями времени.