Эйнштейн твердый

— Твердое тело Эйнштейна это модель кристаллического твердого тела, которое содержит большое количество независимых трехмерных квантовых гармонических осцилляторов одной и той же частоты. Предположение независимости смягчено в модели Дебая .

Хотя модель обеспечивает качественное согласие с экспериментальными данными, особенно для предела высоких температур, эти колебания на самом деле являются фононами или коллективными модами с участием многих атомов. Альберт Эйнштейн осознавал, что определить частоту реальных колебаний будет сложно, но тем не менее он предложил эту теорию, поскольку она была особенно наглядной демонстрацией того, что квантовая механика может решить проблему удельной теплоемкости в классической механике.

влияние

Оригинальная теория, предложенная Эйнштейном в 1907 году, имеет большое историческое значение. Теплоемкость предсказанная , твердых тел эмпирическим законом Дюлонга-Пти, требовалась классической механикой , удельная теплоемкость твердых тел должна была не зависеть от температуры. Но эксперименты при низких температурах показали, что теплоемкость меняется, стремясь к нулю при абсолютном нуле. По мере повышения температуры удельная теплоемкость увеличивается, пока не приблизится к предсказанию Дюлонга и Пти при высокой температуре.

Используя предположение Планка о квантовании , теория Эйнштейна впервые объяснила наблюдаемую экспериментальную тенденцию. Вместе с фотоэффектом это стало одним из важнейших доказательств необходимости квантования. Эйнштейн использовал уровни квантовомеханического осциллятора за много лет до появления современной квантовой механики .

Теплоемкость

При термодинамическом подходе теплоемкость может быть получена с использованием различных статистических ансамблей . Все решения эквивалентны в термодинамическом пределе .

Микроканонический ансамбль

Теплоемкость твердого тела Эйнштейна как функция температуры. Экспериментальное значение 3 Nk восстанавливается при высоких температурах.

Теплоемкость V объекта при постоянном объеме определяется через внутреннюю энергию U как

$C_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}.$

$T$, температуру системы, можно найти из энтропии

${1 \over T}={\partial S \over \partial U}.$

Чтобы найти энтропию, рассмотрим твердое тело, состоящее из $N$ атомы, каждый из которых имеет 3 степени свободы. Итак, есть $3N$ квантовые гармонические генераторы (далее SHO — «Простые гармонические генераторы»).

$N^{\prime }=3N$

Возможные энергии SHO определяются выражением

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$

где n SHO обычно интерпретируется как состояние возбуждения колеблющейся массы, но здесь n обычно интерпретируется как количество фононов (бозонов), занимающих эту колебательную моду (частоту). Конечным эффектом является то, что энергетические уровни расположены равномерно, и можно определить квант энергии, обусловленный фононом, как

$\varepsilon =\hbar \omega$

это наименьшая и единственная величина, на которую увеличивается энергия SHO. Далее нам необходимо вычислить кратность системы. То есть вычислите количество способов распределения $q$ кванты энергии среди $N^{\prime }$ ШО. Эта задача станет проще, если подумать о распределении $q$ галька над $N^{\prime }$ коробки

или разделяя стопки камешков с помощью $N^{\prime }-1$ перегородки

или организация $q$ галька и $N^{\prime }-1$ перегородки

Последняя фотография наиболее показательна. Количество договоренностей $n$ объекты это $n!$. Таким образом, число возможных расстановок $q$ галька и $N^{\prime }-1$ разделы $\left(q+N^{\prime }-1\right)!$. Однако если разделы №3 и №5 поменяются местами, никто этого не заметит. Тот же аргумент применим и к квантам. Чтобы получить количество возможных различимых расположений, нужно общее количество расположений разделить на количество неотличимых расположений. Есть $q!$ идентичные расположения квантов и $(N^{\prime }-1)!$ идентичное расположение разделов. Следовательно, кратность системы определяется выражением

$\Omega ={\left(q+N^{\prime }-1\right)! \over q!(N^{\prime }-1)!}$

что, как упоминалось ранее, представляет собой количество способов внесения депозита $q$ кванты энергии в $N^{\prime }$ осцилляторы. Энтропия системы имеет вид

$S/k=\ln \Omega =\ln {\left(q+N^{\prime }-1\right)! \over q!(N^{\prime }-1)!}.$

$N^{\prime }$ это огромное число — вычитание из него единицы не имеет никакого общего эффекта:

$S/k\approx \ln {\left(q+N^{\prime }\right)! \over q!N^{\prime }!}$

С помощью приближения Стирлинга энтропию можно упростить:

$S/k\approx \left(q+N^{\prime }\right)\ln \left(q+N^{\prime }\right)-N^{\prime }\ln N^{\prime }-q\ln q.$

Полная энергия твердого тела определяется выражением

$U={N^{\prime }\varepsilon \over 2}+q\varepsilon ,$

поскольку в системе помимо энергии основного состояния каждого осциллятора имеется всего q квантов энергии. Некоторые авторы, такие как Шредер, опускают эту энергию основного состояния в своем определении полной энергии эйнштейновского твердого тела.

Теперь мы готовы вычислить температуру.

${1 \over T}={\partial S \over \partial U}={\partial S \over \partial q}{dq \over dU}={1 \over \varepsilon }{\partial S \over \partial q}={k \over \varepsilon }\ln \left(1+N^{\prime }/q\right)$

Исключение q между двумя предыдущими формулами дает для U:

$U={N^{\prime }\varepsilon \over 2}+{N^{\prime }\varepsilon \over e^{\varepsilon /kT}-1}.$

Первый член связан с нулевой энергией и не вносит вклад в теплоемкость. Поэтому он будет потерян на следующем этапе.

Дифференцируя по температуре, найти $C_{V}$ мы получаем:

$C_{V}={\partial U \over \partial T}={N^{\prime }\varepsilon ^{2} \over kT^{2}}{e^{\varepsilon /kT} \over \left(e^{\varepsilon /kT}-1\right)^{2}}$

или

$C_{V}=3Nk\left({\varepsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\varepsilon /kT} \over \left(e^{\varepsilon /kT}-1\right)^{2}}.$

Хотя модель твердого тела Эйнштейна точно предсказывает теплоемкость при высоких температурах, и в этом пределе

$\lim _{T\rightarrow \infty }C_{V}=3Nk$, что эквивалентно закону Дюлонга–Пти , теплоемкость заметно отклоняется от экспериментальных значений при низких температурах. См. Модель Дебая , чтобы узнать, как точно рассчитать низкотемпературную теплоемкость.

Канонический ансамбль

Теплоемкость получается с помощью канонической статистической суммы простого квантового гармонического осциллятора.

$Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-E_{n}/kT}$

где

$E_{n}=\varepsilon \left(n+{1 \over 2}\right)$

подстановка этого в формулу статистической суммы дает

${\begin{aligned}Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\varepsilon \left(n+1/2\right)/kT}=e^{-\varepsilon /2kT}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\varepsilon /kT}=e^{-\varepsilon /2kT}\sum _{n=0}^{\infty }\left(e^{-\varepsilon /kT}\right)^{n}\\={e^{-\varepsilon /2kT} \over 1-e^{-\varepsilon /kT}}={1 \over e^{\varepsilon /2kT}-e^{-\varepsilon /2kT}}={1 \over 2\sinh \left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.\end{aligned}}$

Это статистическая сумма одного гармонического осциллятора. Поскольку статистически теплоемкость, энергия и энтропия твердого тела одинаково распределены между его атомами, мы можем использовать эту статистическую сумму, чтобы получить эти величины, а затем просто умножить их на $N^{\prime }$ чтобы получить сумму. Далее давайте вычислим среднюю энергию каждого осциллятора.

$\langle E\rangle =U=-{1 \over Z}\partial _{\beta }Z$

где

$\beta ={1 \over kT}.$

Поэтому,

$U=-2\sinh \left({\varepsilon \over 2kT}\right){-\cosh \left({\varepsilon \over 2kT}\right) \over 2\sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}{\varepsilon \over 2}={\varepsilon \over 2}\coth \left({\varepsilon \over 2kT}\right).$

теплоемкость одного Тогда осциллятора равна

$c_{V}={\partial U \over \partial T}=-{\varepsilon \over 2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}\left(-{\varepsilon \over 2kT^{2}}\right)=k\left({\varepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.$

До сих пор мы рассчитывали теплоемкость уникальной степени свободы, которая моделировалась как квантовая гармоника. Тогда теплоемкость всего твердого тела определяется выражением $C_{V}=3Nc_{V}$, где общее число степеней свободы твердого тела в три (для трехнаправленной степени свободы) раза $N$, число атомов в твердом теле. Таким образом получается

$C_{V}=3Nk\left({\varepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.$

которая алгебраически идентична формуле, полученной в предыдущем разделе.

Количество $T_{\rm {E}}=\varepsilon /k$ имеет размерность температуры и является характерным свойством кристалла. Она известна как температура Эйнштейна . Следовательно, модель кристалла Эйнштейна предсказывает, что энергия и теплоемкость кристалла являются универсальными функциями безразмерного отношения $T/T_{\rm {E}}$. Точно так же модель Дебая предсказывает универсальную функцию отношения $T/T_{\rm {D}}$, где $T_{\rm {D}}$ – температура Дебая.

и

В модели Эйнштейна удельная теплоемкость экспоненциально быстро приближается к нулю при низких температурах. Это связано с тем, что все колебания имеют одну общую частоту. Правильное поведение находится путем квантования нормальных мод твердого тела тем же способом, который предложил Эйнштейн. Тогда частоты волн неодинаковы и теплоемкость стремится к нулю. $T^{3}$ степенной закон, который соответствует эксперименту. Эта модификация называется моделью Дебая и появилась в 1912 году.

См. также

• Кинетическая теория твердого тела

Внешние ссылки

• Зеленый, Энрике. «Демонстрационный проект Wolfram — Einstein Solid» . Проверено 18 марта 2016 г. .