Задача двух тел в общей теории относительности

Не путать с гравитационной задачей двух тел или проблемой Кеплера .

Задача двух тел в общей теории относительности (или релятивистская проблема двух тел ) — это определение движения и гравитационного поля двух тел, описываемых уравнениями поля общей теории относительности . Решение задачи Кеплера необходимо для расчета отклонения света под действием силы тяжести и движения планеты, вращающейся вокруг своего Солнца. Решения также используются для описания движения двойных звезд друг вокруг друга и оценки их постепенной потери энергии из-за гравитационного излучения .

Общая теория относительности описывает гравитационное поле искривленным пространством-временем; уравнения поля, управляющие этой кривизной , нелинейны и поэтому их трудно решить в замкнутой форме . Точных решений задачи Кеплера не найдено, но есть приближенное решение: решение Шварцшильда . Это решение применимо, когда масса M одного тела значительно превышает массу m другого. Если это так, то большую массу можно считать стационарной и единственной, вносящей вклад в гравитационное поле. Это хорошее приближение для фотона, проходящего мимо звезды, и для планеты, вращающейся вокруг своего Солнца. Затем движение более легкого тела (ниже называемого «частицей») можно определить из решения Шварцшильда; движение представляет собой геодезическую («кратчайший путь между двумя точками») в искривленном пространстве-времени. Такие геодезические решения объясняют аномальную прецессию планеты Меркурий , что является ключевым доказательством в поддержку общей теории относительности. Они также описывают искривление света в гравитационном поле, еще одно предсказание. широко используется в качестве доказательства общей теории относительности.

Если считать, что обе массы вносят вклад в гравитационное поле, как в двойных звездах, проблему Кеплера можно решить только приближенно. Самым ранним разработанным методом приближения было постньютоновское расширение — итерационный метод, в котором первоначальное решение постепенно корректируется. Совсем недавно стало возможным решать уравнение поля Эйнштейна с помощью компьютера. вместо математических формул. Когда два тела вращаются вокруг друг друга, они будут излучать гравитационное излучение ; это заставляет их постепенно терять энергию и угловой момент, как показано на примере двойного пульсара PSR B1913+16 .

Для двойных черных дыр численное решение проблемы двух тел было достигнуто после четырех десятилетий исследований в 2005 году, когда три группы разработали революционные методы.

Исторический контекст

Классическая задача Кеплера

См. также: Законы движения планет Кеплера , Закон всемирного тяготения Ньютона и Задача двух тел.

Типичная эллиптическая траектория движения меньшей массы m по орбите гораздо большей массы M. Рисунок 1. Большая масса также движется по эллиптической орбите, но она слишком мала, чтобы ее можно было увидеть, поскольку M намного больше m . Концы диаметра обозначают апсиды , точки ближайшего и самого дальнего расстояния.

Проблема Кеплера получила свое название от Иоганна Кеплера , который работал помощником датского астронома Тихо Браге . Браге провел необычайно точные измерения движения планет Солнечной системы. На основе этих измерений Кеплер смог сформулировать законы Кеплера — первое современное описание движения планет:

1. Орбита , каждой планеты представляет собой эллипс которого находится Солнце в одном из двух фокусов .
2. Линия , соединяющая планету и Солнце, охватывает равные площади . за равные промежутки времени
3. Квадрат . планеты периода обращения прямо кубу большой полуоси ее пропорционален орбиты

Кеплер опубликовал первые два закона в 1609 году, а третий закон — в 1619 году. Они вытеснили более ранние модели Солнечной системы, такие как модели Птолемея и Коперника . Законы Кеплера применимы только в ограниченном случае задачи двух тел. Вольтер и Эмили дю Шатле были первыми, кто назвал их «законами Кеплера».

Почти столетие спустя Исаак Ньютон сформулировал три закона движения . В частности, второй закон Ньютона гласит, что сила F, приложенная к массе m, создает ускорение a, заданное уравнением F = ma . Затем Ньютон задал вопрос: какова должна быть сила, создающая эллиптические орбиты, наблюдаемые Кеплером? Его ответ пришел в законе всемирного тяготения , который гласит, что сила между массой M и другой массой m определяется формулой

$$F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},$$

где r — расстояние между массами, а G — гравитационная постоянная . Учитывая этот закон силы и свои уравнения движения, Ньютон смог показать, что каждая из двух точечных масс, притягивающих друг друга, будет двигаться по идеально эллиптическим орбитам. Соотношение размеров этих эллипсов m / M , при этом большая масса движется по меньшему эллипсу. Если M намного больше m , то большая масса будет казаться неподвижной в фокусе эллиптической орбиты более легкой массы m . Эту модель можно приблизительно применить к Солнечной системе. Поскольку масса Солнца намного больше массы планет, сила, действующая на каждую планету, в основном обусловлена ​​Солнцем; гравитацией планет друг для друга можно в первом приближении пренебречь.

прецессия

См. Также: Апсидальная прецессия и вектор Лапласа – Рунге – Ленца.

В отсутствие каких-либо других сил частица, вращающаяся вокруг другой под действием ньютоновской гравитации, вечно движется по одному и тому же идеальному эллипсу . Наличие других сил (например, гравитации других планет) заставляет этот эллипс постепенно вращаться. Скорость этого вращения (так называемую орбитальную прецессию) можно измерить очень точно. Скорость также можно предсказать, зная величины и направления других сил. Однако предсказания ньютоновской гравитации не соответствуют наблюдениям, обнаруженным в 1859 году на основе наблюдений Меркурия.

Если потенциальная энергия между двумя телами не совсем равна 1/ r- потенциалу закона гравитации Ньютона, а отличается лишь незначительно, то эллипс орбиты постепенно вращается (среди других возможных эффектов). Эта апсидальная прецессия наблюдается у всех планет, вращающихся вокруг Солнца, прежде всего из-за сжатия Солнца (оно не является идеально сферическим) и притяжения других планет друг к другу. Апсиды - это две точки ближайшего и самого дальнего расстояния орбиты (периапсис и апоапсис соответственно); апсидальная прецессия соответствует повороту линии, соединяющей апсиды. Это также соответствует вращению вектора Лапласа–Рунге–Ленца , направленного вдоль линии апсид.

Закон тяготения Ньютона вскоре стал общепринятым, поскольку он очень точно предсказал движение всех планет. Эти расчеты были первоначально выполнены Пьером-Симоном Лапласом в конце 18 века и уточнены Феликсом Тиссераном в конце 19 века. И наоборот, если бы закон гравитации Ньютона не предсказывал точно апсидальную прецессию планет, от него пришлось бы отказаться как от теории гравитации. Такая аномальная прецессия наблюдалась во второй половине XIX века.

Аномальная прецессия Меркурия

Смотрите также: Тесты общей теории относительности.

В 1859 году Урбен Леверье обнаружил, что прецессия орбиты планеты Меркурий не совсем такая, какой должна быть; эллипс ее орбиты вращался (прецессировал) немного быстрее, чем предсказывалось традиционной теорией ньютоновской гравитации, даже после того, как были учтены все эффекты других планет. Эффект невелик (примерно 43 угловых секунды вращения за столетие), но значительно превышает ошибку измерения (примерно 0,1 угловой секунды за столетие). Леверье сразу осознал важность своего открытия и призвал астрономов и физиков объяснить его. Было предложено несколько классических объяснений, таких как межпланетная пыль, ненаблюдаемое сжатие Солнца , необнаруженный спутник Меркурия или новая планета под названием Вулкан . После того, как эти объяснения были проигнорированы, некоторые физики пришли к более радикальной гипотезе о том, что гравитации Ньютона закон обратных квадратов неверен. Например, некоторые физики предложили степенной закон с показателем степени , немного отличающимся от 2.

Другие утверждали, что закон Ньютона следует дополнить потенциалом, зависящим от скорости. Однако это подразумевало конфликт с ньютоновской небесной динамикой. В своем трактате по небесной механике Лаплас показал, что если гравитационное воздействие не действует мгновенно, то движения самих планет не будут точно сохранять импульс (и, следовательно, некоторая часть импульса должна быть приписана посреднику гравитационного взаимодействия). взаимодействие, аналогично приписыванию импульса посреднику электромагнитного взаимодействия.) Как видно с точки зрения Ньютона, если гравитационное воздействие действительно распространяется с конечной скоростью, то в любой момент времени планета притягивается к точке, где Солнце было некоторое время назад и не в направлении мгновенного положения Солнца. Опираясь на классические основы, Лаплас показал, что если гравитация будет распространяться со скоростью порядка скорости света, то Солнечная система будет нестабильной и не будет существовать в течение длительного времени. Наблюдение того, что Солнечная система достаточно стара, позволило ему установить нижний предел скорость гравитации , которая оказалась на много порядков выше скорости света.

Оценка Лапласа скорости гравитации неверна в теории поля, соблюдающей принцип относительности. Поскольку электрическое и магнитное поля объединяются, притяжение точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью, направлено к экстраполированному мгновенному положению, а не к кажущемуся положению, которое он, кажется, занимает, если на него смотреть. Чтобы избежать этих проблем, между 1870 и 1900 годами многие ученые использовали электродинамические законы Вильгельма Эдуарда Вебера , Карла Фридриха Гаусса , Бернхарда Римана для создания стабильных орбит и объяснения смещения перигелия орбиты Меркурия. В 1890 году Морис Леви преуспел в этом, объединив законы Вебера и Римана, согласно которым скорость гравитации равна скорости света в его теории . А в другой попытке Паулю Герберу (1898) даже удалось вывести правильную формулу смещения перигелия (которая была идентична той формуле, которую позже использовал Эйнштейн). Однако, поскольку основные законы Вебера и других были неверны (например, закон Вебера был заменен теорией Максвелла), эти гипотезы были отвергнуты. Другая попытка Хендрика Лоренца (1900), который уже использовал теорию Максвелла, привела к слишком малому сдвигу перигелия.

Общая теория относительности Эйнштейна

См. Также: Введение в общую теорию относительности и Общая теория относительности.

Измерения Эддингтона в 1919 году отклонения звездного света Солнца гравитацией во привели к признанию общей теории относительности всем мире.

Около 1904–1905 годов работы Хендрика Лоренца , Анри Пуанкаре и, наконец, Альберта Эйнштейна исключают специальная теория относительности возможность распространения каких-либо эффектов со скоростью, превышающей скорость света . Из этого следовало, что закон тяготения Ньютона должен быть заменен другим законом, совместимым с принципом относительности, но при этом сохраняющим ньютоновский предел для обстоятельств, когда релятивистские эффекты пренебрежимо малы. Такие попытки предприняли Анри Пуанкаре (1905 г.), Герман Минковский (1907 г.) и Арнольд Зоммерфельд (1910 г.). В 1907 году Эйнштейн пришел к выводу, что для достижения этой цели необходим преемник специальной теории относительности. С 1907 по 1915 год Эйнштейн работал над новой теорией, используя свой принцип эквивалентности в качестве ключевой концепции, направляющей свой путь. Согласно этому принципу, однородное гравитационное поле одинаково действует на все, что находится внутри него, и поэтому не может быть обнаружено свободно падающим наблюдателем. И наоборот, все локальные гравитационные эффекты должны быть воспроизводимы в линейно ускоряющейся системе отсчета, и наоборот. Таким образом, гравитация действует как фиктивная сила, такая как центробежная сила или сила Кориолиса , которые возникают в результате нахождения в ускоренной системе отсчета; все фиктивные силы пропорциональны инерционной массе , как и гравитация. Чтобы добиться примирения гравитации и специальной теории относительности и включить принцип эквивалентности, пришлось чем-то пожертвовать; этим нечто было давнее классическое предположение о том, что наше пространство подчиняется законам евклидовой геометрии , например, что Теорема Пифагора верна экспериментально. Эйнштейн использовал более общую геометрию, псевдориманову геометрию , чтобы учесть искривление пространства и времени, необходимое для примирения; после восьми лет работы (1907–1915) ему удалось обнаружить точный способ искривления пространства-времени , чтобы воспроизвести физические законы, наблюдаемые в природе, особенно гравитацию. Гравитация отличается от фиктивных сил, центробежной силы и силы Кориолиса, в том смысле, что искривление пространства-времени считается физически реальным, тогда как фиктивные силы не считаются силами. Уже первые решения его уравнений поля объяснили аномальную прецессию Меркурия и предсказали необычное искривление света, что подтвердилось после публикации его теории. Эти решения описаны ниже.

Общая теория относительности, специальная теория относительности и геометрия

В обычной евклидовой геометрии треугольники подчиняются теореме Пифагора , которая утверждает, что квадрат расстояния ds ² между двумя точками пространства есть сумма квадратов его перпендикулярных составляющих.

$$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$$

где dx , dy и dz представляют собой бесконечно малые различия между координатами x , y и z двух точек в декартовой системе координат . Теперь представьте себе мир, в котором это не совсем так; мир, где расстояние вместо этого определяется

$$ds^{2}=F(x,y,z)\,dx^{2}+G(x,y,z)\,dy^{2}+H(x,y,z)\,dz^{2}$$

где F , G и H — произвольные функции положения. Нетрудно представить себе такой мир; мы живем на одном. Поверхность земли искривлена, поэтому невозможно составить идеально точную плоскую карту земли. Недекартовы системы координат хорошо это иллюстрируют; например, в сферических координатах ( r , θ , φ ) евклидово расстояние можно записать

$$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$$

Другой иллюстрацией может служить мир, в котором линейки, используемые для измерения длины, были ненадежными, линейки, которые меняли свою длину в зависимости от своего положения и даже ориентации. В самом общем случае необходимо учитывать перекрестные члены при вычислении расстояния ds

$$ds^{2}=g_{xx}\,dx^{2}+g_{xy}\,dx\,dy+g_{xz}\,dx\,dz+\cdots +g_{zy}\,dz\,dy+g_{zz}\,dz^{2}$$

девять функций gxx _gzz , gxy _где ,..., составляют _, метрический тензор определяющий геометрию пространства в римановой геометрии . В приведенном выше примере со сферическими координатами перекрестных членов нет; единственными ненулевыми компонентами метрического тензора являются g _rr = 1, g _θθ = r ² и g _φφ = r ² грех ² я.

В своей специальной теории относительности показал Альберт Эйнштейн , что расстояние ds между двумя точками пространства не является постоянным, а зависит от движения наблюдателя. Однако существует мера разделения между двумя точками пространства-времени , называемая «собственным временем» и обозначаемая символом dτ, которая является инвариантной; другими словами, оно не зависит от движения наблюдателя.

$$c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$$

что можно записать в сферических координатах как

$$c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$$

Эта формула является естественным продолжением теоремы Пифагора и, аналогично, справедлива только тогда, когда пространство-время не искривлено. Однако в общей теории относительности пространство и время могут иметь кривизну, поэтому эту формулу расстояния необходимо изменить, придав ей более общую форму.

$$c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }$$

точно так же, как мы обобщили формулу для измерения расстояний на поверхности Земли. Точная форма метрики g _µν зависит от гравитирующей массы, импульса и энергии, как это описывается уравнениями поля Эйнштейна . Эйнштейн разработал эти уравнения поля, чтобы они соответствовали известным тогда законам природы; однако они предсказали ранее невиданные явления (такие как искривление света под действием силы тяжести), которые были подтверждены позже.

Геодезическое уравнение

См. также: геодезические Шварцшильда , геодезические и символы Кристоффеля.

Согласно общей теории относительности Эйнштейна, частицы незначительной массы перемещаются по геодезическим линиям в пространстве-времени. В неискривленном пространстве-времени, вдали от источника гравитации, эти геодезические соответствуют прямым линиям; однако они могут отклоняться от прямых линий, когда пространство-время искривлено. Уравнение геодезических линий имеет вид

$${\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0$$

где Γ представляет символ Кристоффеля , а переменная q параметризует путь частицы в пространстве-времени , ее так называемую мировую линию . Символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора g _µν , точнее, от того, как он меняется с положением. Переменная q является постоянной кратной собственному времени τ для времениподобных орбит (по которым перемещаются массивные частицы) и обычно считается равной ей. Для светоподобных (или нулевых) орбит (по которым перемещаются безмассовые частицы, такие как фотон ) собственное время равно нулю и, строго говоря, не может использоваться в качестве переменной q . Тем не менее, светоподобные орбиты можно вывести как ультрарелятивистский предел времениподобных орбит, то есть предел, при котором масса частицы m стремится к нулю при фиксированной ее полной энергии .

Решение Шварцшильда

Основная статья: Шварцшильдовская геодезия

Точным решением уравнений поля Эйнштейна является метрика Шварцшильда , соответствующая внешнему гравитационному полю стационарного, незаряженного, невращающегося сферически-симметричного тела M. массы Он характеризуется масштабом длины r _s , известным как радиус Шварцшильда , который определяется по формуле

$$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$$

где G — гравитационная постоянная . Классическая ньютоновская теория гравитации восстанавливается в пределе, когда отношение r _s / r стремится к нулю. В этом пределе метрика возвращается к метрике, определенной специальной теорией относительности .

На практике это соотношение почти всегда крайне мало. Например, радиус Шварцшильда r _s Земли составляет примерно 9 мм ( 3/8 ​ ;   дюйма ) на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну миллиардную часть. Радиус Шварцшильда Солнца гораздо больше, примерно 2953 метра, но на его поверхности отношение r _s / r составляет примерно 4 части на миллион. Белый карлик гораздо плотнее, но даже здесь это соотношение на его поверхности составляет примерно 250 частей на миллион. Это соотношение становится большим только вблизи сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды (где соотношение составляет примерно 50%) и черные дыры .

Орбиты вокруг центральной массы

Сравнение орбиты пробной частицы в ньютоновском (слева) и шварцшильдовском (справа) пространстве-времени. Пожалуйста, нажмите, чтобы увидеть анимированную графику в высоком разрешении.

Орбиты пробной частицы бесконечно малой массы $m$ о центральной массе $M$ задается уравнением движения

$$\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).$$

где $h$ – удельный относительный угловой момент , ${\textstyle h=r\times v={L \over \mu }}$ и $\mu$ это приведенная масса . Это можно преобразовать в уравнение орбиты

$$\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right),$$

где для краткости две шкалы длин, ${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$ и ${\textstyle b={\frac {Lc}{E}}}$, были представлены. Они являются константами движения и зависят от начальных условий (положения и скорости) пробной частицы. Следовательно, решение уравнения орбиты есть

$$\varphi =\int {\frac {1}{r^{2}}}\left[{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]^{-1/2}\,dr.$$

радиальная

Уравнение движения частицы, полученное выше

$$\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {h^{2}}{r^{2}}}+{\frac {r_{s}h^{2}}{r^{3}}}$$

можно переписать, используя определение радиуса Шварцшильда r _s, как

$${\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}$$

что эквивалентно движению частицы в одномерном эффективном потенциале

$$V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}$$

Первые два члена представляют собой хорошо известные классические энергии, первый из которых представляет собой притягивающую ньютоновскую гравитационную потенциальную энергию , а второй соответствует отталкивающей «центробежной» потенциальной энергии ; однако третий член представляет собой энергию притяжения, уникальную для общей теории относительности . Как показано ниже и в других местах , эта обратно-кубическая энергия заставляет эллиптические орбиты постепенно прецессировать на угол δφ за оборот.

$$\delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}$$

где A — большая полуось, а e — эксцентриситет. Здесь δφ — это не изменение φ -координаты в координатах ( t , r , θ , φ ), а изменение аргумента периапсиса классической замкнутой орбиты.

Третий член является притягивающим и доминирует при малых значениях r , давая критический внутренний радиус rinner _{, при} котором частица неумолимо втягивается внутрь до r = 0; этот внутренний радиус является функцией углового момента частицы на единицу массы или, что то же самое, масштаба длины , определенного выше.

Круговые орбиты и их устойчивость

Эффективный радиальный потенциал для различных угловых моментов. При малых радиусах энергия резко падает, заставляя частицу неумолимо втягиваться внутрь до r = 0. Однако, когда нормированный угловой момент a / r _s = L / mcr _s равен квадратному корню из трех, метастабильная круговая орбита возможно в радиусе, выделенном зеленым кружком. При более высоких угловых моментах существует значительный центробежный барьер (оранжевая кривая) и нестабильный внутренний радиус, выделенный красным.

Эффективный потенциал V можно переписать через длину a = h / c :

$$V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right].$$

Круговые орбиты возможны, когда эффективная сила равна нулю:

$$F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0;$$

т.е. когда две силы притяжения — ньютоновская гравитация (первый член) и притяжение, уникальное для общей теории относительности (третий член), — точно уравновешиваются отталкивающей центробежной силой (второй член). Существует два радиуса, при которых может происходить такая балансировка, обозначенных здесь как r _{внутренний} и r _{внешний} :

$${\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\r_{\mathrm {inner} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}},\end{aligned}}$$

которые получаются по квадратичной формуле . Внутренний радиус rinner _{нестабилен} , потому что третья сила притяжения усиливается гораздо быстрее, чем две другие силы, когда r становится малым; если частица слегка соскальзывает внутрь от r _{внутреннего} (где все три силы находятся в равновесии), третья сила доминирует над двумя другими и неумолимо тянет частицу внутрь до r = 0. Однако на внешнем радиусе круговые орбиты стабильны; третий член менее важен, и система ведет себя больше как нерелятивистская проблема Кеплера .

Когда a много больше r _s (классический случай), эти формулы приблизительно принимают вид

$${\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}\\r_{\mathrm {inner} }&\approx {\frac {3}{2}}r_{s}\end{aligned}}$$

Стабильный и нестабильный радиусы показаны в зависимости от нормированного углового момента a / r _s = L / mcr _s синим и красным цветом соответственно. Эти кривые встречаются на уникальной круговой орбите (зеленый кружок), когда нормированный угловой момент равен квадратному корню из трех. Для сравнения классический радиус, предсказанный на основе центростремительного ускорения и закона гравитации Ньютона, показан черным цветом.

Подстановка определений a и r _s в r _external дает классическую формулу для частицы массы m, вращающейся вокруг тела массы M .

Следующее уравнение

$$r_{\text{outer}}^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}$$

где ω _φ — орбитальная угловая скорость частицы, получается в нерелятивистской механике, устанавливая центробежную силу равной ньютоновской силе гравитации:

$${\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r$$

где $\mu$ это приведенная масса .

В наших обозначениях классическая орбитальная угловая скорость равна

$$\omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}$$

Другая крайность, когда ² подходы 3 р _с ² сверху два радиуса сходятся к одному значению

$$r_{\text{outer}}\approx r_{\text{inner}}\approx 3r_{s}$$

Квадратичные решения, приведенные выше, гарантируют, что r _external всегда больше 3 r _s , тогда как r _inner находится между 3 ⁄ 2   р _​ 3 р _. и Круговые орбиты меньше 3 ⁄ 2   р _. невозможны Для безмассовых частиц а стремится к бесконечности, подразумевая, что существует круговая орбита для фотонов при r _{внутренний} = 3 ⁄ 2   р _с . Сферу этого радиуса иногда называют фотонной сферой .

Прецессия эллиптических орбит

В нерелятивистской задаче Кеплера частица вечно движется по одному и тому же идеальному эллипсу (красной орбите). Общая теория относительности вводит третью силу, которая притягивает частицу немного сильнее, чем ньютоновская гравитация, особенно при малых радиусах. Эта третья сила заставляет эллиптическую орбиту частицы прецессировать ( голубая орбита) в направлении ее вращения; этот эффект был измерен на Меркурии , Венере и Земле. Желтая точка внутри орбит представляет центр притяжения, например Солнце .

Скорость орбитальной прецессии может быть получена с использованием этого радиального эффективного потенциала V . Небольшое радиальное отклонение от круговой орбиты радиуса r _{внешнего} будет стабильно колебаться с угловой частотой

$$\omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\text{outer}}}$$

что равно

$$\omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\text{outer}}^{4}}}\right)\left(r_{\text{outer}}-r_{\text{inner}}\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}$$

Извлечение квадратного корня из обеих частей и разложение с помощью биномиальной теоремы дает формулу

$$\omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)$$

Умножение на период Т одного оборота дает прецессию орбиты за один оборот.

$$\delta \varphi =T(\omega _{\varphi }-\omega _{r})\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}$$

где мы использовали ω _φ T = 2 π и определение масштаба a . Подстановка определения радиуса Шварцшильда r _s дает

$$\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}$$

Это можно упростить, используя большую полуось A эллиптической орбиты и эксцентриситет e, связанные формулой

$${\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)$$

чтобы задать угол прецессии

$$\delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}$$

Поскольку замкнутая классическая орбита, вообще говоря, является эллипсом, величина A (1 − e ² ) — полуширокая прямая кишка l эллипса.

Следовательно, окончательная формула угловой прецессии апсид для единичного полного оборота:

$$\delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}l}}$$

решения

Схема пространства параметров компактных двойных систем с различными схемами аппроксимации и областями их применимости.

Постньютоновское

Смотрите также: Постньютоновское расширение и параметризованный постньютоновский формализм.

В решении Шварцшильда предполагается, что большая масса M стационарна и одна определяет гравитационное поле (т. е. геометрию пространства-времени), и, следовательно, меньшая масса m следует по геодезическому пути через это фиксированное пространство-время. . Это разумное приближение для фотонов и орбиты Меркурия, который примерно в 6 миллионов раз легче Солнца. Однако этого недостаточно для двойных звезд , массы которых могут быть одинаковой величины.

Метрика для случая двух сравнимых масс не может быть решена в замкнутой форме, поэтому приходится прибегать к таким методам аппроксимации, как постньютоновское приближение или численные аппроксимации. Попутно упомянем одно конкретное исключение в нижних измерениях ( R = T см. в модели подробности ). В измерениях (1+1), т.е. пространстве, состоящем из одного пространственного измерения и одного временного измерения, метрика для двух тел равных масс может быть решена аналитически в терминах W-функции Ламберта . Однако обмен гравитационной энергией между двумя телами осуществляется через дилатоны, а не через гравитоны , которым для распространения требуется трехпространство.

Постньютоновское расширение — это вычислительный метод, который обеспечивает ряд все более точных решений данной проблемы. Метод является итеративным; исходное решение движения частиц используется для расчета гравитационных полей; на основе этих производных полей можно рассчитать новые движения частиц, на основе которых можно вычислить еще более точные оценки полей и так далее. Этот подход называется «постньютоновским», поскольку в качестве начального решения часто используется ньютоновское решение для орбит частиц.

Теорию можно разделить на две части: сначала находится эффективный потенциал двух тел , который учитывает поправки ОТО к ньютоновскому потенциалу. Во-вторых, следует решить полученные уравнения движения.

Современные вычислительные подходы

Смотрите также: Численная относительность

Уравнения Эйнштейна также можно решать на компьютере, используя сложные численные методы. При достаточной мощности компьютера такие решения могут быть более точными, чем постньютоновские решения. Однако такие расчеты сложны, поскольку уравнения обычно должны решаться в четырехмерном пространстве. Тем не менее, начиная с конца 1990-х годов, стало возможным решать такие сложные проблемы, как слияние двух черных дыр, которое представляет собой очень сложную версию проблемы Кеплера в общей теории относительности.

Гравитационное излучение

Смотрите также: Гравитационное излучение

Если нет приходящего гравитационного излучения, согласно общей теории относительности , два тела, вращающиеся вокруг друг друга, будут излучать гравитационное излучение , в результате чего орбиты постепенно теряют энергию.

формулы, описывающие потерю энергии и углового момента из-за гравитационного излучения двух тел задачи Кеплера. Рассчитаны Скорость потери энергии (усредненная по полной орбите) определяется выражением

$$-\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)$$

где e - эксцентриситет орбиты а a - большая полуось эллиптической , орбиты. Угловые скобки в левой части уравнения представляют собой усреднение по одной орбите. Аналогично, средняя скорость потери углового момента равна

$$-\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)$$

Скорость уменьшения периода определяется выражением

$$-\left\langle {\frac {dP_{b}}{dt}}\right\rangle ={\frac {192\pi G^{5/3}m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)\left({\frac {P_{b}}{2\pi }}\right)^{-{5/3}}$$

где P _b – орбитальный период.

Потери энергии и момента импульса существенно возрастают по мере приближения эксцентриситета к единице, т. е. по мере того, как эллипс орбиты становится все более вытянутым. Потери излучения также существенно возрастают с уменьшением размера а орбиты.

• 
  Экспериментально наблюдаемые изменения времени периастра двойного пульсара PSR B1913+16 соответствуют изменению, обусловленному уменьшением орбитального периода, предсказанному общей теорией относительности (синяя кривая). (красные точки) почти точно
• 
  Две нейтронные звезды, быстро вращающиеся вокруг друг друга, постепенно теряют энергию, испуская гравитационное излучение. По мере того, как они теряют энергию, они вращаются вокруг друг друга быстрее и ближе друг к другу.

См. также

• Уравнение Бине
• Центр масс (релятивистский)
• Гравитационная задача двух тел
• проблема Кеплера
• Теорема Ньютона о вращающихся орбитах
• Шварцшильдовская геодезия

Библиография

• Адлер, Р; Базин М; Шиффер М. (1965). Введение в общую теорию относительности . Нью-Йорк: Книжная компания McGraw-Hill. стр. 177–193 . ISBN  978-0-07-000420-7 .
• Эйнштейн, А (1956). Значение теории относительности (5-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 92–97 . ISBN  978-0-691-02352-6 .
• Хагихара, Ю (1931). «Теория релятивистских траекторий в гравитационном поле Шварцшильда». Японский журнал астрономии и геофизики . 8 : 67–176. Бибкод : 1931АОТок..31...67Н . ISSN   0368-346X .
• Копейкин, Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (25 октября 2011 г.). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-3-527-63457-6 .
• Ланчос, К. (1986). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 330–338. ISBN  978-0-486-65067-8 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (переработанное 4-е изд. на английском языке). Нью-Йорк: Пергамон Пресс. стр. 299–309. ISBN  978-0-08-018176-9 .
• Миснер, CW ; Торн, К ; Уилер, Дж. А. (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. стр. Глава 25 (стр. 636–687), §33.5 (стр. 897–901) и §40.5 (стр. 1110–1116). ISBN  978-0-7167-0344-0 . (См. «Гравитация» (книга) .)
• Паис, А. (1982). Тонок Господь: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Издательство Оксфордского университета. стр. 253–256 . ISBN  0-19-520438-7 .
• Паули, В. (1958). Теория относительности . Перевод Г. Филда. Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 40–41, 166–169. ISBN  978-0-486-64152-2 .
• Риндлер, В. (1977). Основная теория относительности: специальная, общая и космологическая (переработанное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 143–149. ISBN  978-0-387-10090-6 .
• Роузвир, Северная Каролина (1982). Перигелий Меркурия от Леверье до Эйнштейна . Оксфорд: Университетское издательство. ISBN  0-19-858174-2 .
• Синг, Дж. Л. (1960). Теория относительности: Общая теория . Амстердам: Издательство Северной Голландии. стр. 289–298. ISBN  978-0-7204-0066-3 .
• Уолд, Р.М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 136–146 . ISBN  978-0-226-87032-8 .
• Уолтер, С. (2007). «Прорыв в 4-векторы: четырехмерное движение в гравитации, 1905–1910» . В Ренне, Дж. (ред.). Генезис общей теории относительности . Том. 3. Берлин: Шпрингер. стр. 193–252. Архивировано из оригинала 30 января 2009 г. Проверено 26 июля 2008 г.
• Вайнберг, С. (1972). Гравитация и космология . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 185–201 . ISBN  978-0-471-92567-5 .
• Уиттакер, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 389–393 . ISBN  978-1-114-28944-4 .

Внешние ссылки

• Анимация, показывающая релятивистскую прецессию звезд вокруг сверхмассивной черной дыры Млечного Пути.
• Отрывок из «Размышления об относительности» . книги Кевина Брауна