Задача двух тел

Слева: два тела одинаковой массы , вращающиеся вокруг общего барицентра, внешнего по отношению к обоим телам, по эллиптическим орбитам , типичным для двойных звезд . Справа: два тела с «небольшой» разницей в массе, вращающиеся вокруг общего барицентра. Размеры и тип орбиты аналогичны системе Плутон-Харон (в которой барицентр является внешним по отношению к обоим телам) и системе Земля - Луна , где барицентр является внутренним по отношению к большему телу.

В классической механике задача двух тел заключается в предсказании движения двух массивных объектов, которые абстрактно рассматриваются как точечные частицы . Проблема предполагает, что два объекта взаимодействуют только друг с другом; единственная сила, воздействующая на каждый объект, возникает со стороны другого, а все остальные объекты игнорируются.

Наиболее ярким примером классической проблемы двух тел является случай гравитации (см. также проблему Кеплера ), возникающий в астрономии для предсказания орбит (или ухода с орбиты) таких объектов, как спутники , планеты и звезды . Двухточечная модель такой системы почти всегда достаточно хорошо описывает ее поведение, чтобы обеспечить полезную информацию и предсказания.

Более простая модель «одного тела», « проблема центральной силы », рассматривает один объект как неподвижный источник силы, действующей на другой. Затем пытаются предсказать движение единственного оставшегося мобильного объекта. Такое приближение может дать полезные результаты, когда один объект намного массивнее другого (как в случае с легкой планетой, вращающейся вокруг тяжелой звезды, где звезду можно рассматривать как по существу стационарную).

Однако приближение одного тела обычно не требуется, кроме как в качестве трамплина. Для многих сил, включая гравитационные, общую версию задачи двух тел можно свести к паре задач одного тела , что позволяет решить ее полностью и дает решение, достаточно простое для эффективного использования.

Напротив, задача трех тел (и, в более общем плане, задача n тел для n ≥ 3) не может быть решена в терминах первых интегралов, за исключением особых случаев.

Результаты по известным случаям

Гравитация и другие примеры обратных квадратов

Задача двух тел интересна в астрономии тем, что пары астрономических объектов часто быстро движутся в произвольных направлениях (поэтому их движения становятся интересными), на большом расстоянии друг от друга (поэтому они не сталкиваются) и еще на большем расстоянии от других объектов (поэтому их движения становятся интересными). поэтому внешние воздействия будут достаточно малы, чтобы их можно было безопасно игнорировать).

Под действием силы тяжести каждый член пары таких объектов будет вращаться вокруг своего общего центра масс по эллиптической схеме, если только они не движутся достаточно быстро, чтобы полностью уйти друг от друга, и в этом случае их пути будут расходиться вдоль других плоских конических сечений. . Если один объект намного тяжелее другого, он будет двигаться гораздо меньше другого относительно общего центра масс. Общий центр масс может даже находиться внутри более крупного объекта.

Для вывода решений проблемы см. Классическую проблему центральной силы или проблему Кеплера .

В принципе, те же решения применимы к макроскопическим задачам, включающим объекты, взаимодействующие не только посредством гравитации, но и через любое другое притягивающее скалярное силовое поле, подчиняющееся закону обратных квадратов , электростатическое притяжение очевидным физическим примером которого является . На практике такие проблемы возникают редко. За исключением, возможно, экспериментальной аппаратуры или другого специализированного оборудования, мы редко сталкиваемся с электростатически взаимодействующими объектами, которые движутся достаточно быстро и в таком направлении, чтобы избежать столкновения, и/или которые достаточно изолированы от своего окружения.

Динамическая система двух тел под действием вращающего момента оказывается уравнением Штурма-Лиувилля . ^[1]

Неприменимость к атомам и субатомным частицам.

Хотя модель двух тел рассматривает объекты как точечные частицы, классическая механика применима только к системам макроскопического масштаба. Поведение субатомных частиц в большинстве случаев невозможно предсказать на основе классических предположений, лежащих в основе этой статьи, или с использованием представленной здесь математики.

Электроны в атоме иногда описываются как «вращающиеся» вокруг его ядра , следуя ранней гипотезе Нильса Бора (это источник термина « орбитальный »). Однако электроны на самом деле не вращаются вокруг ядер в каком-либо значимом смысле, и квантовая механика необходима для любого полезного понимания реального поведения электрона. Решение классической задачи двух тел для электрона, вращающегося вокруг атомного ядра, вводит в заблуждение и не дает много полезных идей.

Сведение к двум независимым задачам одного тела.

Полную задачу двух тел можно решить, переформулировав ее как две задачи одного тела: тривиальную и ту, которая включает в себя решение движения одной частицы во внешнем потенциале . Поскольку многие задачи одного тела могут быть решены точно, соответствующая задача двух тел также может быть решена.

Пусть $x 1$ и $x 2$ — векторные положения двух тел, а m ₁ и m ₂ — их массы. Цель состоит в том, чтобы определить траектории $x 1 (t)$ и $x 2 (t)$ для всех моментов времени t , учитывая начальные положения $x 1 (t = 0)$ и $x 2 (t = 0)$ и начальные скорости $v 1 (t знак равно 0)$ и $v 2 (т знак равно 0)$ .

Применительно к двум массам второй закон Ньютона гласит, что

\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}

(Уравнение 1 )

\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}

(Уравнение 2 )

где F ₁₂ — сила, действующая на массу 1 из-за ее взаимодействия с массой 2, а F ₂₁ — сила, действующая на массу 2 из-за ее взаимодействия с массой 1. Две точки над векторами положения x обозначают их вторую производную по отношению к времени или их векторам ускорения.

Сложение и вычитание этих двух уравнений разделяет их на две задачи одного тела, которые можно решать независимо. Сложение уравнений (1) и ( 2 ) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс ( барицентра ). Напротив, вычитание уравнения (2) из уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор $r = x 1 - x 2$ между массами изменяется со временем. Решения этих независимых задач одного тела можно объединить, чтобы получить решения для траекторий $x 1 (t)$ и $x 2 (t)$ .

Движение центра масс (1-я задача одного тела)

Позволять $\mathbf {R}$ быть положением центра масс ( барицентра ) системы. Сложение силовых уравнений (1) и (2) дает $m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$ где мы использовали третий закон Ньютона $F 12 = - F 21$ и где ${\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

Полученное уравнение: ${\ddot {\mathbf {R} }}=0$ показывает, что скорость $\mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}$ центра масс постоянен, откуда следует, что суммарный импульс $m 1 v 1 + m 2 v 2$ также постоянен ( сохранение импульса ). Следовательно, положение $R (t)$ центра масс можно всегда определить по начальным положениям и скоростям.

Движение вектора смещения (2-я задача одного тела)

Разделив оба уравнения сил на соответствующие массы, вычитая второе уравнение из первого и переставляя, получаем уравнение ${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}$ где мы снова использовали третий закон Ньютона $F 12 = - F 21$ и где $r$ — вектор перемещения от массы 2 к массе 1, как определено выше.

Сила между двумя объектами, возникающая в этих двух объектах, должна быть функцией только их разделения $r$ , а не их абсолютных положений $x 1$ и $x 2$ ; в противном случае не было бы трансляционной симметрии , и законы физики должны были бы меняться от места к месту. Таким образом, вычтенное уравнение можно записать: $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ где $\mu$ это приведенная масса $\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

Решение уравнения для $r (t)$ является ключом к проблеме двух тел. Решение зависит от удельной силы между телами, которая определяется формулой $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ . Для случая, когда $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ подчиняется закону обратных квадратов , см. задачу Кеплера .

После $R (t)$ и $r (t)$ определения можно получить исходные траектории. $\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$ $\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$ в этом можно убедиться, подставив определения R и r в правые части этих двух уравнений.

Движение двух тел плоское.

Движение двух тел относительно друг друга всегда лежит в плоскости (в центре системы отсчета ).

Доказательство: Определив линейный момент $p$ и угловой момент $L$ системы относительно центра масс уравнениями $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},$

где $μ$ — приведенная масса , а $r$ — относительное положение $r 2 - r 1$ (при этом в качестве начала координат принимается центр масс, и, таким образом, оба они параллельны $r$ ), скорость изменения углового момента $L$ равна чистому крутящему моменту $Н$ $\mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,$ и используя свойство векторного произведения , что $v \times w = 0$ для любых векторов $v$ и $w,$ указывающих в одном направлении,

$\mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,$ с $F = µ d 2 р / дт 2$ .

Вводя предположение (верное для большинства физических сил, поскольку они подчиняются сильному третьему закону движения Ньютона ), что сила между двумя частицами действует вдоль линии между их положениями, отсюда следует, что $r \times F = 0$ и вектор углового момента $L$ постоянен. (сохранился). Поэтому вектор смещения $r$ и его скорость $v$ всегда находятся в плоскости, постоянному вектору $L.$ перпендикулярной

Энергия системы двух тел

Если сила $F (r)$ консервативна , то система имеет потенциальную энергию $U (r)$ , поэтому полную энергию можно записать как $E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )$

В системе центра масс кинетическая энергия наименьшая, а полная энергия становится $E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )$ Координаты $x 1$ и $x 2$ можно выразить как $\mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r}$ $\mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r}$ и аналогичным образом энергия Е связана с энергиями $Е 1$ и $Е 2$ , содержащими отдельно кинетическую энергию каждого тела: ${\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}$

Центральные силы

Для многих физических задач сила $F (r)$ является центральной силой , т. е. имеет вид $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$ где $р = | р |$ и $r̂ = r / r$ — соответствующий единичный вектор . Теперь у нас есть: $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,$ где F ( r ) отрицательно в случае силы притяжения.

См. также

Ссылки

^ Ло, Сивэй (22 июня 2020 г.). «Задача Штурма-Лиувилля о системе двух тел» . Журнал физических коммуникаций . 4 (6): 061001. Бибкод : 2020JPhCo...4f1001L . дои : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
^ Дэвид Бетунес (2001). Дифференциальные уравнения . Спрингер. стр. 58; Рисунок 2.15. ISBN 0-387-95140-7 .

Библиография

Ландау Л.Д .; Лифшиц Э.М. (1976). Механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Пергамон Пресс . ISBN 0-08-029141-4 .
Гольдштейн Х (1980). Классическая механика (2-е изд.). Нью-Йорк: Аддисон-Уэсли . ISBN 0-201-02918-9 .

Внешние ссылки

Задача двух тел в «Мире физики» Эрика Вайсштейна

[1] Ло, Сивэй (22 июня 2020 г.). «Задача Штурма-Лиувилля о системе двух тел» . Журнал физических коммуникаций . 4 (6): 061001. Бибкод : 2020JPhCo...4f1001L . дои : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .

[Betounes-2] Дэвид Бетунес (2001). Дифференциальные уравнения . Спрингер. стр. 58; Рисунок 2.15. ISBN 0-387-95140-7 .

[1]

[2]