Настоящая аномалия

Истинная аномалия точки P — это угол f . Центр эллипса — точка , а фокус — точка F. C

В небесной механике истинная аномалия — угловой параметр , определяющий положение тела, движущегося по кеплеровской орбите . Это угол между направлением периапсиса и текущим положением тела, если смотреть из главного фокуса эллипса ( точки, вокруг которой вращается объект).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами ν или θ или латинской буквой f и обычно ограничивается диапазоном 0–360° (0–2π рад).

Истинная аномалия f — это один из трех угловых параметров ( аномалий ), определяющих положение на орбите, два других — это эксцентрическая аномалия и средняя аномалия .

Формулы

Из векторов состояния

Для эллиптических орбит истинную аномалию ν можно рассчитать по векторам состояния орбиты как:

$\nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}$

(если r ⋅ v < 0 , то замените ν на 2 π − ν )

где:

• v - вектор орбитальной скорости вращающегося тела,
• e — вектор эксцентриситета ,
• r — вектор орбитального положения (отрезок FP на рисунке) вращающегося тела.

Круговая орбита

Для круговых орбит истинная аномалия не определена, поскольку круговые орбиты не имеют однозначно определенного перицентра. Вместо этого аргумент широты u используется :

$u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}$

(если r _z < 0 , то замените u на 2 π − u )

где:

• n — вектор, указывающий на восходящий узел (т. е. z -компонент n равен нулю).
• r _z — z -компонента вектора орбитального положения r

Круговая орбита с нулевым наклонением

Для круговых орбит с нулевым наклонением аргумент широты также не определен, поскольку не существует однозначно определенной линии узлов. Вместо этого используется истинная долгота :

$l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}$

(если v _x > 0 , то замените l на 2 π − l )

где:

• r _x — x -компонент вектора орбитального положения r
• v _x — x -компонента вектора орбитальной скорости v .

Из эксцентрической аномалии

Связь между истинной аномалией ν и эксцентрической аномалией $E$ является:

$\cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}$

или используя синус и касательная :

${\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}$

или эквивалентно:

$\tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}$

так

$\nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)$

Альтернативно, форма этого уравнения была получена путем это позволяет избежать числовых проблем, когда аргументы близки $\pm \pi$, поскольку две касательные становятся бесконечными. Кроме того, поскольку ${\frac {E}{2}}$ и ${\frac {\nu }{2}}$ всегда находятся в одном квадранте, проблем со знаками не будет.

$\tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}$ где $\beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

так

$\nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)$

средней

Истинную аномалию можно рассчитать непосредственно на основе средней аномалии. $M$ через разложение Фурье :

$\nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}$

с функциями Бесселя $J_{n}$ и параметр $\beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$.

Опуская все условия заказа $e^{4}$ или выше (обозначается $\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)$), его можно записать как

$\nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).$

Обратите внимание, что из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами, где эксцентриситет $e$ мал.

Выражение $\nu -M$ известно как уравнение центра , где даны более подробные сведения о расширении.

Радиус

Радиус (расстояние между фокусом притяжения и вращающимся телом) связан с истинной аномалией по формуле

$r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!$

где а орбиты — большая полуось .

См. также

• Законы движения планет Кеплера
• Эксцентрическая аномалия
• Средняя аномалия
• Эллипс
• Гипербола

Дальнейшее чтение

• Мюррей, К.Д. и Дермотт, С.Ф., 1999, Динамика Солнечной системы , Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN   0-521-57597-4
• Пламмер, ХК, 1960, Вводный трактат по динамической астрономии , Dover Publications, Нью-Йорк. OCLC   1311887 (Перепечатка издания Cambridge University Press 1918 года.)

Внешние ссылки

• Федеральное управление гражданской авиации — описание орбит