Консервативная сила

В физике консервативная сила — это сила , свойство которой состоит в том, что полная работа , совершаемая силой при перемещении частицы между двумя точками, не зависит от пройденного пути. Эквивалентно, если частица движется по замкнутому контуру, общая работа (сумма силы, действующей на пути, умноженной на смещение ) консервативной силы равна нулю.

Консервативная сила зависит только от положения объекта. Если сила консервативна, то можно присвоить числовое значение потенциалу в любой точке, и наоборот, когда объект перемещается из одного места в другое, сила изменяет потенциальную энергию объекта на величину, не зависящую от пройденный путь, способствующий механической энергии и общему сохранению энергии . Если сила не консервативна, то определение скалярного потенциала невозможно, поскольку выбор разных путей приведет к противоречивым потенциальным различиям между начальной и конечной точками.

Гравитационная сила является примером консервативной силы, а сила трения — примером неконсервативной силы.

Другими примерами консервативных сил являются: сила упругой пружины , электростатическая сила между двумя электрическими зарядами и магнитная сила между двумя магнитными полюсами. Последние две силы называются центральными, поскольку они действуют вдоль линии, соединяющей центры двух заряженных/намагниченных тел. Центральная сила консервативна тогда и только тогда, когда она сферически симметрична.

Для консервативных сил

$\mathbf {F_{c}} =-{\frac {\textit {dU}}{d\mathbf {s} }}$

где $F_{c}$ консервативная сила, $U$ потенциальная энергия, а $s$ это позиция.

Неофициальное определение

Неформально консервативную силу можно рассматривать как силу, сохраняющую механическую энергию . Предположим, что частица начинается в точке А и сила F. на нее действует Затем частица перемещается под действием других сил и в конце концов снова оказывается в точке А. Хотя частица все еще может двигаться, в тот момент, когда она снова проходит точку А, она прошла замкнутый путь. Если чистая работа, совершенная F в этой точке, равна 0, то F проходит тест замкнутого пути. Любая сила, которая проходит тест на замкнутый путь для всех возможных замкнутых путей, классифицируется как консервативная сила.

Гравитационная сила , сила пружины , магнитная сила (согласно некоторым определениям, см. ниже) и электрическая сила (по крайней мере, в независимом от времени магнитном поле, подробности см. в законе индукции Фарадея ) являются примерами консервативных сил, тогда как трение и воздух сопротивление являются классическими примерами неконсервативных сил.

Для неконсервативных сил потерянная (не сохраняющаяся) механическая энергия должна уйти куда-то еще в результате сохранения энергии . Обычно энергия превращается в тепло , например, в тепло, выделяемое при трении. Помимо тепла, трение также часто производит звуковую энергию. Сопротивление воды на движущейся лодке преобразует механическую энергию лодки не только в тепловую и звуковую энергию, но и в энергию волн на краях ее следа . Эти и другие потери энергии необратимы в силу второго закона термодинамики .

Независимость от пути

Прямым следствием теста замкнутого пути является то, что работа, совершаемая консервативной силой над частицей, движущейся между любыми двумя точками, не зависит от пути, пройденного частицей.

Это показано на рисунке справа: работа, совершаемая силой гравитации над объектом, зависит только от изменения его высоты, поскольку сила гравитации консервативна. Работа, совершаемая консервативной силой, равна отрицательному изменению потенциальной энергии во время этого процесса. Для доказательства представьте себе два пути 1 и 2, оба идущие из точки А в точку В. Изменение энергии частицы, проходящей по пути 1 от А к В, а затем по пути 2 назад от В к А, равно 0; таким образом, работа одинакова на пути 1 и 2, т. е. работа не зависит от пройденного пути, пока она идет от А к В.

Например, если ребенок скатывается по горке без трения, работа, совершаемая силой гравитации над ребенком от начала горки до конца, не зависит от формы горки; это зависит только от вертикального смещения ребенка.

Математическое описание

Силовое поле F , определенное повсюду в пространстве (или внутри односвязного объема пространства), называется консервативной силой или консервативным векторным полем, если оно удовлетворяет любому из этих трех эквивалентных условий:

1. Ротор — F это нулевой вектор:
   $$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .$$
   где в двух измерениях это сводится к:
   $${\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=0$$
2. равна нулю : Чистая работа ( W ), совершаемая силой при движении частицы по траектории, которая начинается и заканчивается в одном и том же месте,
   $$W\equiv \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =0.$$
3. Силу можно записать как градиент потенциала : отрицательный $\Phi$:
   $$\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } \Phi .$$

Доказательство того, что эти три условия эквивалентны, когда F является силовым полем .

Основная статья: Консервативное векторное поле

1 подразумевает 2

Пусть C — любой простой замкнутый путь (т. е. путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке и не имеет самопересечений) и рассмотрим поверхность S которой является C. , границей Тогда теорема Стокса утверждает, что

$$\int _{S}\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$$

Если ротор F равен нулю, левая часть равна нулю, следовательно, утверждение 2 верно.

2 подразумевает 3

Предположим, что утверждение 2 выполнено. Пусть c — простая кривая от начала координат до точки $x$ и определим функцию

$$\Phi (x)=-\int _{c}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .$$

То, что эта функция корректна (независимо от выбора c ), следует из утверждения 2. Во всяком случае, из основной теоремы исчисления следует, что

$$\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } \Phi .$$

Итак, утверждение 2 подразумевает утверждение 3 ( см. полное доказательство ).

3 подразумевает 1

Наконец, предположим, что третье утверждение верно. Хорошо известное тождество векторного исчисления гласит, что ротор градиента любой функции равен 0. (См. доказательство .) Следовательно, если третье утверждение истинно, то первое утверждение также должно быть истинным. Это показывает, что из утверждения 1 следует 2, из 2 следует 3, а из 3 следует 1. Следовательно, все три эквивалентны, КЭД (Эквивалентность 1 и 3 также известна как (один из аспектов) теоремы Гельмгольца .)

Термин консервативная сила происходит от того факта, что когда существует консервативная сила, она сохраняет механическую энергию. Наиболее знакомыми консервативными силами являются гравитация , электрическая сила (в независимом от времени магнитном поле, см. закон Фарадея ) и сила пружины .

Многие силы (особенно те, которые зависят от скорости) не являются силовыми полями . В этих случаях три вышеуказанных условия не являются математически эквивалентными. Например, магнитная сила удовлетворяет условию 2 (поскольку работа, совершаемая магнитным полем над заряженной частицей, всегда равна нулю), но не удовлетворяет условию 3, а условие 1 даже не определено (сила не является векторным полем, поэтому оценить его завиток невозможно). Соответственно, некоторые авторы относят магнитную силу к консервативной, в то время как другие этого не делают. Магнитная сила — необычный случай; большинство сил, зависящих от скорости, таких как трение , не удовлетворяют ни одному из трех условий и, следовательно, однозначно неконсервативны.

Неконсервативная сила

Несмотря на сохранение полной энергии, неконсервативные силы могут возникать в классической физике из-за пренебрежения степенями свободы или из-за зависящих от времени потенциалов. Многие неконсервативные силы могут восприниматься как макроскопические эффекты мелкомасштабных консервативных сил. Например, трение можно рассматривать, не нарушая закона сохранения энергии, рассматривая движение отдельных молекул; однако это означает, что необходимо учитывать движение каждой молекулы, а не обрабатывать его статистическими методами. Для макроскопических систем гораздо проще иметь дело с неконсервативным приближением, чем с миллионами степеней свободы.

Примерами неконсервативных сил являются трение неупругого материала и напряжение . Трение приводит к передаче части энергии от крупномасштабного движения тел к мелкомасштабным движениям внутри них и поэтому в больших масштабах кажется неконсервативным. Общая теория относительности неконсервативна, о чем свидетельствует аномальная прецессия орбиты Меркурия. Однако общая теория относительности сохраняет псевдотензор напряжения-энергии-импульса .

См. также

• Консервативное векторное поле
• Консервативная система