Jump to content

Преобразование Лоренца

(Перенаправлено с Лоренца Буста )

В физике преобразования Лоренца представляют собой шестипараметрическое семейство линейных преобразований из системы координат в пространстве-времени в другую систему координат, которая движется с постоянной скоростью относительно первой. Соответствующее обратное преобразование затем параметризуется отрицательным значением этой скорости. Преобразования названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Наиболее распространенная форма преобразования, параметризованная действительной константой. представляющая скорость, ограниченную направлением x , выражается как [1] [2] где ( t , x , y , z ) и ( t ′, x ′, y ′, z ′) — координаты события в двух кадрах с началами координат, совпадающими в точке t = t =0, где штрихованный кадр равен видно из незаштрихованной системы координат как движущееся со скоростью v вдоль оси x , где c скорость света , и является фактором Лоренца . Когда скорость v намного меньше c , фактор Лоренца незначительно отличается от 1, но когда v приближается к c , растет без ограничений. значение v должно быть меньше, чем c Чтобы преобразование имело смысл, .

Выразив скорость как эквивалентная форма преобразования: [3]

Системы отсчета можно разделить на две группы: инерциальные (относительное движение с постоянной скоростью) и неинерциальные (ускоряющиеся, движущиеся по криволинейным траекториям, вращательное движение с постоянной угловой скоростью и т. д.). Термин «преобразования Лоренца» относится только к преобразованиям между инерциальными системами отсчета, обычно в контексте специальной теории относительности.

В каждой системе отсчета наблюдатель может использовать локальную систему координат (в данном контексте обычно декартовы координаты ) для измерения длин и часы для измерения временных интервалов. Событие — это то, что происходит в определенной точке пространства в определенный момент времени или, более формально, в точке пространства-времени . Преобразования связывают пространственные и временные координаты события , измеренные наблюдателем в каждом кадре. [номер 1]

Они заменяют преобразование Галилея ньютоновской физики , которая предполагает абсолютные пространство и время (см. теорию относительности Галилея ). Преобразование Галилея является хорошим приближением только при относительных скоростях, намного меньших скорости света. Преобразования Лоренца имеют ряд неинтуитивных особенностей, которых нет в преобразованиях Галилея. Например, они отражают тот факт, что наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, могут измерять разные расстояния , прошедшее время и даже разный порядок событий , но всегда так, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность скорости света — один из постулатов специальной теории относительности .

Исторически преобразования были результатом попыток Лоренца и других объяснить, как скорость света не зависит от системы отсчета , и понять симметрию законов электромагнетизма . Преобразования позже стали краеугольным камнем специальной теории относительности .

Преобразование Лоренца является линейным преобразованием . Это может включать в себя вращение пространства; Преобразование Лоренца без вращения называется усилением Лоренца . В пространстве Минковского — математической модели пространства-времени в специальной теории относительности — преобразования Лоренца сохраняют пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями. Это свойство является определяющим свойством преобразования Лоренца. Они описывают только преобразования, при которых пространственно-временное событие в начале координат остается фиксированным. Их можно рассматривать как гиперболическое вращение пространства Минковского. Более общий набор преобразований, который также включает в себя переводы, известен как группа Пуанкаре .

Многие физики, в том числе Вольдемар Фойгт , Джордж Фицджеральд , Джозеф Лармор и Хендрик Лоренц. [4] сам — обсуждал физику, подразумеваемую этими уравнениями, с 1887 года. [5] В начале 1889 года Оливер Хевисайд показал на основе уравнений Максвелла , что электрическое поле, окружающее сферическое распределение заряда, должно перестать иметь сферическую симметрию , когда заряд начинает двигаться относительно светоносного эфира . Затем Фитцджеральд предположил, что результат Хевисайда об искажении можно применить к теории межмолекулярных сил. Несколько месяцев спустя Фитцджеральд опубликовал гипотезу о том, что движущиеся тела сжимаются, чтобы объяснить загадочный результат эксперимента Майкельсона и Морли, проведенного в 1887 году с эфиром и ветром . В 1892 году Лоренц независимо представил ту же идею в более подробной форме, которая впоследствии была названа гипотезой сокращения Фитцджеральда-Лоренца . [6] Их объяснение было широко известно до 1905 года. [7]

Лоренц (1892–1904) и Лармор (1897–1900), верившие в гипотезу светоносного эфира, также искали преобразование, при котором уравнения Максвелла остаются инвариантными при преобразовании из эфира в движущуюся систему отсчета. Они расширили гипотезу сокращения Фитцджеральда-Лоренца и обнаружили, что необходимо также изменить временную координату (« местное время »). Анри Пуанкаре дал физическую интерпретацию местного времени (в первом порядке по v / c , относительная скорость двух систем отсчета, нормированная на скорость света) как следствие синхронизации часов в предположении, что скорость света постоянна. в движущихся кадрах. [8] Считается, что Лармор был первым, кто понял решающее свойство замедления времени, присущее его уравнениям. [9]

В 1905 году Пуанкаре первым признал, что преобразование обладает свойствами математической группы .и он назвал его в честь Лоренца. [10] Позже в том же году Альберт Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности , выведя преобразование Лоренца при предположениях принципа относительности и постоянства скорости света в любой инерциальной системе отсчета и отказавшись от механистического эфира как ненужного. . [11]

Вывод группы преобразований Лоренца.

[ редактировать ]

Событие — это то , что происходит в определенной точке пространства-времени или, в более общем смысле, в самой точке пространства-времени. В любой инерциальной системе отсчета событие задается временной координатой ct и набором декартовых координат x , y , z для указания положения в пространстве в этой системе отсчета. Нижние индексы отмечают отдельные события.

Эйнштейна Из второго постулата относительности (инвариантности c ) следует, что:

( Д1 )

во всех инерциальных системах отсчета для событий, связанных световыми сигналами . Величина слева называется пространственно-временным интервалом между событиями a 1 = ( t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) и a 2 = ( t 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) . Интервал между любыми двумя событиями, не обязательно разделенными световыми сигналами, на самом деле инвариантен, т. е. не зависит от состояния относительного движения наблюдателей в разных инерциальных системах отсчета, что показывается с помощью однородности и изотропии пространства . Таким образом, искомое преобразование должно обладать свойством, которое:

( Д2 )

где ( t , x , y , z ) — координаты пространства-времени, используемые для определения событий в одном кадре, а ( t ’, x ’, y ’, z ’) — координаты в другом кадре. Прежде всего заметим, что ( D2 ) выполняется, если произвольная четверка чисел b добавляется к событиям a 1 и a 2 . Такие преобразования называются перемещениями пространства-времени и далее здесь не рассматриваются. Затем можно заметить, что линейное решение, сохраняющее начало более простой задачи, решает и общую задачу:

( Д3 )

(решение, удовлетворяющее первой формуле, автоматически удовлетворяет и второй; см. поляризационное тождество ). Поиск решения более простой задачи — это всего лишь вопрос поиска в теории классических групп , сохраняющих билинейные формы различной сигнатуры. [номер 2] Первое уравнение в ( D3 ) можно записать более компактно как:

( Д4 )

где (·, ·) относится к билинейной форме сигнатуры (1, 3) на R 4 раскрывается формулой правой части в ( D3 ). Альтернативное обозначение, определенное справа, называется релятивистским скалярным произведением . Пространство-время математически рассматривается как R 4 известно как пространство Минковского M. наделенное этой билинейной формой , Таким образом, преобразование Лоренца является элементом группы O(1, 3) , группы Лоренца или, для тех, кто предпочитает другую метрическую сигнатуру , O(3, 1) (также называемой группой Лоренца). [номер 3] У одного есть:

( Д5 )

что и есть сохранение билинейной формы ( D3 ), что означает (в силу линейности Λ и билинейности формы), что ( D2 ) выполняется. Элементами группы Лоренца являются вращения , повышения и их сочетания. Если учитывать сдвиги пространства-времени, то получается неоднородная группа Лоренца или группа Пуанкаре .

Общие сведения

[ редактировать ]

Отношения между координатами пространства-времени со штрихом и без штриха представляют собой преобразования Лоренца , каждая координата в одной системе отсчета является линейной функцией всех координат в другой системе отсчета, а обратные функции представляют собой обратное преобразование. В зависимости от того, как кадры движутся относительно друг друга и как они ориентированы в пространстве относительно друг друга, в уравнения преобразования входят и другие параметры, описывающие направление, скорость и ориентацию.

Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной (равномерной) скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются бустами Лоренца или просто бустами , а параметром преобразования является относительная скорость между кадрами. Другой основной тип преобразования Лоренца - это вращение только в пространственных координатах, подобные ускорения являются инерционными преобразованиями, поскольку относительного движения нет, рамки просто наклонены (а не вращаются непрерывно), и в этом случае величины, определяющие вращение, являются параметры преобразования (например, представление оси-угла или углы Эйлера и т. д.). Комбинация вращения и повышения представляет собой однородное преобразование , которое преобразует начало координат обратно в начало координат.

Полная группа Лоренца O(3, 1) также содержит специальные преобразования, которые не являются ни вращениями, ни ускорениями, а скорее отражениями в плоскости, проходящей через начало координат. Можно выделить два из них; пространственная инверсия , при которой пространственные координаты всех событий меняются местами, и временная инверсия , при которой временная координата каждого события меняет знак.

Ускорения не следует путать с простыми перемещениями в пространстве-времени; в этом случае системы координат просто смещаются и относительного движения нет. Однако они также считаются симметриями, обусловленными специальной теорией относительности, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Комбинация вращения с ускорением, за которым следует сдвиг пространства-времени, представляет собой неоднородное преобразование Лоренца , элемент группы Пуанкаре, которую еще называют неоднородной группой Лоренца.

Физическая формулировка повышения Лоренца

[ редактировать ]

Преобразование координат

[ редактировать ]

Пространственно-временные координаты события, измеренные каждым наблюдателем в своей инерциальной системе отсчета (в стандартной конфигурации), показаны в облачках с текстом.
Вверху: кадр F движется со скоростью v вдоль оси x кадра F .
Внизу: кадр F движется со скоростью − v вдоль оси x кадра F . [12]

«Неподвижный» наблюдатель в системе координат F определяет события с координатами t , x , y , z . Другая система отсчета F движется со скоростью v относительно F , и наблюдатель в этой «движущейся» системе отсчета F определяет события с помощью координат t ′, x ′, y ′, z .

Оси координат в каждом кадре параллельны ( оси x и x ' параллельны, оси y и y ' параллельны, оси z и z ' параллельны), остаются взаимно перпендикулярными, а относительное движение происходит вдоль совпадающих xx ' оси. При t = t ′ = 0 начало обеих систем координат одинаковое: ( x, y, z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . Другими словами, время и положение на этом мероприятии совпадают. Если все это верно, то говорят, что системы координат находятся в стандартной конфигурации или синхронизированы .

Если наблюдатель в F записывает событие t , x , y , z , то наблюдатель в F записывает то же событие с координатами [13]

Повышение Лоренца ( x направление )

где v — относительная скорость между кадрами в направлении x , c скорость света , а (строчная гамма ) — фактор Лоренца .

Здесь v параметр преобразования, для данного буста это постоянное число, но может принимать непрерывный диапазон значений. В используемой здесь установке положительная относительная скорость v > 0 — это движение вдоль положительных направлений осей xx , нулевая относительная скорость v = 0 — отсутствие относительного движения, а отрицательная относительная скорость v < 0 — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси xx ' . Величина относительной скорости v не может равняться или превышать c только субсветовые скорости c < v < c , поэтому допускаются . Соответствующий диапазон γ составляет 1 ≤ ​​γ < ∞ .

Преобразования не определены, если v находится за пределами этих пределов. При скорости света ( v = c ) γ бесконечно, а быстрее света ( v > c ) γ комплексное число , каждое из которых делает преобразования нефизическими. Пространственные и временные координаты являются измеримыми величинами и численно должны быть действительными числами.

В качестве активного преобразования наблюдатель в F' замечает, что координаты события «увеличиваются» в отрицательных направлениях осей xx ' из-за - v в преобразованиях. Это имеет эквивалентный эффект системы координат F', усиленной в положительных направлениях осей xx ' , в то время как событие не меняется и просто представляется в другой системе координат, пассивное преобразование .

Обратные отношения ( t , x , y , z через t ', x ', y ', z ' ) можно найти путем алгебраического решения исходного набора уравнений. Более эффективный способ — использовать физические принципы. Здесь F — «неподвижный» кадр, а F — «движущийся». Согласно принципу относительности, не существует привилегированной системы отсчета, поэтому преобразования из F ' в F должны принимать точно такую ​​же форму, как преобразования из F в F ' . Единственная разница в том, что F движется со скоростью v относительно F (т. е. относительная скорость имеет ту же величину, но противоположно направлена). Таким образом, если наблюдатель в F отмечает событие t ′, x ′, y ′, z , то наблюдатель в F отмечает то же событие с координатами

Обратное усиление Лоренца ( x направление )

а значение γ остается неизменным. Этот «трюк» простого изменения направления относительной скорости с сохранением ее величины и замены штрихованных и нештрихованных переменных всегда применим для нахождения обратного преобразования каждого повышения в любом направлении.

Иногда удобнее использовать β = v / c (строчная бета ) вместо v , так что что гораздо яснее показывает симметрию преобразования. Из разрешенных диапазонов v и определения β следует −1 < β < 1 . Использование β и γ является стандартным во всей литературе.

Преобразования Лоренца также можно получить способом, напоминающим круговые вращения в трехмерном пространстве, с использованием гиперболических функций . Для повышения в направлении x результаты следующие:

Повышение Лоренца ( направление x с быстротой ζ )

где ζ (строчная дзета ) — параметр, называемый быстротой (используется множество других символов, включая θ, φ, φ, η, ψ, ξ ). Учитывая сильное сходство с поворотами пространственных координат в трехмерном пространстве в декартовых плоскостях xy, yz и zx, усиление Лоренца можно рассматривать как гиперболическое вращение координат пространства-времени в декартовых плоскостях xt, yt и zt. 4D пространство Минковского . Параметр ζ — это гиперболический угол поворота, аналогичный обычному углу кругового вращения. Это преобразование можно проиллюстрировать диаграммой Минковского .

Гиперболические функции возникают из разницы между квадратами времени и пространственных координат в пространственно-временном интервале, а не из суммы. Геометрическое значение гиперболических функций можно визуализировать, приняв x = 0 или ct = 0 в преобразованиях . Возводя в квадрат и вычитая результаты, можно получить гиперболические кривые постоянных значений координат, но изменяющихся ζ , что параметризует кривые по тождеству

И наоборот, оси ct и x могут быть построены для переменных координат, но постоянного ζ . Определение обеспечивает связь между постоянным значением быстроты и наклоном оси ct в пространстве-времени. Следствием этих двух гиперболических формул является тождество, соответствующее фактору Лоренца.

Сравнивая преобразования Лоренца по относительной скорости и быстроте или используя приведенные выше формулы, связи между β , γ и ζ таковы:

Взятие обратного гиперболического тангенса дает быстроту

Поскольку −1 < β < 1 , отсюда следует −∞ < ζ < ∞ . Из соотношения между ζ и β положительная быстрота ζ > 0 — это движение вдоль положительных направлений осей xx , нулевая быстрота ζ = 0 — отсутствие относительного движения, а отрицательная быстрота ζ < 0 — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси. хх ' оси.

Обратные преобразования получаются путем замены величин со штрихом и без штриха для переключения систем координат и отрицания быстроты ζ → - ζ, поскольку это эквивалентно отрицанию относительной скорости. Поэтому,

Обратное усиление Лоренца ( направление x с быстротой ζ )

Обратные преобразования можно аналогично визуализировать, рассмотрев случаи, когда x ′ = 0 и ct ′ = 0 .

До сих пор преобразования Лоренца применялись к одному событию . Если есть два события, между ними существует пространственное разделение и временной интервал. преобразований Лоренца следует Из линейности , что можно выбрать два значения пространственных и временных координат, к каждому применить преобразования Лоренца, а затем вычесть их, чтобы получить преобразования Лоренца разностей;

с обратными отношениями

где Δ ( дельта в верхнем регистре ) указывает на разницу величин; например, Δ x = x 2 x 1 для двух значений координат x и так далее.

Эти преобразования различий, а не пространственных точек или моментов времени, полезны по ряду причин:

  • в расчетах и ​​экспериментах измеряются или представляют интерес длины между двумя точками или интервалами времени (например, длина движущегося транспортного средства или время, необходимое для перемещения из одного места в другое),
  • преобразования скорости можно легко получить, сделав разницу бесконечно малой и разделив уравнения, и повторив процесс для преобразования ускорения,
  • если системы координат никогда не совпадают (т. е. не находятся в стандартной конфигурации), и если оба наблюдателя могут договориться о событии t 0 , x 0 , y 0 , z 0 в F и t 0 ′, x 0 ′, y 0 ′ , z 0 в F , то они могут использовать это событие в качестве начала координат, а разности координат пространства-времени — это разности между их координатами и этим началом координат, например, Δ x = x x 0 , Δ x ′ = x ′ − х 0 ' и т. д.

Физические последствия

[ редактировать ]

Критическим требованием преобразований Лоренца является неизменность скорости света, факт, использованный при их выводе и содержащийся в самих преобразованиях. Если в F уравнение для импульса света вдоль направления x имеет вид x = ct , то в F преобразования Лоренца дают x ′ = ct , и наоборот, для любого c < v < c .

Для относительных скоростей, намного меньших скорости света, преобразования Лоренца сводятся к преобразованию Галилея. в соответствии с принципом соответствия . Иногда говорят, что нерелятивистская физика — это физика «мгновенного действия на расстоянии». [14]

Три нелогичных, но правильных предсказания преобразований таковы:

Относительность одновременности
Предположим, что два события происходят вдоль оси x одновременно ( Δ t = 0 ) в F , но разделены ненулевым смещением Δ x . Тогда в F мы находим, что , поэтому события больше не являются одновременными с точки зрения движущегося наблюдателя.
Замедление времени
находятся часы в состоянии покоя Предположим, что в F . Если временной интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что Δ x = 0 , то преобразования дают этот интервал в F как Δ t ′ = γ Δ t . покоятся часы Обратно, предположим, что в F . Если интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что Δ x ′ = 0 , то преобразования дают этот интервал в F по формуле Δ t = γ Δ t . В любом случае, каждый наблюдатель измеряет временной интервал между тиканьями движущихся часов, который в γ раз длиннее , чем временной интервал между тиканьями его собственных часов.
Сокращение длины
находится стержень, Предположим, что в F выровненный вдоль оси x, длиной Δ x . В F ' стержень движется со скоростью - v , поэтому его длину необходимо измерить, выполнив два одновременных ( Δ t ' = 0 ) измерения на противоположных концах. В этих условиях обратное преобразование Лоренца показывает, что Δ x = γ Δ x . В F поскольку стержень покоится в F. два измерения больше не происходят одновременно, но это не имеет значения , Таким образом, каждый наблюдатель измеряет расстояние между концами движущегося стержня так, чтобы оно было в 1/ γ раз короче , чем конечные точки идентичного стержня, покоящегося в его собственной системе отсчета. Сокращение длины влияет на любую геометрическую величину, связанную с длиной, поэтому с точки зрения движущегося наблюдателя площади и объемы также будут уменьшаться в направлении движения.

Векторные преобразования

[ редактировать ]
Наблюдатель в системе отсчета F наблюдает, что F движется со скоростью v , а F наблюдает, что F движется со скоростью v . Координатные оси каждого кадра по-прежнему параллельны. [ по мнению кого? ] и ортогональный. Вектор положения, измеренный в каждом кадре, разбивается на компоненты, параллельные и перпендикулярные вектору относительной скорости v .
Слева: Стандартная конфигурация. Справа: обратная конфигурация.

Использование векторов позволяет компактно выражать положения и скорости в произвольных направлениях. Одиночный импульс в любом направлении зависит от полного вектора относительной скорости v с величиной | в | = v , который не может быть равен или превышать c , так что 0 ≤ v < c .

Изменяются только время и координаты, параллельные направлению относительного движения, а координаты, перпендикулярные, — нет. Имея это в виду, разделите вектор пространственного положения r, измеренный в F , и r , измеренный в F′ , каждый на компоненты, перпендикулярные (⊥) и параллельные (‖) v , тогда преобразования где · скалярное произведение . Фактор Лоренца γ сохраняет свое определение для ускорения в любом направлении, поскольку он зависит только от величины относительной скорости. Определение β = v / c с величиной 0 ≤ β < 1 также используется некоторыми авторами.

Вводя единичный вектор n = v / v = β / β в направлении относительного движения, относительная скорость равна v = v n с величиной v и направлением n , а векторная проекция и отклонение дают соответственно

Накопление результатов дает полные преобразования,

Повышение Лоренца ( в направлении n с величиной v )

Проекция и отклонение также применимы к r . Для обратных преобразований поменяйте местами r и r , чтобы переключить наблюдаемые координаты, и отмените относительную скорость v → − v (или просто единичный вектор n → − n, поскольку величина v всегда положительна), чтобы получить

Обратное усиление Лоренца ( в направлении n с величиной v )

Единичный вектор имеет то преимущество, что упрощает уравнения для одного повышения, позволяет либо v, либо β, восстановить когда это удобно, а параметризация быстроты немедленно получается путем замены β и βγ . Для многократного буста это не удобно.

Векторное соотношение между относительной скоростью и быстротой: [15] а «вектор быстроты» можно определить как каждый из которых служит полезным сокращением в некоторых контекстах. Величина ζ — это абсолютное значение скаляра быстроты, ограниченное 0 ≤ ζ < ∞ , что соответствует диапазону 0 ≤ β < 1 .

Преобразование скоростей

[ редактировать ]
Преобразование скоростей дает определение релятивистского сложения скоростей , порядок векторов выбран так, чтобы отразить порядок сложения скоростей; сначала v (скорость F' относительно F), затем u ' (скорость X относительно F'), чтобы получить u = v u ' (скорость X относительно F).

Определение координатных скоростей и фактора Лоренца по формуле

взятие дифференциалов по координатам и времени векторных преобразований, а затем деление уравнений приводит к

Скорости u и u — это скорость некоторого массивного объекта. Они также могут быть для третьей инерциальной системы отсчета (скажем F »), и в этом случае они должны быть постоянными . Обозначим любой объект через X. Тогда X движется со скоростью u относительно F или, что то же самое, со скоростью u ' относительно F', в свою очередь F' движется со скоростью v относительно F. Обратные преобразования можно получить аналогичным образом: или, как и в случае с координатами положения, поменяйте местами u и u и измените v на v .

Преобразование скорости полезно в звездной аберрации , эксперименте Физо и релятивистском эффекте Доплера .

Преобразования ускорения Лоренца можно получить аналогичным образом, взяв дифференциал векторов скорости и разделив его на дифференциал времени.

Преобразование других величин

[ редактировать ]

В общем, для данных четырех величин A и Z = ( Z x , Z y , Z z ) и их усиленных по Лоренцу аналогов A и Z ′ = ( Z x , Z y , Z z ) соотношение форма подразумевает преобразование величин при преобразованиях Лоренца, аналогично преобразованию координат пространства-времени;

Разложение Z Z ) на компоненты, перпендикулярные и параллельные v , точно такое же, как и для вектора положения, как и процесс получения обратных преобразований (обмен ( A , Z ) и ( A ′, Z ′) переключить наблюдаемые величины и изменить направление относительного движения на противоположное путем замены n ↦ − n ).

Величины ( A , Z ) вместе составляют четырехвектор , где A — «времяподобный компонент», а Z — «пространственноподобный компонент». Примеры A и Z :

Четырехвекторный А С
Позиция четырехвекторная Время (умноженное на с ), кт Вектор положения , r
Четырехимпульсный Энергия (деленная на c ), E / c Импульс , п
Четырехволновой вектор угловая частота (деленная на c ), ω / c волновой вектор , к
Четырехспиновый (Без имени), с т Вращение , с
Четырехточечный Плотность заряда (умноженная на c ), ρc Плотность тока , Дж
Электромагнитный четырехпотенциальный Электрический потенциал (деленный на c ), φ / c Магнитный векторный потенциал , А

Для данного объекта (например, частицы, жидкости, поля, материала), если A или Z соответствуют свойствам, специфичным для объекта, таким как его плотность заряда , плотность массы , спин и т. д., его свойства могут быть зафиксированы в системе покоя этот объект. Тогда преобразования Лоренца придают соответствующие свойства в системе отсчета, движущейся относительно объекта с постоянной скоростью. Это нарушает некоторые представления, которые считаются само собой разумеющимися в нерелятивистской физике. Например, энергия E объекта является скаляром в нерелятивистской механике, но не в релятивистской механике, поскольку энергия изменяется при преобразованиях Лоренца; ее значение различно для различных инерциальных систем отсчета. В системе покоя объекта он имеет энергию покоя и нулевой импульс. В усиленном кадре его энергия другая, и кажется, что он имеет импульс. Точно так же в нерелятивистской квантовой механике спин частицы является постоянным вектором, но в релятивистской квантовой механике спин s зависит от относительного движения. В системе покоя частицы псевдовектор спина можно зафиксировать как ее обычный нерелятивистский спин с нулевой времениподобной величиной. st . , однако усиленный наблюдатель увидит ненулевой времениподобный компонент и измененный спин [16]

Не все величины инвариантны в форме, показанной выше, например, орбитальный момент L не имеет времениподобной величины, равно как и электрическое поле E , и магнитное поле B. угловой Определение углового момента таково: L = r × p , а в усиленной системе отсчета измененный угловой момент равен L ′ = r ′ × p . Применение этого определения с использованием преобразований координат и импульса приводит к преобразованию углового момента. Оказывается L преобразуется с другой векторной величиной N = ( E / c 2 ) r t p, связанное с ускорением, см. в разделе «Релятивистский угловой момент» подробности . В случае полей E и B преобразования невозможно получить напрямую с помощью векторной алгебры. Сила Лоренца является определением этих полей, и в F это F = q ( E + v × B ) , а в F это F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′) . Метод эффективного получения преобразований электромагнитного поля, который также иллюстрирует единицы измерения электромагнитного поля, использует тензорную алгебру, приведенную ниже .

Математическая формулировка

[ редактировать ]

Везде заглавные буквы, выделенные курсивом и нежирные, представляют собой матрицы 4×4, а буквы, выделенные не курсивом, — это матрицы 3×3.

Однородная группа Лоренца

[ редактировать ]

Запись координат в вектор-столбцах и метрики Минковского η в виде квадратной матрицы пространственно-временной интервал принимает вид (верхний индекс T обозначает транспонирование ) и инвариантен относительно преобразования Лоренца где Λ — квадратная матрица, которая может зависеть от параметров.

Набор Лоренца всех преобразований в этой статье обозначено . Этот набор вместе с умножением матриц образует группу , в данном контексте известную как группа Лоренца . Кроме того, приведенное выше выражение X · X представляет собой квадратичную форму сигнатуры (3,1) в пространстве-времени, а группа преобразований, которая оставляет эту квадратичную форму инвариантной, представляет собой неопределенную ортогональную группу O(3,1), группу Ли . Другими словами, группа Лоренца равна O(3,1). Как представлено в этой статье, любые упомянутые группы Ли являются матричными группами Ли . В этом контексте операция композиции сводится к умножению матриц .

Из инвариантности пространственно-временного интервала следует и это матричное уравнение содержит общие условия преобразования Лоренца, обеспечивающие инвариантность пространственно-временного интервала. Взяв определитель уравнения с помощью правила произведения [номер 4] дает немедленно

Записав метрику Минковского в виде блочной матрицы, а преобразование Лоренца в самом общем виде: выполнение умножения блочной матрицы позволяет получить общие условия на Γ, a , b , M для обеспечения релятивистской инвариантности. Не так уж много информации можно извлечь напрямую из всех условий, однако один из результатов полезен; б Т b ≥ 0 всегда, поэтому отсюда следует, что

Отрицательное неравенство может быть неожиданным, поскольку Γ умножает временную координату, и это влияет на временную симметрию . Если выполнено положительное равенство, то Γ является фактором Лоренца.

Определитель и неравенство обеспечивают четыре способа классификации ( преобразований Лоренца ) здесь для краткости LT . Любая конкретная ЛП имеет только один знак определителя и только одно неравенство. Существует четыре набора, которые включают в себя все возможные пары, заданные пересечениями ( «n»-образный символ, означающий «и») этих классифицирующих наборов.

Пересечение, ∩ Антихронные (или неортохронные) LT
Ортохронные LT
Правильные LT
Правильные антихронные LT
Правильные ортохронные LT
Неправильные LT
Неправильные антихронные LT
Неправильные ортохронные LT

где «+» и «-» обозначают знак определителя, а «↑» для ≥ и «↓» для ≤ обозначают неравенства.

Полная группа Лоренца распадается на объединение («u»-образный символ, означающий «или») четырех непересекающихся множеств .

Подгруппа замкнута группы должна быть той же операцией группы (здесь умножение матриц). Другими словами, для двух преобразований Лоренца Λ и L из конкретной подгруппы составные преобразования Лоренца Λ L и L Λ должны находиться в той же подгруппе, что и Λ и L . Это не всегда так: композиция двух антихронных преобразований Лоренца ортохронна, а композиция двух несобственных преобразований Лоренца — собственная. Другими словами, пока множества , , , и все образуют подгруппы, множества, содержащие несобственные и/или антихронные преобразования без достаточного количества собственных ортохронных преобразований (например, , , ) не образуют подгрупп.

Правильные преобразования

[ редактировать ]

Если лоренц-ковариантный 4-вектор измерен в одной инерциальной системе отсчета с результатом , и то же измерение, выполненное в другой инерциальной системе отсчета (с той же ориентацией и началом координат), дает результат , два результата будут связаны соотношением где матрица повышения представляет собой преобразование Лоренца без вращения между незаштрихованными и заштрихованными кадрами и - это скорость заштрихованной системы координат, если смотреть со стороны незаштрихованной системы координат. Матрица имеет вид [17]

где - величина скорости и является фактором Лоренца. Эта формула представляет собой пассивное преобразование, поскольку описывает, как координаты измеряемой величины изменяются от незаштрихованной системы к штрихованной системе координат. Активное преобразование определяется выражением .

Если кадр F ' увеличивается со скоростью u относительно кадра F , а другой кадр F ' увеличивается со скоростью v относительно F ' , то отдельные повышения будут и композиция двух бустов соединяет координаты в F " и F , Последовательные преобразования действуют слева. Если u и v коллинеарны ( параллельны или антипараллельны вдоль одной и той же линии относительного движения), матрицы повышения коммутируют : B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) . Это составное преобразование является еще одним усилением B ( w ) , где w коллинеарно u и v .

Если u и v не коллинеарны, а направлены в разные стороны, ситуация существенно усложняется. Повышение Лоренца в разных направлениях не коммутирует: B ( v ) B ( u ) и B ( u ) B ( v ) не равны. Хотя каждая из этих композиций не является единичным повышением, каждая композиция по-прежнему является преобразованием Лоренца, поскольку сохраняет пространственно-временной интервал. Оказывается, композиция любых двух усилений Лоренца эквивалентна усилению, за которым или которому предшествует вращение пространственных координат, в форме R ( ρ ) B ( w ) или B ( w ) R ( ρ ) . w переменные и w составные скорости , а ρ и ρ — параметры вращения (например, оси-угла , углы Эйлера и т. д.). Вращение в форме блочной матрицы просто где R ( ρ ) матрица трехмерного вращения , которая вращает любой трехмерный вектор в одном смысле (активное преобразование) или, что эквивалентно, систему координат в противоположном смысле (пассивное преобразование). Непросто и связать w и ρ (или и ρ ) с исходными параметрами повышения u w v . В составе бустов матрица R называется вращением Вигнера и порождает прецессию Томаса . В этих статьях приводятся явные формулы для составных матриц преобразования, включая выражения для w , ρ , w , ρ .

В этой статье представление оси-угла используется для ρ . Вращение происходит вокруг оси в направлении единичного вектора e на угол θ (положительный против часовой стрелки, отрицательный по часовой стрелке, согласно правилу правой руки ). «Вектор оси-угла» будет служить полезным сокращением.

Сами по себе пространственные вращения также являются преобразованиями Лоренца, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Как и ускорения, последовательные вращения вокруг разных осей не коммутируют. В отличие от усилений, комбинация любых двух вращений эквивалентна одному вращению. Некоторые другие сходства и различия между матрицами повышения и вращения включают в себя:

Наиболее общее правильное преобразование Лоренца Λ( v , θ ) включает в себя одновременно повышение и вращение и является несимметричной матрицей. В особых случаях Λ( 0 , θ ) = R ( θ ) и Λ( v , 0 ) = B ( v ) . Явный вид общего преобразования Лоренца записывать громоздко и здесь приводиться не будет. Тем не менее, выражения в замкнутой форме для матриц преобразования будут приведены ниже с использованием теоретико-групповых аргументов. Будет проще использовать параметризацию быстроты для повышения, и в этом случае пишут Λ( ζ , θ ) и B ( ζ ) .

Группа Ли СО + (3,1)

[ редактировать ]

Набор трансформаций с умножением матриц, поскольку операция композиции образует группу, называемую «ограниченной группой Лоренца», и представляет собой специальную неопределенную ортогональную группу SO. + (3,1). (Знак плюс указывает, что сохраняется ориентация временного измерения).

Для простоты взгляните на бесконечно малое усиление Лоренца в направлении x (исследование повышения в любом другом направлении или вращения вокруг любой оси следует идентичной процедуре). Бесконечно малое повышение - это небольшое повышение, отличающееся от идентичности, полученное путем разложения Тейлора матрицы повышения до первого порядка относительно ζ = 0 , где не показанные члены более высокого порядка пренебрежимо малы, поскольку ζ мало, а B x — это просто матрица повышения в направлении x . Производная матрицы — это матрица производных (элементов по одной и той же переменной), и понятно, что производные сначала находятся, а затем оцениваются при ζ = 0 ,

На данный момент K x определяется этим результатом (его значение будет объяснено позже). В пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов конечное преобразование буста в виде матричной экспоненты. получается где предельное определение экспоненты использовалось (см. также характеристики экспоненциальной функции ). В более общем плане [номер 5]

Вектор оси-угла θ и вектор быстроты ζ представляют собой шесть непрерывных переменных, которые составляют параметры группы (в этом конкретном представлении), а генераторами группы являются K = ( K x , K y , K z ) и J = ( J x , J y , J z ) , каждые векторы матриц с явными формами [номер 6]

Все они определяются аналогично K x выше, хотя знаки минус в повышающих генераторах являются обычными. Физически генераторы группы Лоренца соответствуют важным симметриям в пространстве-времени: J генераторы вращения , соответствующие угловому моменту , а K буст-генераторы , соответствующие движению системы в пространстве-времени. Производная любой гладкой кривой C ( t ) с C (0) = I в группе, зависящей от некоторого параметра группы t относительно этого параметра группы, оцененного при t = 0 , служит определением соответствующего генератора группы G , и это отражает бесконечно малую трансформацию от идентичности. Гладкую кривую всегда можно рассматривать как экспоненту, поскольку экспонента всегда плавно отображает G обратно в группу через t → exp( tG ) для всех t ; эта кривая снова даст G при дифференцировании при t = 0 .

Разложение экспонент в ряд Тейлора дает которые компактно воспроизводят матрицы повышения и вращения, как указано в предыдущем разделе.

Было заявлено, что общее собственное преобразование Лоренца является продуктом ускорения и вращения. На бесконечно малом уровне произведение является коммутативным, поскольку требуются только линейные члены (продукты типа ( θ · J )( ζ · K ) и ( ζ · K )( θ · J ) считаются членами более высокого порядка и ими можно пренебречь). Предельный переход, как и раньше, приводит к конечному преобразованию в виде экспоненты

Обратное также верно, но разложение конечного общего преобразования Лоренца на такие множители нетривиально. В частности, потому что генераторы не коммутируют. Описание того, как найти факторы общего преобразования Лоренца через повышение и вращение в принципе (это обычно не дает вразумительного выражения в терминах генераторов J и K ), см. Вращение Вигнера . Если, с другой стороны, разложение дается через образующие и нужно найти произведение через образующие, то формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа применяется .

Алгебра Ли so(3,1)

[ редактировать ]

Генераторы Лоренца можно складывать или умножать на действительные числа, чтобы получить больше генераторов Лоренца. Другими словами, совокупность всех генераторов Лоренца вместе с операциями обычного сложения матриц и умножения матрицы на число образует векторное пространство над действительными числами. [номер 7] Генераторы J x , J y , J z , K x , K y , K z образуют базисный набор V , а компоненты векторов оси-угла и быстроты θ x , θ y , θ z , ζ x , ζ y , ζ z , — координаты генератора Лоренца относительно этого базиса. [номер 8]

Три коммутационных соотношения генераторов Лоренца: где скобка [ A , B ] = AB BA известна как коммутатор , а другие отношения могут быть найдены путем циклических перестановок компонентов x, y, z (т.е. замены x на y, y на z и z на х, повтор).

Эти коммутационные соотношения и векторное пространство образующих удовлетворяют определению алгебры Ли. . Таким образом, алгебра Ли определяется как векторное пространство V над полем чисел и с бинарной операцией [ , ] (в данном контексте называемой скобкой Ли ) над элементами векторного пространства, удовлетворяющей аксиомам билинейности , альтернация и тождество Якоби . Здесь операция [, ] — это коммутатор, который удовлетворяет всем этим аксиомам, векторное пространство — это набор генераторов Лоренца V, как указано ранее, а поле — это набор действительных чисел.

Связь терминологии, используемой в математике и физике: Генератор группы — это любой элемент алгебры Ли. Групповой параметр — это компонента координатного вектора, представляющая произвольный элемент алгебры Ли относительно некоторого базиса. Таким образом, базис — это набор образующих, являющийся базисом алгебры Ли в обычном смысле векторного пространства.

Экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли, обеспечивает взаимно однозначное соответствие между достаточно малыми окрестностями начала алгебры Ли и окрестностями единичного элемента группы Ли. В случае группы Лоренца экспоненциальное отображение — это просто матричная экспонента . В глобальном масштабе экспоненциальное отображение не является взаимно однозначным, но в случае группы Лоренца оно сюръективно (онто). Следовательно, любой групповой элемент в компоненте связности тождества может быть выражен как экспонента элемента алгебры Ли.

Неправильные преобразования

[ редактировать ]

Преобразования Лоренца также включают инверсию четности. что сводит на нет только все пространственные координаты и обращение времени что отменяет только временную координату, поскольку эти преобразования оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Здесь I — трехмерная единичная матрица . Оба они симметричны, являются своими обратными (см. инволюцию (математика) ), и каждый имеет определитель -1. Это последнее свойство делает их неправильными преобразованиями.

Если Λ — собственное ортохронное преобразование Лоренца, то T Λ — несобственное антихронное, P Λ — несобственное ортохронное и TP Λ = PT Λ — собственное антихронное.

Неоднородная группа Лоренца

[ редактировать ]

Две другие пространственно-временные симметрии не были учтены. Чтобы пространственно-временной интервал был инвариантным, его можно показать [18] что необходимо и достаточно, чтобы преобразование координат имело вид где C — постоянный столбец, содержащий переводы во времени и пространстве. Если C ≠ 0, это неоднородное преобразование Лоренца или преобразование Пуанкаре . [19] [20] Если C = 0, это однородное преобразование Лоренца . Преобразования Пуанкаре в этой статье далее не рассматриваются.

Тензорная формулировка

[ редактировать ]

Контравариантные векторы

[ редактировать ]

Записав общее матричное преобразование координат в виде матричного уравнения позволяет преобразовывать другие физические величины, которые невозможно выразить в виде четырехвекторов; например, тензоры или спиноры любого порядка в 4-мерном пространстве-времени, которые необходимо определить. В соответствующих обозначениях тензорного индекса приведенное выше матричное выражение имеет вид

где нижние и верхние индексы обозначают ковариантные и контравариантные компоненты соответственно, [21] и соглашение о суммировании применяется . Стандартным соглашением является использование греческих индексов, которые принимают значение 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для компонентов пространства, тогда как латинские индексы просто принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов (противоположное для Ландау и Лифшиц). Обратите внимание, что первый индекс (читается слева направо) соответствует в матричном обозначении индексу строки . Второй индекс соответствует индексу столбца.

Матрица преобразования универсальна для всех четырехвекторов , а не только для четырехмерных координат пространства-времени. Если A — любой четырехвектор, то в тензорных индексных обозначениях

Альтернативно, пишут в котором индексы со штрихом обозначают индексы A в штрихованном кадре. Для общего n -компонентного объекта можно написать где Π — подходящее представление группы Лоренца , матрица размера n × n для каждого Λ . В этом случае индексы не следует рассматривать как индексы пространства-времени (иногда называемые индексами Лоренца), и они имеют значения от 1 до n . Например, если X биспинор , то индексы называются индексами Дирака .

Ковариантные векторы

[ редактировать ]

Существуют также векторные величины с ковариантными индексами. Обычно они получаются из соответствующих им объектов с контравариантными индексами посредством операции понижения индекса ; например, где η метрический тензор . (Связанная статья также предоставляет дополнительную информацию о том, что на самом деле представляет собой операция повышения и понижения индексов с математической точки зрения.) Обратное это преобразование определяется выражением где, если рассматривать его в виде матрицы, η примечание является обратным к η µν . Дело в том, что η примечание знак равно η μν . Это называется повышением индекса . Чтобы преобразовать ковариантный вектор A µ , сначала повысьте его индекс, затем преобразуйте его по тому же правилу, что и для контравариантных 4 -векторов, затем, наконец, понизьте индекс;

Но

То есть это ( μ , ν ) -компонента обратного преобразования Лоренца. Определяют (в виде обозначений), и можно в этой записи написать

Теперь о тонкости. Подразумеваемое суммирование в правой части пробегает индекс строки матрицы, представляющей Λ −1 . Таким образом, с точки зрения матриц это преобразование следует рассматривать как обратную транспозицию Λ , действующую на вектор-столбец A µ . То есть в чисто матричной записи

Это означает, что ковариантные векторы (считающиеся матрицами-столбцами) преобразуются в соответствии с двойственным представлением стандартного представления группы Лоренца. Это понятие обобщается на общие представления, просто замените Λ на Π(Λ) .

Если A и B — линейные операторы в векторных пространствах и V , то линейный оператор A B может быть определен на тензорном произведении U U и V , обозначенном U V согласно [22]

              (Т1)

Отсюда сразу ясно, что если u и v — четырехвекторы в V , то u v T 2 V V V преобразуется как

              (Т2)

На втором этапе используется билинейность тензорного произведения, а на последнем этапе определяется 2-тензор на компонентной форме, или, скорее, он просто переименовывает тензор u v .

Эти наблюдения очевидным образом обобщаются на большее количество факторов, и, используя тот факт, что общий тензор в векторном пространстве V можно записать как сумму коэффициентов (компонент!), умноженных на тензорные произведения базисных векторов и базисных ковекторов, можно прийти к закон преобразования для любой тензорной величины T . Это дано [23]

              (Т3)

где Λ x′ п определено выше. Эту форму обычно можно свести к форме для общих n -компонентных объектов, приведенной выше, с одной матрицей ( Π(Λ) ), работающей с векторами-столбцами. Эта последняя форма иногда предпочтительнее; например, для тензора электромагнитного поля.

Преобразование электромагнитного поля

[ редактировать ]
Лоренцево усиление электрического заряда, заряд покоится то в одной, то в другой системе отсчета.

Преобразования Лоренца также можно использовать, чтобы проиллюстрировать, что магнитное поле B и электрическое поле E являются просто разными аспектами одной и той же силы — электромагнитной силы , как следствие относительного движения между электрическими зарядами и наблюдателями. [24] Тот факт, что электромагнитное поле проявляет релятивистские эффекты, становится очевидным, если провести простой мысленный эксперимент. [25]

  • Наблюдатель измеряет заряд в состоянии покоя в системе отсчета F. Наблюдатель обнаружит статическое электрическое поле. Поскольку заряд в этой системе координат неподвижен, электрический ток отсутствует, поэтому наблюдатель не наблюдает никакого магнитного поля.
  • Другой наблюдатель в системе F 'движется со скоростью v относительно F и заряда. Этот наблюдатель видит другое электрическое поле, потому что заряд движется со скоростью v в системе покоя. Движение заряда соответствует электрическому току , поэтому наблюдатель в системе F' также видит магнитное поле.

Электрические и магнитные поля трансформируются иначе, чем пространство и время, но точно так же, как релятивистский угловой момент и вектор ускорения.

Тензор напряженности электромагнитного поля имеет вид в единицах СИ . В теории относительности гауссова система единиц часто предпочтительнее единиц СИ, даже в текстах, в которых основным выбором единиц являются единицы СИ, поскольку в ней электрическое поле E и магнитная индукция B имеют одни и те же единицы, создавая видимость электромагнитного поля. тензор более естественный. [26] Рассмотрим усиление Лоренца в направлении x . Это дано [27] где тензор поля отображается рядом для упрощения использования в манипуляциях ниже.

Общий закон преобразования (Т3) принимает вид

Для магнитного поля получаем

Результаты по электрическому полю

Здесь β = ( β , 0, 0) используется . Эти результаты можно обобщить и не зависят от сигнатуры метрики. Для единиц СИ замените E Е с . Миснер, Торн и Уиллер (1973) называют эту последнюю форму представлением 3 + 1 в отличие от геометрического представления, представленного тензорным выражением. и подчеркните легкость, с которой 3 + 1 можно получить и понять результаты, которых трудно достичь с помощью представления . Только объекты, которые имеют четко определенные свойства преобразования Лоренца (фактически при любом плавном преобразовании координат), являются геометрическими объектами. С геометрической точки зрения электромагнитное поле представляет собой шестимерный геометрический объект в пространстве-времени в отличие от двух взаимозависимых, но отдельных трехвекторных полей в пространстве и времени . Поля E (только) и B (только) не имеют четко определенных свойств преобразования Лоренца. Математической основой являются уравнения (T1) и (T2), которые немедленно приводят к (T3) . Следует отметить, что штрихованные и нештрихованные тензоры относятся к одному и тому же событию в пространстве-времени . Таким образом, полное уравнение с зависимостью от пространства-времени имеет вид

Сокращение длины влияет на плотность заряда ρ и плотность тока J , а замедление времени влияет на скорость потока заряда (тока), поэтому распределения заряда и тока должны соответствующим образом трансформироваться при повышении напряжения. Оказывается, они трансформируются точно так же, как четыре вектора пространства-времени и энергии-импульса:

или, в более простом геометрическом представлении,

Плотность заряда преобразуется как временная составляющая четырехвектора. Это вращательный скаляр. Плотность тока является 3-векторной.

Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Уравнение (T1) остается неизменным для любого представления группы Лоренца, включая биспинорное представление. В (T2) просто заменяются все вхождения Λ биспинорным представлением Π(Λ) ,

              (Т4)

Приведенное выше уравнение могло бы, например, представлять собой преобразование состояния в пространстве Фока, описывающее два свободных электрона.

Трансформация общих полей

[ редактировать ]

Общее невзаимодействующее многочастичное состояние (состояние пространства Фока) в квантовой теории поля преобразуется по правилу [28]

( 1 )

где W (Λ, p ) вигнеровское вращение , а D ( Дж ) является (2 j + 1) -мерным представлением SO(3) .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Можно представить, что в каждой инерциальной системе отсчета есть наблюдатели, расположенные в пространстве, каждый из которых имеет синхронизированные часы и находится в состоянии покоя в определенной инерциальной системе отсчета. Эти наблюдатели затем отчитываются в центральный офис, где собираются все отчеты. Когда говорят о конкретном наблюдателе, имеется в виду тот, кто имеет, по крайней мере в принципе, копию этого отчета. См., например, Сард (1970) .
  2. ^ Отдельные требования трех уравнений приводят к трем различным группам. Второе уравнение удовлетворяется для сдвигов пространства-времени в дополнение к преобразованиям Лоренца, приводящим к группе Пуанкаре или неоднородной группе Лоренца . Первое уравнение (или второе, ограниченное светоподобным разделением) приводит к еще большей группе — конформной группе пространства-времени.
  3. ^ Группы O(3, 1) и O(1, 3) изоморфны. Широко распространено мнение, что выбор между двумя метрическими сигнатурами не имеет физического значения, хотя некоторые объекты, относящиеся к O(3, 1) и O(1, 3) соответственно, например, алгебры Клиффорда, соответствующие различным сигнатурам билинейные формы, связанные с двумя группами, неизоморфны.
  4. ^ Для двух квадратных матриц A и B ) det( AB = det( A )det( B )
  5. ^ Явно,
  6. ^ В квантовой механике , релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля для этих матриц используется другое соглашение; все правые части умножаются на коэффициент мнимой единицы i = −1 .
  7. ^ До сих пор термин «вектор» относился исключительно к « евклидову вектору », примерами являются положение r , скорость v и т. д. Термин «вектор» применяется гораздо шире, чем евклидовы векторы, векторы-строки или столбцы и т. д., см. Линейный алгебра и векторное пространство для деталей. Генераторы группы Ли также образуют векторное пространство над полем чисел (например, вещественных чисел , комплексных чисел ), поскольку линейная комбинация генераторов также является генератором. Они просто живут в другом пространстве, чем векторы положения в обычном трехмерном пространстве.
  8. ^ В обычном трехмерном позиционном пространстве вектор положения r = x e x + y e y + z e z выражается как линейная комбинация декартовых единичных векторов e x , e y , e z, которые образуют базис, и декартовых единичных векторов e x , e y , e z , которые образуют базис, и декартовых координаты x, y, z являются координатами относительно этого базиса.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Рао, К.Н. Шриниваса (1988). Группы вращения и Лоренца и их представления для физиков (иллюстрированное издание). Джон Уайли и сыновья. п. 213. ИСБН  978-0-470-21044-4 . Уравнение 6-3.24, стр. 210
  2. ^ Форшоу и Смит, 2009 г.
  3. ^ Коттингем и Гринвуд 2007 , с. 21
  4. ^ Лоренц 1904 г.
  5. ^ О'Коннор и Робертсон, 1996 г.
  6. ^ Браун 2003
  7. ^ Ротман 2006 , стр. 112f.
  8. ^ Дарригол 2005 , стр. 1–22
  9. ^ Макроссан 1986 , стр. 232–34.
  10. ^ Ссылка находится в следующей статье: Пуанкаре 1905 , стр. 1504–1508.
  11. ^ Эйнштейн 1905 , стр. 891–921.
  12. ^ Янг и Фридман, 2008 г.
  13. ^ Форшоу и Смит, 2009 г.
  14. ^ Эйнштейн 1916 г.
  15. ^ Барут 1964 , с. 18–19
  16. ^ Чайчян и Хагедорн 1997 , с. 239
  17. ^ Фурри, Вашингтон (1 ноября 1955 г.). «Преобразование Лоренца и прецессия Томаса» . Американский журнал физики . 23 (8): 517–525. Бибкод : 1955AmJPh..23..517F . дои : 10.1119/1.1934085 . ISSN   0002-9505 .
  18. ^ Вайнберг 1972 г.
  19. ^ Вайнберг 2005 , стр. 55–58.
  20. ^ Олссон 2011 , стр. 3–9.
  21. ^ Деннери и Кшивицкий 2012 , стр. 138.
  22. ^ Зал 2003 , Глава 4
  23. ^ Кэрролл 2004 , с. 22
  24. ^ Грант и Филлипс, 2008 г.
  25. ^ Гриффитс 2007
  26. ^ Джексон 1975 , с. [ нужна страница ]
  27. ^ Миснер, Торн и Уилер, 1973 г.
  28. ^ Вайнберг 2002 , Глава 3.

Веб-сайты

[ редактировать ]

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 4a63fb69077f143d40aa9fcca1d7bedc__1716836760
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/4a/dc/4a63fb69077f143d40aa9fcca1d7bedc.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Lorentz transformation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)