Теорема о спин-статистике

Теорема о статистике спина доказывает, что наблюдаемая связь между собственным спином частицы ( угловым моментом, не связанным с орбитальным движением) и статистикой квантовых частиц в совокупности таких частиц является следствием математики квантовой механики . В единицах приведенной постоянной Планка ħ все частицы , которые движутся в трех измерениях, имеют либо целочисленный спин и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , либо полуцелый спин и подчиняются статистике Ферми-Дирака .

Связь со спин-статистикой

Все известные частицы подчиняются либо статистике Ферми-Дирака, либо статистике Бозе-Эйнштейна. Собственный спин частицы всегда предсказывает статистику набора таких частиц, и наоборот:

• Частицы с целым спином - это бозоны со статистикой Бозе-Эйнштейна.
• Частица с полуцелым спином представляет собой фермионы со статистикой Ферми-Дирака.

Теорема спин-статистики показывает, что математическая логика квантовой механики предсказывает или объясняет этот физический результат.

Статистика неразличимых частиц является одним из наиболее фундаментальных физических эффектов.Принцип запрета Паули — согласно которому каждое занятое квантовое состояние содержит не более одного фермиона — контролирует образование материи. Основные строительные блоки материи, такие как протоны , нейтроны и электроны , являются фермионами. И наоборот, такие частицы, как фотон , которые передают силы между частицами материи, все являются бозонами. Теорема спин-статистики пытается объяснить происхождение этой фундаментальной дихотомии.

Предыстория

Наивно, спин, свойство углового момента, присущее частице, не было бы связано с фундаментальными свойствами совокупности таких частиц. Однако это неразличимые частицы: любое физическое предсказание, касающееся множества неразличимых частиц, не должно меняться при обмене частицами.

Квантовые состояния и неразличимые частицы

В квантовой системе физическое состояние описывается вектором состояния . Пара различных векторов состояния физически эквивалентна, если они отличаются только общим фазовым коэффициентом, игнорируя другие взаимодействия. Пара таких неразличимых частиц имеет только одно состояние. Это означает, что если позиции частиц меняются местами (т. е. они подвергаются перестановке), это идентифицирует не новое физическое состояние, а скорее состояние, соответствующее исходному физическому состоянию. Фактически невозможно сказать, какая частица в каком положении находится.

Хотя физическое состояние при обмене положениями частиц не меняется, вектор состояния в результате обмена может изменить знак. Поскольку эта смена знака является лишь общей фазой, на физическое состояние это не влияет.

Важным компонентом доказательства связи спин-статистика является теория относительности, согласно которой физические законы не изменяются при преобразованиях Лоренца . Операторы поля по определению преобразуются в результате преобразований Лоренца в соответствии со спином создаваемой ими частицы.

Кроме того, предположение (известное как микропричинность) о том, что разделенные в пространстве поля либо коммутируют, либо антикоммутируют, может быть сделано только для релятивистских теорий с временным направлением. В противном случае идея пространственного подобия бессмысленна. Однако доказательство предполагает рассмотрение евклидовой версии пространства-времени, в которой направление времени рассматривается как пространственное, как сейчас будет объяснено.

Преобразования Лоренца включают трехмерные вращения и повышения . Ускорение переходит в систему отсчета с другой скоростью и математически похоже на вращение во времени. Благодаря аналитическому продолжению корреляционных функций квантовой теории поля временная координата может стать мнимой , а затем ускорения станут вращениями. Новое «пространство-время» имеет только пространственные направления и называется евклидовым .

Обменная симметрия

Бозоны — это частицы, волновая функция которых симметрична при таком обмене или перестановке, поэтому, если мы поменяем частицы местами, волновая функция не изменится. Фермионы — это частицы, волновая функция которых антисимметрична, поэтому при такой замене волновая функция получает знак минус, а это означает, что амплитуда двух одинаковых фермионов, чтобы занять одно и то же состояние, должна быть равна нулю. Это принцип Паули : два одинаковых фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Это правило не справедливо для бозонов.

В квантовой теории поля состояние или волновая функция описывается операторами поля, действующими в некотором базовом состоянии, называемом вакуумом . Чтобы операторы могли проецировать симметричную или антисимметричную составляющую создающей волновой функции, они должны иметь соответствующий закон коммутации. Оператор

$\iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy$

(с $\phi$ оператор и $\psi (x,y)$ числовая функция с комплексными значениями) создает двухчастичное состояние с волновой функцией $\psi (x,y)$, и в зависимости от коммутационных свойств полей имеют значение либо только антисимметричные части, либо симметричные части.

Предположим, что $x\neq y$ и действие двух операторов происходит одновременно; в более общем смысле, они могут иметь пространствоподобное разделение, как поясняется ниже.

Если поля коммутируют , это означает, что выполняется следующее:

$\phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x),$

тогда только симметричная часть $\psi$ способствует, так что $\psi (x,y)=\psi (y,x)$, и поле создаст бозонные частицы.

С другой стороны, если поля антикоммутируют , это означает, что $\phi$ имеет свойство, которое

$\phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),$

тогда только антисимметричная часть $\psi$ способствует, так что $\psi (x,y)=-\psi (y,x)$, и частицы будут фермионными.

Доказательства

Элементарное объяснение теоремы спин-статистики не может быть дано, несмотря на то, что эту теорему так просто сформулировать. В «Фейнмановских лекциях по физике» Ричард Фейнман сказал, что это вероятно, означает, что у нас нет полного понимания лежащего в основе этого фундаментального принципа.

Было опубликовано множество заметных доказательств с различными ограничениями и предположениями. Все они являются «отрицательными доказательствами», означая, что они устанавливают, что поля целого спина не могут привести к статистике фермионов, в то время как поля полуцелого спина не могут привести к статистике бозонов.

Доказательства, избегающие использования какого-либо механизма релятивистской квантовой теории поля, имеют дефекты. Многие такие доказательства основаны на утверждении, что $$|\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},...)|^{2}=|{\hat {P}}\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},...)|^{2}$$где оператор ${\hat {P}}$ меняет координаты. Однако,значение в левой части представляет вероятность появления частицы 1 в точке $r_{1}$, частица 2 в $r_{2}$и т. д., и, таким образом, квантовомеханически недействителен для неразличимых частиц.

Первое доказательство было сформулировано в 1939 году Маркус Фирц , ученик Вольфганга Паули , и в следующем году Паули перевел его более систематически. В более позднем резюме Паули перечислил три постулата релятивистской квантовой теории поля, необходимые для этих версий теоремы:

1. Любое состояние с заполнением частиц имеет более высокую энергию, чем состояние вакуума .
2. Пространственно разделенные измерения не мешают друг другу (они коммутируют),
3. Физические вероятности положительны (метрика гильбертова пространства положительно определена).

В их анализе не учитывались взаимодействия частиц, кроме коммутации/антикоммутации состояния.

В 1949 году Ричард Фейнман дал совершенно иной тип доказательства. основанный на поляризации вакуума , который позже подвергся критике Паули. Паули показал, что доказательство Фейнмана явно опиралось на первые два постулата, которые он использовал, и неявно использовало третий, сначала допуская отрицательные вероятности, но затем отвергая результаты теории поля с вероятностями, превышающими единицу.

Доказательство Джулиана Швингера в 1950 году, основанное на инвариантности относительно обращения времени. последовало доказательство Фредерика Белинфанте в 1940 году, основанное на инвариантности зарядового сопряжения, что привело к связи с теоремой CPT, более полно развитой Паули в 1955 году. Эти доказательства было особенно трудно проследить.

Работа математическими основами квантовой механики над Артура Вайтмана привела к теореме, утверждающей, что математическое ожидание произведения двух полей $\phi (x)\phi (y)$, можно аналитически продолжить до всех разделений $(x-y)$. (Первые два постулата доказательств эпохи Паули включают вакуумное состояние и поля в разных местах.) Новый результат позволил более строгие доказательства теорем Герхарта Людерса и Бруно Зумино о спин-статистике. и Бургойном. В 1957 году Рес Йост вывел теорему CPT, используя теорему о спин-статистике и доказательство Бургойна, теорема о спин-статистике в 1958 году не требовала никаких ограничений ни на взаимодействия, ни на форму теорий поля. Эти результаты относятся к числу наиболее строгих практических теорем.

Несмотря на эти успехи, Фейнман в своей студенческой лекции 1963 года, в которой обсуждалась связь спин-статистики, говорит: «Мы приносим извинения за то, что не можем дать вам элементарное объяснение». Нойеншвандер повторил это в 1994 году, спросив, есть ли какой-либо прогресс. стимулирование дополнительных доказательств и книг. Популяризация Нойеншвандером связи спин-статистики в 2013 году показала, что простые объяснения остаются неуловимыми.

Экспериментальные испытания

В 1987 году Гринберг и Мохапарра предположили, что теорема спиновой статистики может иметь небольшие нарушения. С помощью очень точных расчетов состояний атома He, нарушающих принцип исключения Паули , Дейламиан, Гилласпи и Келлехер искал 1с2с ¹ S ₀ He с использованием атомно-лучевого спектрометра. Поиск не увенчался успехом с верхним пределом 5×10. ⁻⁶ .

группы

Группа Лоренца не имеет нетривиальных унитарных представлений конечной размерности. Таким образом, кажется невозможным построить гильбертово пространство, в котором все состояния имеют конечный ненулевой спин и положительную лоренц-инвариантную норму. Эта проблема решается разными способами в зависимости от статистики спина частицы.

Для состояния целого спина состояния с отрицательной нормой (известные как «нефизическая поляризация») устанавливаются равными нулю, что делает необходимым использование калибровочной симметрии .

Для состояния полуцелого спина этот аргумент можно обойти, имея фермионную статистику.

анионы в

Основная статья: Аньон

В 1982 году физик Фрэнк Вильчек опубликовал исследовательскую работу о возможностях возможных частиц с дробным спином, которые он назвал анионами из-за их способности принимать «любой» спин. Он писал, что теоретически было предсказано, что они возникнут в низкоразмерных системах, где движение ограничено менее чем тремя пространственными измерениями. Вильчек описал их статистику вращения как «непрерывную интерполяцию между обычными бозонными и фермионными случаями». Эффект стал основой для понимания дробного квантового эффекта Холла .

См. также

• Парастатистика
• Любая статистика
• Статистика кос

Дальнейшее чтение

• Дак, Ян; Сударшан, ЭКГ (1998). «К пониманию теоремы спин-статистики» . Американский журнал физики . 66 (4): 284–303. Бибкод : 1998AmJPh..66..284D . дои : 10.1119/1.18860 .
• Стритер, Рэй Ф.; Вайтман, Артур С. (2000). PCT, Spin & Статистика и все такое (5-е изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07062-8 .
• Джабс, Артур (2010). «Соединение спина и статистики в квантовой механике». Основы физики . 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399 . Бибкод : 2010FoPh...40..776J . дои : 10.1007/s10701-009-9351-4 . S2CID   122488238 .

Внешние ссылки

• Хорошее почти доказательство на домашней странице Джона Баэза.
• Анимация трюка с поясом Дирака с двойным поясом, показывающая, что пояса ведут себя как частицы со спином 1/2.
• Анимация варианта трюка с поясом Дирака, показывающая, что частицы со спином 1/2 являются фермионами.