Парастатистика

В квантовой и статистической механике парастатистика является гипотетической альтернативой. к установленным моделям статистики частиц ( статистика Бозе-Эйнштейна , статистика Ферми-Дирака и статистика Максвелла-Больцмана ). Другие альтернативы включают анионную статистику и статистику кос , обе из которых связаны с меньшими измерениями пространства-времени. Герберт С. Грин приписывают создание парастатистики в 1953 году. Частицы, предсказанные парастатистикой, экспериментально не наблюдались.

Формализм

Рассмотрим операторную алгебру системы N одинаковых частиц. Это *-алгебра . Существует группа SN ₎ ( симметричная группа N действующая , на алгебру операторов с предполагаемой интерпретацией перестановки N порядка частиц. Квантовая механика требует сосредоточения внимания на наблюдаемых, имеющих физический смысл, а наблюдаемые должны быть инвариантными относительно всех возможных перестановок N частиц. Например, в случае N = 2 R ₂ − R ₁ не может быть наблюдаемой, поскольку она меняет знак, если мы переключаем две частицы, но расстояние между двумя частицами : | р ₂ - р ₁ | является законной наблюдаемой.

алгебра должна была бы быть * -подалгеброй, инвариантной относительно действия SN _{Другими словами, наблюдаемая} (заметим, что это не означает, что каждый элемент операторной алгебры, инвариантный относительно SN _, является наблюдаемой). Это позволяет использовать различные сектора супервыбора параметризуется диаграммой Юнга SN , каждый из _{которых} .

В частности:

• Для N одинаковых парабозонов порядка p (где p — целое положительное число) допустимыми диаграммами Юнга являются все диаграммы с p или меньшим количеством строк.
• Для N одинаковых парафермионов порядка p допустимыми диаграммами Юнга являются все диаграммы с p или меньшим количеством столбцов.
• Если p равно 1, это сводится к статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака соответственно. .
• Если p сколь угодно велико (бесконечно), это сводится к статистике Максвелла – Больцмана.

Трилинейные отношения

Существуют операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие трилинейным коммутационным соотношениям

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}$

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }$

$\left[a_{k},\left[a_{l},a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}\left[a_{k},a_{l}\right]_{\mp }=0$

Квантовая теория поля

Парабозонное поле порядка p , ${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$ где, если x и y — точки, разделенные пространственноподобно , $[\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0$ и $\{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0$ если $i\neq j$ где [,] — коммутатор , а {,} — антикоммутатор . Обратите внимание, что это противоречит теореме о спиновой статистике , которая относится к бозонам , а не к парабозонам. Может существовать такая группа, как симметрическая группа Sp _, действующая на φ ^{( я )} с. Наблюдаемые должны быть операторами, инвариантными относительно рассматриваемой группы. Однако существование такой симметрии не является существенным.

Парафермионное поле ${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$ порядка p , где, если x и y — точки, разделенные пространственноподобно , $\{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0$ и $[\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0$ если $i\neq j$. Тот же комментарий относительно наблюдаемых применим вместе с требованием, чтобы они имели четную градуировку при градуировке, где ψ имеют нечетную градуировку.

Парафермионные и парабозонные алгебры порождены элементами, подчиняющимися коммутационным и антикоммутационным соотношениям. Они обобщают обычную фермионную алгебру и бозонную алгебру квантовой механики. Алгебра Дирака и алгебра Даффина–Кеммера–Петио появляются как частные случаи парафермионной алгебры для порядка p = 1 и p = 2 соответственно.

Объяснение

Обратите внимание, что если x и y — точки, разделенные пространственноподобно, φ ( x ) и φ ( y ) не коммутируют и не антикоммутируют, если p = 1. Тот же комментарий относится к ψ ( x ) и ψ ( y ). Итак, если у нас есть n пространственно разделенных точек x ₁ , ..., x _n ,

$\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle$

соответствует созданию n одинаковых парабозонов в точках x ₁ ,..., x _n . Сходным образом,

$\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle$

соответствует созданию n одинаковых парафермионов. Поскольку эти поля ни коммутируют, ни антикоммутируют.

$\phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle$

и

$\psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle$

состояния для каждой перестановки π в Sn _. дает разные

Мы можем определить оператор перестановки ${\mathcal {E}}(\pi )$ к

${\mathcal {E}}(\pi )\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle$

и

${\mathcal {E}}(\pi )\left[\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle$

соответственно. Можно показать, что это четко определено, если ${\mathcal {E}}(\pi )$ ограничено только состояниями, охватываемыми указанными выше векторами (по сути, состояниями с n одинаковыми частицами). Это также унитарно . Более того, ${\mathcal {E}}$ является операторным представлением симметрической группы Sn _, мы можем интерпретировать его как действие Sn _{и поэтому} на само n -частичное гильбертово пространство, превращая его в унитарное представление .

См. также

• Преобразование Клейна о том, как преобразовать парастатистику в более традиционную статистику.