Уравнение орбиты

В астродинамике уравнение орбиты . определяет путь вращающегося тела $m_{2}\,\!$ вокруг центрального тела $m_{1}\,\!$ относительно $m_{1}\,\!$ , без указания положения как функции времени. При стандартных предположениях тело, движущееся под действием силы, направленной на центральное тело, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния (например, гравитация), имеет орбиту, представляющую собой коническое сечение (т. е. круговую орбиту , эллиптическая орбита , параболическая траектория , гиперболическая траектория или радиальная траектория ) с центральным телом, расположенным в одном из двух фокусов , или фокусе ( первый закон Кеплера ).

Если коническое сечение пересекает центральное тело, то фактической траекторией может быть только часть над поверхностью, но для этой части по-прежнему применимо уравнение орбиты и многие связанные с ним формулы, пока это свободное падение (ситуация невесомости ).

Центральная сила закона обратных квадратов

Рассмотрим систему двух тел, состоящую из центрального тела массы M и вращающегося по орбите тела массы гораздо меньшего размера. $m$ и предположим, что два тела взаимодействуют через центральную ( силу закона обратных квадратов например, гравитацию ). В полярных координатах уравнение орбиты можно записать как ^[1] $r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}$ где

$r$ расстояние между двумя телами и
$\theta$ это угол, который $\mathbf {r}$ совершает с осью перицентра (также называемая истинной аномалией ).
Параметр $\ell$ - угловой момент тела, вращающегося вокруг центрального тела, и равен $mr^{2}{\dot {\theta }}$ , или масса, умноженная на величину векторного произведения векторов относительного положения и скорости двух тел. ^{[примечание 1]}
Параметр $\mu$ константа, для которой $\mu /r^{2}$ равно ускорению меньшего тела (для гравитации $\mu$ — стандартный гравитационный параметр , $-GM$ ). Для данной орбиты тем больше $\mu$ , тем быстрее движется в нем вращающееся тело: в два раза быстрее, если притяжение в четыре раза сильнее.
Параметр $e$ - эксцентриситет орбиты и определяется выражением ^[1]
$e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}$
где $E$ – энергия орбиты.

Вышеупомянутое соотношение между $r$ и $\theta$ описывает коническое сечение . ^[1] Стоимость $e$ определяет, какое коническое сечение имеет орбита:

когда $e<1$ , орбита эллиптическая (круги — эллипсы с $e=0$ );
когда $e=1$ , орбита параболическая ;
когда $e>1$ , орбита гиперболическая .

Минимальное значение $r$ в уравнении: $r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}$ пока, если $e<1$ , максимальное значение: $r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}$

Если максимум меньше радиуса центрального тела, то коническое сечение представляет собой эллипс, который полностью находится внутри центрального тела и ни одна его часть не является возможной траекторией. Если максимум больше, а минимум меньше радиуса, часть траектории возможна:

если энергия неотрицательна (параболическая или гиперболическая орбита): движение либо от центрального тела, либо к нему.
если энергия отрицательна: движение может быть сначала в сторону от центрального тела, вплоть до $r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}$ после чего объект падает обратно.

Если $r$ становится такой, что вращающееся тело входит в атмосферу, тогда стандартные предположения больше не применимы, как при входе в атмосферу .

Низкоэнергетические траектории

Если центральным телом является Земля, а энергия лишь немного больше потенциальной энергии на поверхности Земли, то орбита будет эллиптической с эксцентриситетом, близким к 1, и одним концом эллипса сразу за центром Земли. а другой конец чуть выше поверхности. Применима только небольшая часть эллипса.

Если горизонтальная скорость $v\,\!$ , то перицентрическое расстояние равно ${\frac {v^{2}}{2g}}$ . Энергия на поверхности Земли соответствует энергии эллиптической орбиты с $a=R/2\,\!$ (с $R\,\!$ радиус Земли), который на самом деле не может существовать, поскольку представляет собой эллипс, полностью расположенный под поверхностью. Энергия увеличивается с увеличением $a$ по ставке $2g\,\!$ . Максимальная высота над поверхностью орбиты равна длине эллипса минус $R\,\!$ , минус часть «ниже» центра Земли, следовательно, удвоенное увеличение $a\,\!$ минус перицентрическое расстояние. Наверху ^{[ чего? ]} потенциальная энергия $g$ раз эту высоту, а кинетическая энергия равна ${\frac {v^{2}}{2}}$ . Это приводит к только что упомянутому увеличению энергии. Ширина эллипса 19 минут. ^{[ почему? ]} раз $v\,\!$ .

Часть эллипса над поверхностью можно аппроксимировать частью параболы, которая получается в модели, где гравитация считается постоянной. Ее следует отличать от параболической орбиты в смысле астродинамики, где скорость - это скорость убегания .

См. также траектория .

Категоризация орбит

Рассмотрим орбиты, которые в одной точке горизонтальны вблизи поверхности Земли. Для увеличения скорости в этой точке орбиты впоследствии будут:

часть эллипса с вертикальной большой осью, в дальнем фокусе которой находится центр Земли (метание камня, суборбитальный космический полет , баллистическая ракета )
круг чуть выше поверхности Земли ( низкая околоземная орбита )
эллипс с вертикальной большой осью, в центре которого находится центр Земли
параболический
гипербола

Обратите внимание, что в приведенной выше последовательности ^{[ где? ]}, $h$ , $\epsilon$ и $a$ монотонно возрастают, но $e$ сначала уменьшается от 1 до 0, затем увеличивается от 0 до бесконечности. Обращение происходит, когда центр Земли меняется с дальнего фокуса на ближний фокус (другой фокус начинается у поверхности и проходит через центр Земли). У нас есть

e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|

Распространив это на орбиты, которые горизонтальны на другой высоте, и орбиты, экстраполяция которых горизонтальна под поверхностью Земли, мы получаем классификацию всех орбит, за исключением радиальных траекторий , для которых, кстати, уравнение орбиты может не использоваться. В этой категоризации эллипсы рассматриваются дважды, поэтому для эллипсов, у которых обе стороны находятся над поверхностью, можно ограничиться выбором той стороны, которая ниже, в качестве опорной стороны, а для эллипсов, у которых только одна сторона находится над поверхностью, берут эту сторону.

См. также

Примечания

^ Существует связанный параметр, известный как удельный относительный угловой момент , $h$ . Это связано с $\ell$ к $h=\ell /m$ .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Феттер, Александр; Валецка, Джон (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Дуврские публикации . стр. 13–22.

[2] Существует связанный параметр, известный как удельный относительный угловой момент , $h$ . Это связано с $\ell$ к $h=\ell /m$ .

[fetter13-1] Jump up to: ^а ^б ^с Феттер, Александр; Валецка, Джон (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Дуврские публикации . стр. 13–22.

[1]

[примечание 1]