Удельный угловой момент
В небесной механике удельный относительный угловой момент (часто обозначаемый или ) тела — это момент импульса этого тела, деленный на его массу. [1] В случае двух вращающихся тел это векторное произведение их относительного положения и относительного линейного момента , деленное на массу рассматриваемого тела.
Удельный относительный угловой момент играет решающую роль в анализе задачи двух тел , поскольку он остается постоянным для данной орбиты в идеальных условиях. « Специфический » в этом контексте означает угловой момент на единицу массы. Единицей измерения удельного относительного углового момента в системе СИ является квадратный метр в секунду.
Определение
[ редактировать ]Удельный относительный угловой момент определяется как векторное произведение вектора относительного положения. и вектор относительной скорости .
где вектор углового момента, определяемый как .
The Вектор всегда перпендикулярен мгновенной соприкасающейся орбитальной плоскости , которая совпадает с мгновенной возмущенной орбитой . Он не обязательно перпендикулярен средней орбитальной плоскости с течением времени.
Доказательство постоянства в случае двух тел
[ редактировать ]
При определенных условиях можно доказать, что удельный момент импульса постоянен. Условиями такого доказательства являются:
- Масса одного объекта намного больше массы другого. ( )
- Система координат инерциальная .
- Каждый объект можно рассматривать как сферически симметричную точечную массу .
- На систему не действуют никакие другие силы, кроме силы гравитации, соединяющей два тела.
Доказательство
[ редактировать ]Доказательство начинается с уравнения движения двух тел , полученного из закона всемирного тяготения Ньютона :
где:
- вектор положения из к со скалярной величиной .
- является второй производной по времени от . ( ускорение )
- — гравитационная постоянная .
Перекрестное произведение вектора положения с уравнением движения:
Потому что второй член исчезает:
Также можно сделать вывод, что:
Объединение этих двух уравнений дает:
Поскольку производная по времени равна нулю, величина является постоянным. Использование вектора скорости вместо скорости изменения положения, и для удельного углового момента: является постоянным.
Это отличается от обычного построения импульса, , поскольку оно не включает массу рассматриваемого объекта.
Законы движения планет Кеплера
[ редактировать ]Законы движения планет Кеплера можно доказать почти напрямую с помощью приведенных выше соотношений.
Первый закон
[ редактировать ]Доказательство снова начинается с уравнения задачи двух тел. На этот раз векторное произведение умножается на конкретный относительный угловой момент.
Левая часть равна производной потому что угловой момент постоянен.
После некоторых шагов (включая использование векторного тройного произведения и определение скаляра быть лучевой скоростью , в отличие от нормы вектора ) правая часть становится:
Приравнивание этих двух выражений и интегрирование по времени приводит к (с константой интегрирования )
Теперь это уравнение умножается ( скалярное произведение ) на и переставил
Наконец, получаем уравнение орбиты [1]
что представляет собой уравнение конического сечения в полярных координатах с полурасширенной прямой кишкой и эксцентричность .
Второй закон
[ редактировать ]Второй закон мгновенно следует из второго из трех уравнений для расчета абсолютного значения удельного относительного углового момента. [1]
Если соединить эту форму уравнения с отношениями для площади сектора с бесконечно малым углом (треугольник с одной очень маленькой стороной), уравнение
Третий закон
[ редактировать ]Третий закон Кеплера является прямым следствием второго закона. Интегрирование по одному обороту дает орбитальный период. [1]
для района эллипса. Заменив малую полуось на и удельный относительный угловой момент с каждый получает
Таким образом, существует связь между большой полуосью и периодом обращения спутника, которую можно свести к константе центрального тела.
См. также
[ редактировать ]- Удельная орбитальная энергия — еще одна сохраняющаяся величина в задаче двух тел.
- Классическая задача центральной силы § Удельный угловой момент
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложения (2-е изд.). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 20–30. ISBN 0-7923-6903-3 .