Сокращение длины

Колеса, которые движутся со скоростью 9/10 скорости света. Скорость верхней части колеса равна 0,994 с, а скорость нижней всегда равна нулю. Вот почему верхняя часть сжимается относительно нижней. Эта анимация сделана в предположении, что спицы колеса гораздо более эластичны, чем его окружность. В противном случае возможен разрыв спиц или окружности. В остальной части центра колеса колеса имеют круглую форму, а их спицы прямые и равноудаленные, но их окружность сужается и оказывает давление на спицы.

Сокращение длины — это явление, при котором измеренная длина движущегося объекта оказывается короче его собственной длины объекта , которая представляет собой длину, измеренную в собственной системе отсчета покоя . Оно также известно как сокращение Лоренца или сокращение Лоренца-Фитцджеральда (в честь Хендрика Лоренца и Джорджа Фрэнсиса Фитцджеральда ) и обычно заметно только на значительной части скорости света . Сокращение длины происходит только в направлении движения тела. Для стандартных объектов этот эффект незначителен на повседневных скоростях, и его можно игнорировать для всех обычных целей, он становится значительным только по мере того, как объект приближается к скорости света относительно наблюдателя.

История

Основная статья: История специальной теории относительности

Сокращение длины было постулировано Джорджем Фицджеральдом (1889) и Хендриком Антоном Лоренцем (1892), чтобы объяснить отрицательный результат эксперимента Майкельсона-Морли и спасти гипотезу стационарного эфира ( гипотеза сокращения Лоренца-Фитцджеральда ). Хотя и Фитцджеральд, и Лоренц намекали на тот факт, что электростатические поля в движении деформируются («Эллипсоид Хевисайда» в честь Оливера Хевисайда , который вывел эту деформацию из электромагнитной теории в 1888 году), это считалось гипотезой ad hoc , поскольку в это время существовала не было достаточных оснований предполагать, что межмолекулярные силы ведут себя так же, как и электромагнитные. В 1897 году Джозеф Лармор разработал модель, в которой считается, что все силы имеют электромагнитное происхождение, а сокращение длины оказалось прямым следствием этой модели. (1905) показал Однако Анри Пуанкаре , что одни лишь электромагнитные силы не могут объяснить стабильность электрона. Поэтому ему пришлось ввести еще одну специальную гипотезу: неэлектрические силы связи ( напряжения Пуанкаре ), которые обеспечивают стабильность электрона, дают динамическое объяснение сокращению длины и, таким образом, скрывают движение неподвижного эфира.

Альберту Эйнштейну (1905) приписывают с устранением ad hoc характера из гипотезы сокращения, выводя это сокращение из его постулатов, а не из экспериментальных данных. Герман Минковский дал геометрическую интерпретацию всем релятивистским эффектам, представив свою концепцию четырехмерного пространства-времени .

Основы теории относительности

В специальной теории относительности наблюдатель измеряет события по бесконечной решетке синхронизированных часов.

Прежде всего необходимо внимательно рассмотреть методы измерения длин покоящихся и движущихся объектов. Здесь «объект» просто означает расстояние, конечные точки которого всегда взаимно покоятся, т. е . покоятся в одной и той же инерциальной системе отсчета . Если относительная скорость между наблюдателем (или его измерительными приборами) и наблюдаемым объектом равна нулю, то собственная длина $L_{0}$ объекта можно просто определить путем непосредственного наложения измерительного стержня. Однако если относительная скорость больше нуля, то можно поступить следующим образом:

Сокращение длины : три синих стержня покоятся в S, а три красных стержня в S'. В тот момент, когда левые концы А и D займут одинаковое положение на оси х, следует сравнить длины стержней. В S одновременные положения левой стороны A и правой стороны C более удалены, чем положения D и F, тогда как в S' одновременные положения левой стороны D и правой стороны F более удалены, чем позиции D и F. те из А и С.

Наблюдатель устанавливает ряд часов, которые либо синхронизируются а) путем обмена световыми сигналами согласно синхронизации Пуанкаре-Эйнштейна , либо б) путем «медленного транспорта часов», то есть одни часы транспортируются по ряду часов в пределе исчезающей скорости переноса . Теперь, когда процесс синхронизации завершен, объект перемещается по ряду часов, и каждые часы сохраняют точное время, когда мимо проходит левый или правый конец объекта. проходил правый конец объекта. После этого наблюдателю остается только посмотреть на положение часов A, которые хранят время, когда мимо проходил левый конец объекта, и часов B, мимо которых в то же время . Понятно, что расстояние AB равно длине $L$ движущегося объекта. Используя этот метод, определение одновременности имеет решающее значение для измерения длины движущихся объектов.

Другой метод — использовать часы, показывающие правильное время. $T_{0}$, который перемещается от одного конца стержня к другому во времени $T$ по измерениям часов в системе покоя стержня. Длину стержня можно вычислить, умножив время его движения на его скорость, таким образом $L_{0}=T\cdot v$ в опорной раме стержня или $L=T_{0}\cdot v$ в кадре покоя часов.

В механике Ньютона одновременность и продолжительность времени абсолютны, поэтому оба метода приводят к равенству $L$ и $L_{0}$. Однако в теории относительности постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета в сочетании с относительностью одновременности и замедления времени разрушает это равенство. В первом методе наблюдатель в одном кадре утверждает, что измерил конечные точки объекта одновременно, но наблюдатели во всех других инерциальных кадрах будут утверждать, что конечные точки объекта не были измерены одновременно. Во втором методе раз $T$ и $T_{0}$ не равны из-за замедления времени, что приводит к разной длине.

Отклонение между измерениями во всех инерциальных системах отсчета определяется формулами преобразования Лоренца и замедления времени (см. Вывод ). Оказывается, собственная длина остается неизменной и всегда обозначает наибольшую длину объекта, а длина того же объекта, измеренная в другой инерциальной системе отсчета, короче собственной длины. Это сокращение происходит только вдоль линии движения и может быть представлено соотношением

$L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}$

где

• $L$ длина, наблюдаемая наблюдателем при движении относительно объекта
• $L_{0}$ — правильная длина (длина объекта в кадре покоя)
• $\gamma (v)$ – фактор Лоренца , определяемый как
  $$\gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$$
  где
  • $v$ это относительная скорость между наблюдателем и движущимся объектом
  • $c$ это скорость света

Замена множителя Лоренца в исходной формуле приводит к соотношению

$L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

В этом уравнении оба $L$ и $L_{0}$ измеряются параллельно линии движения объекта. Для наблюдателя, находящегося в относительном движении, длина объекта измеряется путем вычитания одновременно измеренных расстояний до обоих концов объекта. Более общие преобразования см. в разделе Преобразования Лоренца . Наблюдатель в состоянии покоя, наблюдающий за объектом, движущимся со скоростью, близкой к скорости света, заметит, что длина объекта в направлении движения очень близка к нулю.

Тогда при скорости 13 400 000 м/с (30 миллионов миль в час, 0,0447 с ) длина сокращения составляет 99,9% длины покоя; при скорости 42 300 000 м/с (95 миллионов миль в час, 0,141 с ) длина по-прежнему составляет 99%. Когда величина скорости приближается к скорости света, эффект становится заметным.

Симметрия

Принцип относительности (согласно которому законы природы инвариантны во всех инерциальных системах отсчета) требует, чтобы сокращение длины было симметричным: если стержень покоится в инерциальной системе отсчета, $S$, он имеет правильную длину в $S$ и его длина сокращается в $S'$. Однако, если стержень упирается в $S'$, он имеет правильную длину в $S'$ и его длина сокращается в $S$. Это можно наглядно проиллюстрировать с помощью симметричных диаграмм Минковского , поскольку преобразование Лоренца геометрически соответствует вращению в четырехмерном пространстве-времени .

Магнитные силы

Основная статья: Релятивистский электромагнетизм

Магнитные силы вызваны релятивистским сжатием, когда электроны движутся относительно атомных ядер. Магнитная сила, действующая на движущийся заряд рядом с проводом с током, является результатом релятивистского движения между электронами и протонами.

В 1820 году Андре-Мари Ампер показал, что параллельные провода, в которых токи одного направления, притягиваются друг к другу. В системе отсчета электронов движущийся провод слегка сжимается, в результате чего протоны противоположного провода становятся локально более плотными . Поскольку электроны в противоположном проводе также движутся, они не сжимаются (так сильно). Это приводит к очевидному локальному дисбалансу между электронами и протонами; движущиеся электроны в одном проводе притягиваются к дополнительным протонам в другом. Можно рассмотреть и обратное. В системе отсчета статического протона электроны движутся и сжимаются, что приводит к тому же дисбалансу. электронов Скорость дрейфа относительно очень мала, порядка метра в час, но сила между электроном и протоном настолько огромна, что даже на этой очень медленной скорости релятивистское сжатие вызывает значительные эффекты.

Этот эффект также применим к магнитным частицам без тока, где ток заменяется спином электрона.

Экспериментальные проверки

Смотрите также: Тесты специальной теории относительности

Любой наблюдатель, движущийся вместе с наблюдаемым объектом, не может измерить сокращение объекта, поскольку он может судить о себе и объекте как о покоящихся в одной и той же инерциальной системе отсчета в соответствии с принципом относительности (как это было продемонстрировано экспериментом Траутона-Рэнкина ). . Таким образом, сокращение длины нельзя измерить в системе отсчета покоя объекта, а только в той системе координат, в которой наблюдаемый объект находится в движении. Кроме того, даже в такой неспутственно движущейся системе отсчета трудно добиться прямых экспериментальных подтверждений сокращения длины, поскольку (а) при нынешнем состоянии технологии объекты значительной протяженности не могут быть ускорены до релятивистских скоростей и (б) ) единственные объекты, движущиеся с требуемой скоростью, — это атомные частицы, пространственные расширения которых слишком малы, чтобы можно было напрямую измерить сжатие.

Однако есть косвенные подтверждения этого эффекта в неспутной системе отсчета:

• Это был отрицательный результат известного эксперимента, потребовавшего введения сокращения длины: эксперимента Майкельсона-Морли (а позже и эксперимента Кеннеди-Торндайка ). В специальной теории относительности его объяснение следующее: в системе покоя интерферометр можно считать покоящимся в соответствии с принципом относительности, поэтому время распространения света одинаково во всех направлениях. Хотя в системе отсчета, в которой интерферометр находится в движении, поперечный луч должен пройти более длинный диагональный путь по отношению к неподвижной системе отсчета, что увеличивает время его прохождения, фактор, на который продольный луч будет задерживаться, займет время L /( c − v ) и L /( c + v ) для поездок вперед и назад соответственно еще длиннее. Следовательно, в продольном направлении интерферометр предполагается сжимать, чтобы восстановить равенство обоих времен пробега в соответствии с отрицательным экспериментальным результатом(ами). Таким образом, двусторонняя скорость света остается постоянной, а время распространения туда и обратно вдоль перпендикулярных плеч интерферометра не зависит от его движения и ориентации.
• Учитывая толщину атмосферы, измеренную в земной системе отсчета, чрезвычайно короткая продолжительность жизни мюонов не должна позволить им совершить путешествие на поверхность, даже со скоростью света, но, тем не менее, они это делают. Однако в земной системе отсчета это становится возможным только благодаря замедлению времени мюона из-за замедления времени . Однако в рамках мюона этот эффект объясняется сжатием атмосферы, сокращающим путешествие.
• Тяжелые ионы , имеющие сферическую форму в состоянии покоя, должны принимать форму «блинчиков» или плоских дисков при движении почти со скоростью света — и фактически результаты, полученные при столкновениях частиц, можно объяснить только тогда, когда повышенная плотность нуклонов из-за учитывается сокращение длины.
• Ионизационная способность электрически заряженных частиц с большими относительными скоростями выше ожидаемой. В дорелятивистской физике эта способность должна уменьшаться при высоких скоростях, потому что время, в течение которого движущиеся ионизирующие частицы могут взаимодействовать с электронами других атомов или молекул, уменьшается; однако в теории относительности более высокая, чем ожидалось, ионизационная способность может быть объяснена сокращением длины кулоновского поля в кадрах, в которых ионизирующие частицы движутся, что увеличивает напряженность их электрического поля, перпендикулярного линии движения.
• В синхротронах и лазерах на свободных электронах релятивистские электроны инжектируются в ондулятор , в результате чего синхротронное излучение генерируется . В собственной системе электронов ондулятор сжимается, что приводит к увеличению частоты излучения. Кроме того, чтобы узнать частоту, измеренную в лабораторных условиях, необходимо применить релятивистский эффект Доплера . Итак, только с помощью сокращения длины и релятивистского эффекта Доплера можно объяснить чрезвычайно малую длину волны ондуляторного излучения.

длины

Диаграмма Минковского мысленного эксперимента Эйнштейна 1911 года по сокращению длины. Два стержня длины покоя $A'B'=A''B''=L_{0}$ движутся с 0,6c в противоположных направлениях, в результате чего $A^{\ast }B^{\ast }<L_{0}$.

В 1911 году Владимир Варичак утверждал, что, согласно Лоренцу, сокращение длины наблюдается объективно, в то время как, согласно Эйнштейну, это «всего лишь кажущееся, субъективное явление, вызванное способом регулирования наших часов и измерения длины». Эйнштейн опубликовал опровержение:

Автор неоправданно заявил о различии взглядов Лоренца и моих относительно физических фактов . Вопрос о том, действительно ли существует сокращение длины, вводит в заблуждение. Оно не существует «на самом деле», поскольку оно не существует для идущего рядом наблюдателя; хотя оно «реально» существует, т. е. таким образом, что его можно было бы в принципе продемонстрировать физическими средствами неподвижному наблюдателю.

- Альберт Эйнштейн, 1911 г.

Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины — это не просто продукт произвольных определений, касающихся способа регулирования часов и измерения длины. Он представил следующий мысленный эксперимент: пусть A'B' и A'B' — концы двух стержней одинаковой длины L ₀ , измеренной по x' и x" соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль x. * ось, рассматриваемая в состоянии покоя, движется по отношению к ней с одинаковой скоростью. Тогда концы А'А" встречаются в точке А*, а В'В" встречаются в точке В*. Эйнштейн указывал, что длина А*В* короче. чем A'B' или A"B", что также можно продемонстрировать, остановив один из стержней относительно этой оси.

Парадоксы

Из-за поверхностного применения формулы сокращения могут возникнуть некоторые парадоксы. Примерами являются парадокс лестницы и парадокс космического корабля Белла . Однако эти парадоксы можно разрешить путем правильного применения теории относительности одновременности. Другой известный парадокс — парадокс Эренфеста , который доказывает, что концепция твердых тел несовместима с теорией относительности, уменьшая применимость жесткости Борна и показывая, что для наблюдателя, вращающегося вместе, геометрия на самом деле неевклидова .

Визуальные эффекты

Основная статья: Ротация Террелла

Формула на стене в Лейдене, Нидерланды. Лоренц был заведующим кафедрой теоретической физики в Лейденском университете (1877–1910).

Сокращение длины относится к измерениям положения, выполняемым одновременно в соответствии с системой координат. Это может означать, что если бы можно было сфотографировать быстро движущийся объект, то на изображении был бы виден объект, сжавшийся в направлении движения. Однако такие визуальные эффекты представляют собой совершенно другие измерения, поскольку такая фотография делается с расстояния, а сокращение длины можно непосредственно измерить только в точном расположении конечных точек объекта. и Джеймс Террелл, показали Несколько авторов, таких как Роджер Пенроуз , что движущиеся объекты обычно не кажутся сжатыми по длине на фотографии. Этот результат был популяризирован Виктором Вайскопфом в статье в журнале Physics Today. Например, при малом угловом диаметре движущаяся сфера остается круглой и вращается. Этот вид эффекта визуального вращения называется вращением Пенроуза-Террелла.

Вывод

Сокращение длины может быть получено несколькими способами:

перемещения

Пусть в инерциальной системе отсчета S пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ обозначают конечные точки движущегося объекта. В этом кадре длина объекта $L$ измеряется в соответствии с вышеуказанными соглашениями путем определения одновременного положения его конечных точек в $t_{1}=t_{2}$. Между тем, собственная длина этого объекта, измеренная в его системе координат S', может быть рассчитана с помощью преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из S в S' приводит к разным временам, но это не проблема, поскольку объект покоится в S', где не имеет значения, когда измеряются конечные точки. Поэтому достаточно преобразования пространственных координат, которое дает:

$x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .$

С $t_{1}=t_{2}$и, установив $L=x_{2}-x_{1}$ и $L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}$, собственная длина в S' определяется выражением

$L_{0}^{'}=L\cdot \gamma \ \ .$ ( 1 )

Поэтому длина объекта, измеренная в кадре S, сокращается в раз. $\gamma$:

$L=L_{0}^{'}/\gamma \ \ .$ ( 2 )

Аналогично, согласно принципу относительности, объект, покоящийся в S, также сожмется в S'. Поменяв местами указанные выше знаки и простые числа симметрично, следует, что

$L_{0}=L'\cdot \gamma \ \ .$ ( 3 )

Таким образом, объект, покоящийся в S, при измерении в S' будет иметь сжатую длину

$L'=L_{0}/\gamma \ \ .$ ( 4 )

Известная

И наоборот, если объект покоится в S и известна его собственная длина, одновременность измерений в конечных точках объекта приходится учитывать в другом кадре S', так как там объект постоянно меняет свое положение. Поэтому необходимо преобразовать как пространственные, так и временные координаты:

${\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}$

Вычисление интервала длины $\Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }$ а также предполагая одновременное измерение времени $\Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0$и подключив нужную длину $L_{0}=x_{2}-x_{1}$, следует:

${\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{aligned}}$

Уравнение (2) дает

$\Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}$

что при включении в (1) демонстрирует, что $\Delta x'$ становится сокращенной длиной $L'$:

$L'=L_{0}/\gamma$.

Аналогично, тот же метод дает симметричный результат для объекта, находящегося в состоянии покоя в S':

$L=L_{0}^{'}/\gamma$.

Использование

Сокращение длины также может быть следствием замедления времени . согласно которому скорость одиночных «движущихся» часов (указывающих их собственное время) $T_{0}$) ниже по отношению к двум синхронизированным «отдыхающим» часам (обозначающим $T$). Замедление времени было многократно подтверждено экспериментально и представлено соотношением:

$T=T_{0}\cdot \gamma$

Предположим, что стержень нужной длины $L_{0}$ в покое в $S$ и часы в покое $S'$ движутся друг относительно друга со скоростью $v$. Поскольку, согласно принципу относительности, величина относительной скорости одинакова в любой системе отсчета, соответствующее время прохождения часов между конечными точками стержня определяется выражением $T=L_{0}/v$ в $S$ и $T'_{0}=L'/v$ в $S'$, таким образом $L_{0}=Tv$ и $L'=T'_{0}v$. Подставив формулу замедления времени, соотношение между этими длинами составит:

${\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma$.

Поэтому длина, измеренная в $S'$ дается

$L'=L_{0}/\gamma$

Таким образом, поскольку время хода часов по стержню больше в $S$ чем в $S'$ (замедление времени в $S$), длина стержня также больше в $S$ чем в $S'$ (сокращение длины в $S'$). Аналогично, если бы часы покоились в $S$ и стержень в $S'$, описанная выше процедура даст

$L=L'_{0}/\gamma$

соображения

Кубоиды в пространстве-времени Евклида и Минковского

Дополнительные геометрические соображения показывают, что сокращение длины можно рассматривать как тригонометрическое явление по аналогии с параллельными срезами кубоида до и после вращения в E. ³ (см. левую половину рисунка справа). Это евклидов аналог усиления кубоида в E. ^1,2 . Однако в последнем случае мы можем интерпретировать усиленный кубоид как мировую плиту движущейся плиты.

Изображение : Слева: повернутый кубоид в трехмерном евклидовом пространстве E. ³ . Поперечное сечение длиннее в направлении вращения , чем было до вращения. Справа: мировой пласт движущейся тонкой пластины в пространстве-времени Минковского (с подавлением одного пространственного измерения) E ^1,2 , который представляет собой усиленный кубоид . Поперечное сечение тоньше в направлении наддува , чем было до наддува. В обоих случаях поперечные направления не затрагиваются, а три плоскости, встречающиеся в каждом углу кубоидов, взаимно ортогональны (в смысле E ^1,2 справа, и в смысле E ³ слева).

В специальной теории относительности преобразования Пуанкаре представляют собой класс аффинных преобразований , которые можно охарактеризовать как преобразования между альтернативными декартовыми координатными картами в пространстве-времени Минковского, соответствующими альтернативным состояниям инерционного движения (и различному выбору начала координат ). Преобразования Лоренца — это преобразования Пуанкаре, которые являются линейными преобразованиями (сохраняют начало координат). Преобразования Лоренца играют в геометрии Минковского ту же роль ( группа Лоренца образует группу изотропии самоизометрий пространства-времени), которую играют вращения в евклидовой геометрии. Действительно, специальная теория относительности во многом сводится к изучению своего рода неевклидовой тригонометрии в пространстве-времени Минковского, как показано в следующей таблице:

Три плоские тригонометрии

Тригонометрия	Круговой	Параболический	гиперболический
Кляйнианская геометрия	Евклидова плоскость	Галилейский самолет	Самолет Минковского
Символ	И 2	И 0,1	И 1,1
Квадратичная форма	Положительно определенный	Выродиться	Невырожденный, но неопределенный
Группа изометрии	И (2)	Е (0,1)	И (1,1)
Группа изотропии	ТАК (2)	ТАК (0,1)	ТАК (1,1)
Тип изотропии	Ротации	Ножницы	Усиления
Алгебра над R	Комплексные числа	Двойные числа	Сплит-комплексные числа
е 2	−1	0	1
Интерпретация пространства-времени	Никто	Ньютоновское пространство-время	Пространство-время Минковского
Склон	загар φ = м	tanp φ = ты	tanh φ = v
"косинус"	потому что φ = (1 + m 2 ) −1/2	cosp φ = 1	шш φ = (1 − v 2 ) −1/2
"синус"	sin φ = m (1 + m 2 ) −1/2	синп φ = ты	sinh φ = v (1 − v 2 ) −1/2
"секанс"	сек φ = (1 + m 2 ) 1/2	секп φ = 1	sech φ = (1 − v 2 ) 1/2
"косеканс"	csc φ = м −1 (1 + м 2 ) 1/2	cscp φ = ты −1	csch φ = v −1 (1 − v 2 ) 1/2

Внешние ссылки

• Часто задаваемые вопросы по физике: можете ли вы увидеть сокращение Лоренца-Фицджеральда? Или: вращение Пенроуза-Террелла ; Сарай и столб