Ван Стокум пыль

В общей теории относительности пыль Ван Стокума представляет собой точное решение уравнений поля Эйнштейна , в которых гравитационное поле создается пылью , вращающейся вокруг оси цилиндрической симметрии. Поскольку плотность пыли увеличивается по мере удаления от этой оси, решение является довольно искусственным, но, как одно из простейших известных решений общей теории относительности, оно представляет собой педагогически важный пример.

Этот раствор назван в честь Виллема Якоба ван Стокума , который заново открыл его в 1938 году независимо от гораздо более раннего открытия Корнелиуса Ланцоша в 1924 году. В настоящее время рекомендуется называть этот раствор пылью Ланцоша-ван Стокума.

Вывод

Один из способов получения этого решения — поиск цилиндрически-симметричного решения идеальной жидкости , в котором жидкость демонстрирует жесткое вращение . То есть мы требуем, чтобы мировые линии частиц жидкости образовывали времениподобную конгруэнтность, имеющую ненулевую завихренность, но исчезающие расширение и сдвиг. (На самом деле, поскольку частицы пыли не испытывают никаких сил, это окажется времениподобным геодезическим соответствием, но нам не нужно будет предполагать это заранее.)

Простой анзац, соответствующий этому требованию, выражается следующим полем кадра , которое содержит две неопределенные функции $r$:

${\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=f(r)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=f(r)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }-h(r)\,\partial _{t}$

Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что взятие двойного кофрейма

$\sigma ^{0}=dt+h(r)r\,d\varphi ,\;\sigma ^{1}={\frac {1}{f(r)}}\,dz,\;\sigma ^{2}={\frac {1}{f(r)}}\,dr,\;\sigma ^{3}=rd\varphi$

дает метрический тензор через те же две неопределенные функции:

$g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}$

Умножение дает

$ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r\,dt\,d\varphi +(1-h(r)^{2})r^{2}\,d\varphi ^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{2}}{f(r)^{2}}}$

$-\infty <t,z<\infty ,\;0<r<\infty ,\;-\pi <\varphi <\pi$

Мы вычисляем тензор Эйнштейна относительно этой системы координат в терминах двух неопределенных функций: и потребуем, чтобы результат имел форму, подходящую для идеального жидкостного решения с времениподобным единичным вектором ${\vec {e}}_{0}$всюду по касательной к мировой линии частицы жидкости. То есть мы требуем, чтобы

$G^{{\hat {m}}{\hat {n}}}=8\pi \mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+8\pi p\operatorname {diag} (0,1,1,1)$

Это дает условия

$f^{\prime \prime }={\frac {(f^{\prime })^{2}}{f}}+{\frac {f^{\prime }}{r}},\;(h^{\prime })^{2}+{\frac {2h^{\prime }h}{r}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {4f^{\prime }}{rf}}$

Решение для $f$ а затем для $h$ дает желаемую структуру, определяющую решение Ван Стокума:

${\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-ar\,\partial _{t}$

Обратите внимание, что этот кадр определен только на $r>0$.

Свойства

Вычисление тензора Эйнштейна относительно нашей системы отсчета показывает, что на самом деле давление исчезает , поэтому мы имеем пылевое решение. Массовая плотность пыли оказывается

$\mu ={\frac {a^{2}}{2\pi }}\exp(a^{2}r^{2})$

К счастью, это конечно на оси симметрии $r=0$, но плотность увеличивается с радиусом, что, к сожалению, сильно ограничивает возможные астрофизические приложения.

Решение уравнений Киллинга показывает, что это пространство-время допускает трехмерную абелеву алгебру Ли векторных полей Киллинга , порожденную

${\vec {\xi }}_{1}=\partial _{t},\;{\vec {\xi }}_{2}=\partial _{z},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{\phi }$

Здесь, ${\vec {\xi }}_{1}$ имеет ненулевую завихренность, поэтому мы имеем стационарное пространство-время , инвариантное при переносе вдоль мировых линий пылевых частиц, а также при переносе вдоль оси цилиндрической симметрии и вращении вокруг этой оси.

Обратите внимание, что в отличие от решения с пылью Гёделя , в пыли Ван Стокума частицы пыли вращаются вокруг геометрически выделенной оси .

Как и было обещано, расширение и сдвиг времениподобной геодезической конгруэнтности ${\vec {e}}_{0}$ исчезает, но вектор завихренности равен

${\vec {\Omega }}=-a\exp(a^{2}r^{2}/2){\vec {e}}_{1}$

Это означает, что хотя на нашей движущейся карте мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные линии, на самом деле они закручиваются друг вокруг друга, когда пылевые частицы кружатся вокруг оси симметрии. Другими словами, если мы проследим за эволюцией небольшого пылевого комочка, мы обнаружим, что он вращается вокруг своей оси (параллельно $r=0$), но не сдвигается и не расширяется; последние свойства определяют, что мы подразумеваем под жестким вращением . Обратите внимание, что на самой оси величина вектора завихренности становится просто $a$.

Приливный тензор

$E_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=a^{2}\exp(a^{2}r^{2})\operatorname {diag} (0,1,1)$

который показывает, что наблюдатели, едущие на частицах пыли, испытывают изотропное приливное напряжение в плоскости вращения. Магнитогравитационный тензор

$B_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=-a^{3}\exp(a^{2}r^{2})\left[{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right]$

Очевидный парадокс

Рассмотрим мысленный эксперимент , в котором наблюдатель, едущий на частице пыли, сидящей на оси симметрии, смотрит на частицы пыли с положительной радиальной координатой. Видит ли он, что они вращаются , или нет?

Поскольку верхний массив нулевых геодезических получается простым переносом нижнего массива вверх, и поскольку все три мировые линии вертикальны (инвариантны относительно перемещения во времени ), может показаться, что ответ «нет». Однако, хотя приведенная выше система отсчета является инерциальной системой отсчета , вычисление ковариантных производных

$\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{1},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{2},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{3}$

показывает, что только первое исчезает тождественно. Другими словами, остальные пространственные векторы вращаются вокруг ${\vec {e}}_{1}$ (т.е. вокруг оси, параллельной оси цилиндрической симметрии этого пространства-времени).

Таким образом, чтобы получить невращающуюся инерциальную систему отсчета, нам нужно раскрутить исходную систему отсчета, вот так:

${\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0},\;{\vec {f}}_{1}={\vec {e}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}=\cos(\theta ){\vec {e}}_{2}+\sin(\theta ){\vec {e}}_{3},\;{\vec {f}}_{3}=-\sin(\theta ){\vec {e}}_{2}+\cos(\theta ){\vec {e}}_{3}$

где $\theta =tq(r)$где q — новая неопределенная функция от r. Подставив требование обращения в нуль ковариантных производных, получим

$\theta =at\exp(a^{2}r^{2}/2)$

На нашей сопутствующей координатной карте новая система координат кажется вращающейся, но на самом деле она гиростабилизирована. В частности, поскольку наш наблюдатель с зеленой мировой линией на рисунке предположительно летит на невращающейся пылевой частице (в противном случае спин-спиновые силы в динамике пыли были бы очевидны ), он фактически наблюдает вращающиеся близлежащие радиально разделенные пылевые частицы. по часовой стрелке вокруг своего местоположения с угловой скоростью а. Это объясняет физический смысл параметра, который мы нашли при более раннем выводе первого кадра.

( Педантичное примечание: внимательные читатели заметят, что мы проигнорировали тот факт, что ни одно из наших полей кадра не определено четко на оси. Однако мы можем определить кадр для наблюдателя на оси соответствующим односторонним пределом; это дает прерывистое поле кадра, но нам нужно определить кадр только вдоль мировой линии нашего наблюдателя на оси , чтобы продолжить мысленный эксперимент, рассматриваемый в этом разделе.)

Стоит отметить, что нулевая геодезическая спираль на рисунке выше направлена ​​внутрь. Это означает, что наш наблюдатель на оси видит другие частицы пыли в местах с задержкой во времени , что, конечно, именно то, что мы и ожидали. Тот факт, что нулевые геодезические кажутся «изогнутыми» на этой карте, конечно, является результатом нашего выбора сопутствующих координат, в которых мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные координатные линии.

Настоящий парадокс

Нарисуем световые конусы некоторых типичных событий в пыли Ван Стокума, чтобы увидеть, как их внешний вид (на нашей прилагаемой цилиндрической диаграмме) зависит от радиальной координаты:

Как на рисунке шоу, в $r=a^{-1}$, конусы касаются координатной плоскости $t=t_{0}$, и мы получаем замкнутую нулевую кривую (красный кружок). Обратите внимание, что это не нулевая геодезическая.

Двигаясь дальше наружу, мы видим, что горизонтальные круги большего радиуса представляют собой замкнутые времениподобные кривые . На парадоксальную природу этих ЦТК, по-видимому, впервые указал ван Стокум: наблюдатели, чьи мировые линии образуют замкнутую времяподобную кривую, очевидно, могут вновь посетить или повлиять на свое собственное прошлое. Хуже того, очевидно, ничто не мешает такому наблюдателю решить, скажем, в своей третьей жизни прекратить ускорение, что дало бы ему множество биографий.

Эти замкнутые времяподобные кривые не являются времяподобными геодезическими, поэтому этим парадоксальным наблюдателям приходится ускоряться , чтобы ощутить эти эффекты. Действительно, как и следовало ожидать, требуемое ускорение расходится по мере приближения этих времениподобных окружностей к нулевым окружностям, лежащим в критическом цилиндре. $r=a^{-1}$.

Замкнутые времяподобные кривые, как оказалось, существуют во многих других точных решениях общей теории относительности, и их общий вид является одним из наиболее тревожных теоретических возражений против этой теории. Однако очень немногие физики вообще отказываются использовать общую теорию относительности на основании таких возражений; скорее, большинство придерживается прагматической позиции, согласно которой использование общей теории относительности имеет смысл всякий раз, когда это может сойти с рук, из-за относительной простоты и хорошо зарекомендовавшей себя надежности этой теории во многих астрофизических ситуациях. Это мало чем отличается от того факта, что многие физики используют механику Ньютона каждый день, хотя они хорошо понимают, что кинематика Галилея была «ниспровергнута» релятивистской кинематикой.

См. также

• Раствор для пыли
• Раствор для пыли Gödel

Ссылки

• Ланцос, Корнелиус (1924). «О стационарной космологии в смысле теории гравитации Эйнштейна». Журнал по физике . 21 (1): 73–110. Бибкод : 1924ZPhy...21...73L . дои : 10.1007/BF01328251 . S2CID   122902359 . Статья Ланцоша объявляет о первом открытии этого решения.
• ван Стокум, Виллем Джейкоб (1937). «Гравитационное поле распределения частиц, вращающихся вокруг оси симметрии». Учеб. Р. Сок. Эдинбург А. 57 : 135. Статья Ван Стокума, в которой сообщается о его повторном открытии этого решения.