Лаплас считается одним из величайших ученых всех времен. Его иногда называют французским Ньютоном или Ньютоном Франции . Его описывают как обладателя феноменальных естественных математических способностей, превосходящих способности почти всех его современников. [4] Он был экзаменатором Наполеона, когда Наполеон окончил Военную школу в Париже в 1785 году. [5] Лаплас стал графом Империи в 1806 году и был назван маркизом в 1817 году, после Реставрации Бурбонов .
Некоторые подробности жизни Лапласа неизвестны, так как записи о ней были сожжены в 1925 году вместе с семейным замком в Сен-Жюльен-де-Майок , недалеко от Лизье , домом его праправнука графа де Кольбер-Лаплас. Другие были разрушены ранее, когда его дом в Аркейе недалеко от Парижа. в 1871 году был разграблен [6]
Лаплас родился в Бомон-ан-Ож , Нормандия, 23 марта 1749 года, в деревне в четырех милях к западу от Пон-л'Эвек . По словам WW Роуз Болл , [7] его отец, Пьер де Лаплас, владел и обрабатывал небольшие поместья Мааркиса. Его двоюродный дедушка, мэтр Оливер де Лаплас, имел титул Королевского хирурга. Казалось бы, из ученика он стал билетером в школе в Бомонте; но, получив рекомендательное письмо к Даламберу , он отправился в Париж, чтобы увеличить свое состояние. Однако Карл Пирсон [6] резко критикует неточности в рассказе Роуз Болл и заявляет:
Действительно, Кан был, вероятно, во времена Лапласа самым интеллектуально активным из всех городов Нормандии. Именно здесь Лаплас получил образование и временно стал профессором. Именно здесь он написал свою первую статью, опубликованную в « Меланжах» Туринского королевского общества, Том iv. 1766–1769, по крайней мере за два года до того, как он в возрасте 22 или 23 лет отправился в Париж в 1771 году. Таким образом, еще до того, как ему исполнилось 20 лет, он общался с Лагранжем в Турине . Он не поехал в Париж неопытным деревенским парнем-самоучкой всего лишь крестьянского происхождения! В 1765 году в возрасте шестнадцати лет Лаплас покинул «Школу герцога Орлеанского» в Бомонте и поступил в Канский университет , где, по-видимому, проучился пять лет и был членом Сфинкса. Бомонта Военная школа не заменила старую школу до 1776 года.
Его родители, Пьер Лаплас и Мари-Анн Сошон, были из обеспеченных семей. Семья Лапласов занималась сельским хозяйством по крайней мере до 1750 года, но Пьер Лаплас-старший также был торговцем сидром и синдиком города Бомонт.
В университете его наставниками были два увлеченных преподавателя математики, Кристоф Гадблед и Пьер Ле Каню, которые пробудили в нем рвение к этому предмету. Здесь блестящие способности Лапласа как математика были быстро признаны, и еще в Кане он написал мемуары Sur le Calcul Integral aux Differents Infiniment Petites и aux Differentials Finies . Это обеспечило первую переписку между Лапласом и Лагранжем. Лагранж был старше на тринадцать лет и недавно основал в своем родном городе Турине журнал Miscellanea Taurinensia , в котором были напечатаны многие из его ранних работ, и именно в четвертом томе этой серии появилась статья Лапласа. Примерно в это же время, осознав, что у него нет призвания к священству, он решил стать профессиональным математиком. Некоторые источники утверждают, что затем он порвал с церковью и стал атеистом. [ нужна ссылка ] Лаплас не получил диплом богослова, но уехал в Париж с рекомендательным письмом от Ле Каню к Жану ле Рону д'Аламберу, который в то время был самым влиятельным человеком в научных кругах. [8] [9]
По словам его праправнука, [6] Даламбер принял его довольно плохо и, чтобы избавиться от него, дал ему толстую книгу по математике, сказав вернуться, когда он ее прочтет. Когда через несколько дней Лаплас вернулся, Даламбер был еще менее дружелюбен и не скрывал своего мнения о невозможности того, чтобы Лаплас мог прочитать и понять книгу. Но расспросив его, он понял, что это правда, и с этого времени взял Лапласа под свою опеку.
Другая версия гласит, что Лаплас за одну ночь решил задачу, которую Даламбер поставил перед ним на следующей неделе, а на следующую ночь решил более сложную задачу. Д'Аламбер был впечатлен и рекомендовал его на место преподавателя в Военной школе . [10]
Имея стабильный доход и нетребовательное преподавание, Лаплас теперь погрузился в оригинальные исследования и в течение следующих семнадцати лет, 1771–1787 годов, создал большую часть своих оригинальных работ по астрономии. [11]
Калориметр Лавуазье и Ла Пласа, Лондонская энциклопедия , 1801 г.
С 1780 по 1784 год Лаплас и французский химик Антуан Лавуазье сотрудничали в нескольких экспериментальных исследованиях, разрабатывая собственное оборудование для этой задачи. [12] В 1783 году они опубликовали совместную статью « Мемуары о тепле» , в которой обсуждали кинетическую теорию молекулярного движения. [13] В своих экспериментах они измеряли теплоемкость различных тел и расширение металлов с повышением температуры. Они также измерили температуры кипения этанола и эфира под давлением.
Лаплас произвел дальнейшее впечатление на маркиза де Кондорсе , и уже к 1771 году Лаплас почувствовал себя вправе стать членом Французской академии наук . Однако в том же году поступление досталось Александру-Теофилю Вандермонду , а в 1772 году - Жаку Антуану Жозефу Кузену. Лаплас был недоволен, и в начале 1773 года Даламбер написал Лагранжу в Берлин, чтобы спросить, можно ли найти там должность для Лапласа. Однако в феврале Кондорсе стал постоянным секретарем Академии , а Лаплас был избран ассоциированным членом 31 марта в возрасте 24 лет. [14] В 1773 году Лаплас прочитал перед Академией наук свою статью о неизменности движения планет. В марте того же года он был избран в академию, место, где он занимался большей частью своей науки. [15]
15 марта 1788 г. [16] [6] в возрасте тридцати девяти лет Лаплас женился на Мари-Шарлотте де Курти де Романж, восемнадцатилетней девушке из «хорошей» семьи в Безансоне . [17] Свадьбу отпраздновали в Сен-Сюльпис в Париже . У пары родились сын Шарль-Эмиль (1789–1874) и дочь Софи-Сюзанна (1792–1813). [18] [19]
, вероятность и астрономическая Анализ стабильность
Ранняя опубликованная работа Лапласа в 1771 году началась с дифференциальных уравнений и конечных разностей , но он уже начал думать о математических и философских концепциях вероятности и статистики. [20] Однако до своего избрания в Академию в 1773 году он уже подготовил два документа, которые укрепили его репутацию. Первая, «Мемуар о вероятностях причин по причине событий», была в конечном итоге опубликована в 1774 году, а вторая статья, опубликованная в 1776 году, еще больше развила его статистическое мышление, а также положила начало его систематической работе по небесной механике и стабильности Солнечной системы . В его сознании эти две дисциплины всегда были взаимосвязаны. «Лаплас рассматривал вероятность как инструмент исправления дефектов в знаниях». [21] Работа Лапласа по вероятности и статистике обсуждается ниже вместе с его зрелыми работами по аналитической теории вероятностей.
Сэр Исаак Ньютон опубликовал свою «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» в 1687 году, в которой дал вывод законов Кеплера , описывающих движение планет, из своих законов движения и закона всемирного тяготения . Однако, хотя Ньютон в частном порядке разработал методы исчисления, во всех его опубликованных работах использовались громоздкие геометрические рассуждения, непригодные для объяснения более тонких эффектов более высокого порядка взаимодействия между планетами. Сам Ньютон сомневался в возможности математического решения всей проблемы и даже пришел к выводу, что периодическое божественное вмешательство необходимо для обеспечения стабильности Солнечной системы. Отказ от гипотезы божественного вмешательства стал бы основным направлением научной жизни Лапласа. [22] Сейчас принято считать, что методы Лапласа сами по себе, хотя и жизненно важны для развития теории, недостаточно точны, чтобы продемонстрировать стабильность Солнечной системы ; сегодня считается, что Солнечная система в целом хаотична в мелких масштабах, хотя в настоящее время довольно стабильна в крупных масштабах. [23] : 83, 93
Одной из особых проблем наблюдательной астрономии была очевидная нестабильность, из-за которой орбита Юпитера сжималась, в то время как орбита Сатурна расширялась. Эту проблему пытались решить Леонард Эйлер в 1748 году и Жозеф Луи Лагранж в 1763 году, но безуспешно. [24] В 1776 году Лаплас опубликовал мемуары, в которых он впервые исследовал возможные влияния предполагаемого светоносного эфира или закона гравитации, который не действует мгновенно. В конце концов он вернулся к интеллектуальным инвестициям в ньютоновскую гравитацию. [25] Эйлер и Лагранж сделали практическое приближение, игнорируя малые члены в уравнениях движения. Лаплас отметил, что, хотя сами термины были небольшими, если их интегрировать с течением времени, они могут стать важными. Лаплас перенес свой анализ на члены высшего порядка, вплоть до кубических . Используя этот более точный анализ, Лаплас пришел к выводу, что любые две планеты и Солнце должны находиться во взаимном равновесии, и тем самым начал свою работу по стабильности Солнечной системы. [26] Джеральд Джеймс Уитроу назвал это достижение «самым важным достижением в физической астрономии со времен Ньютона». [22]
Лаплас обладал обширными познаниями во всех науках и доминировал во всех дискуссиях в Академии . [27] Лаплас, похоже, рассматривал анализ просто как средство решения физических проблем, хотя способность, с которой он изобрел необходимый анализ, почти феноменальна. Пока его результаты были верными, он не особо утруждал себя объяснением шагов, с помощью которых он к ним пришел; он никогда не изучал элегантность или симметрию в своих процессах, и для него было достаточно, если бы он мог каким-либо образом решить конкретный вопрос, который он обсуждал. [11]
В то время как Ньютон объяснял приливы, описывая приливно-генерирующие силы, а Бернулли дал описание статической реакции вод на Земле на приливный потенциал, динамическая теория приливов , разработанная Лапласом в 1775 году, [28] описывает реальную реакцию океана на приливные силы . [29] Теория океанских приливов Лапласа учитывала трение , резонанс и естественные периоды океанских бассейнов. Он предсказал появление крупных амфидромных систем в бассейнах мирового океана и объяснил наблюдаемые на самом деле океанические приливы. [30] [31]
Теория равновесия, основанная на гравитационном градиенте Солнца и Луны, но игнорирующая вращение Земли, влияние континентов и другие важные эффекты, не могла объяснить настоящие океанские приливы. [32] [33] [34] [30] [35] [36] [37] [38] [39]
Newton's three-body model
Поскольку измерения подтвердили теорию, многие вещи теперь имеют возможные объяснения, например, как приливы взаимодействуют с глубоководными морскими хребтами, а цепи подводных гор порождают глубокие водовороты, которые переносят питательные вещества с глубины на поверхность. [40] Теория равновесного прилива рассчитывает высоту приливной волны менее полуметра, а динамическая теория объясняет, почему приливы достигают 15 метров. [41] Спутниковые наблюдения подтверждают точность динамической теории, и приливы во всем мире теперь измеряются с точностью до нескольких сантиметров. [42] [43] Измерения спутника CHAMP близко соответствуют моделям, основанным на данных TOPEX . [44] [45] [46] Точные модели приливов во всем мире необходимы для исследований, поскольку изменения, вызванные приливами, необходимо исключать из измерений при расчете силы тяжести и изменений уровня моря. [47]
А. Лунный гравитационный потенциал: Луна изображена непосредственно над 30° северной широты (или 30° южной широты), если смотреть сверху из северного полушария.
B. На этом виде виден тот же потенциал под углом 180°, что и на A. виде Вид сверху на Северное полушарие. Красный вверху, синий внизу.
Для слоя жидкости средней толщины D вертикальная приливная высота ζ , а также компоненты горизонтальной скорости u и v (в направлениях широты φ и долготы λ соответственно) удовлетворяют приливным уравнениям Лапласа : [48]
В 1784–1787 годах он опубликовал несколько статей исключительной силы. Среди них выделяется книга, прочитанная в 1783 году, переизданная как Часть II «Теории движения и эллиптической фигуры планет» в 1784 году и в третьем томе « Небесной механики» . В этой работе Лаплас полностью определил притяжение сфероида к частице вне его. Это памятно введением в анализ сферических гармоник или коэффициентов Лапласа , а также развитием использования того, что мы бы сейчас назвали гравитационным потенциалом в небесной механике .
Последовательность функций P 0 k (cos φ) — это набор так называемых «ассоциированных функций Лежандра», и их полезность проистекает из того факта, что каждую функцию точек на окружности можно разложить в ряд из них. [11]
Лаплас, почти не отдавая должное Лежандру, нетривиально распространил результат на три измерения , чтобы получить более общий набор функций — сферические гармоники или коэффициенты Лапласа . Последний термин сейчас не широко используется. [11] : с. 340 ff.
Эта статья примечательна также развитием идеи скалярного потенциала . [11] гравитации, Сила действующая на тело, — это, говоря современным языком, вектор , имеющий величину и направление. Потенциальная функция — это скалярная функция, определяющая поведение векторов. Со скалярной функцией вычислительно и концептуально проще иметь дело, чем с векторной функцией.
Алексис Клеро впервые предложил эту идею в 1743 году, когда работал над аналогичной проблемой, хотя он использовал геометрические рассуждения ньютоновского типа. Лаплас охарактеризовал работу Клеро как «относящуюся к классу самых красивых математических произведений». [49] Однако Роуз Болл утверждает, что эта идея «была заимствована у Жозефа Луи Лагранжа , который использовал ее в своих мемуарах 1773, 1777 и 1780 годов». [11] Сам термин «потенциал» появился благодаря Даниэлю Бернулли , который ввел его в своих мемуарах «Гидродинамика» 1738 года . Однако, по мнению Роуз Болл, термин «потенциальная функция» на самом деле не использовался (для обозначения функции V координат пространства в смысле Лапласа) до выхода Джорджа Грина в 1828 году книги «Эссе о применении математического анализа к теориям». Электричества и магнетизма . [50] [51]
Последующие работы Лапласа по гравитационному притяжению были основаны на этом результате. Величина ∇ 2 V называется концентрацией V , и его значение в любой точке указывает на «превышение» значения V там над его средним значением в окрестности точки. [54] Уравнение Лапласа , частный случай уравнения Пуассона , повсеместно встречается в математической физике. Понятие потенциала встречается в гидродинамике , электромагнетизме и других областях. Роуз Болл предположила, что это можно рассматривать как «внешний знак» одной из априорных форм кантовской теории восприятия . [11]
Сферические гармоники оказываются критически важными для практических решений уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа в сферических координатах , например, используемых для картографирования неба, можно упростить, используя метод разделения переменных на радиальную часть, зависящую исключительно от расстояния от центральной точки, и угловую или сферическую часть. Решение сферической части уравнения можно выразить как серию сферических гармоник Лапласа, что упрощает практические вычисления.
Титульный лист экземпляра » Деламбра « Таблицы затмений спутников Юпитера 1817 года , в названии которого упоминается вклад Лапласа. Таблицы в копии » Деламбра « Таблицы затмений спутников Юпитера 1817 года – на эти расчеты повлияли предыдущие открытия Лапласа.
Лаплас представил мемуары о планетарных неравенствах в трех разделах: в 1784, 1785 и 1786 годах. В основном они касались выявления и объяснения возмущений, теперь известных как «великое неравенство Юпитера и Сатурна». Лаплас решил давнюю проблему изучения и предсказания движения этих планет. Из общих соображений он показал, во-первых, что взаимное действие двух планет никогда не могло вызвать больших изменений эксцентриситетов и наклонений их орбит; но затем, что еще более важно, в системе Юпитер-Сатурн возникли особенности из-за близкого приближения к соизмеримости средних движений Юпитера и Сатурна. [4] [55]
В этом контексте соизмеримость означает, что отношение средних движений двух планет почти равно отношению пары небольших целых чисел. Два периода обращения Сатурна вокруг Солнца почти равны пяти периодам обращения Юпитера. Соответствующая разница между кратностями средних движений (2 n J - 5 n S ) соответствует периоду почти 900 лет и возникает как небольшой делитель при интегрировании очень маленькой возмущающей силы с тем же периодом. В результате интегральные возмущения с этим периодом непропорционально велики: около 0,8° дуги орбитальной долготы для Сатурна и около 0,3° для Юпитера.
Дальнейшее развитие этих теорем о движении планет было дано в его двух мемуарах 1788 и 1789 годов, но с помощью открытий Лапласа таблицы движений Юпитера и Сатурна наконец удалось сделать гораздо точнее. Именно на основе теории Лапласа Деламбр составил свои астрономические таблицы. [11]
Лаплас теперь поставил перед собой задачу написать работу, которая должна «предложить полное решение великой механической проблемы, представленной Солнечной системой, и привести теорию в такое близкое соответствие с наблюдениями, что эмпирические уравнения больше не должны находить места в астрономических таблицах. " [4] Результат воплощен в « Изложении Мировой Системы и Небесной Механики» . [11]
Первый был опубликован в 1796 году и дает общее объяснение явлений, но опускает все детали. Он содержит краткое изложение истории астрономии. Это краткое изложение обеспечило его автору честь быть принятым в сорок Французской академии и обычно считается одним из шедевров французской литературы, хотя оно не совсем достоверно для более поздних периодов, о которых оно рассказывает. [11]
Лаплас разработал небулярную гипотезу формирования Солнечной системы, впервые предложенную Эмануэлем Сведенборгом и расширенную Иммануилом Кантом , гипотезу, которая продолжает доминировать в объяснениях происхождения планетных систем. Согласно описанию гипотезы Лапласом, Солнечная система развилась из шаровой массы раскаленного газа, вращающейся вокруг оси, проходящей через центр масс . По мере охлаждения эта масса сжималась, и от ее внешнего края оторвались последовательные кольца. Эти кольца, в свою очередь, остыли и, наконец, сконденсировались в планеты, тогда как Солнце представляло собой оставшееся центральное ядро. С этой точки зрения Лаплас предсказал, что более далекие планеты будут старше, чем те, которые ближе к Солнцу. [11] [56]
Как уже упоминалось, идея небулярной гипотезы была изложена Иммануилом Кантом в 1755 году. [56] и он также предположил, что «метеорные скопления» и приливное трение являются причинами, влияющими на формирование Солнечной системы. Лаплас, вероятно, знал об этом, но, как и многие писатели его времени, он обычно не ссылался на произведения других. [6]
Аналитическое обсуждение Солнечной системы Лапласом дано в его « Небесной механике», опубликованной в пяти томах. Первые два тома, вышедшие в 1799 году, содержат методы расчета движения планет, определения их фигуры и решения приливных задач. [4] Третий и четвертый тома, опубликованные в 1802 и 1805 годах, содержат применения этих методов и несколько астрономических таблиц. Пятый том, вышедший в 1825 году, носит преимущественно исторический характер, но в приложениях приводит результаты новейших исследований Лапласа. Собственные исследования Лапласа, воплощенные в ней, настолько многочисленны и ценны, что с прискорбием приходится добавлять, что многие результаты заимствованы у других авторов при скудном признании или вообще без него, а выводы, которые были описаны как организованный результат столетия терпеливых тяжелый труд — часто упоминаются так, как будто они принадлежат Лапласу. [11]
Первые страницы Выставки системы мира (1799 г.)
Жан-Батист Био , который помогал Лапласу редактировать его для печати, говорит, что сам Лаплас часто был не в состоянии восстановить детали в цепочке рассуждений, и, если он был удовлетворен правильностью выводов, он довольствовался вставкой постоянно повторяющихся формула « Il est aisé à voir que… » («Легко видеть, что…»). « Небесная механика» — это не только перевод «Начал» Ньютона на язык дифференциального исчисления , но и завершение частей, которые Ньютон не смог дополнить подробностями. Работа была продолжена в более точной форме в « Феликса Тиссерана ( Трактате о небесной механике» 1889–1896), но трактат Лапласа всегда останется признанным авторитетом. [11] В 1784–1787 годах Лаплас написал несколько мемуаров исключительной силы. Самым значительным среди них был документ, выпущенный в 1784 году и переизданный в третьем томе « Небесной механики» . [ нужна ссылка ] В этой работе он полностью определил притяжение сфероида к частице вне его. Это известно введением в анализ потенциала полезного математического понятия, имеющего широкое применение в физических науках.
Используя корпускулярную теорию, Лаплас также подошел близко к выдвижению концепции черной дыры . Он предположил, что гравитация может влиять на свет и что могут существовать массивные звезды, гравитация которых настолько велика, что даже свет не может покинуть их поверхность (см. Скорость убегания ). [59] [1] [60] [61] Однако это открытие настолько опередило свое время, что не сыграло никакой роли в истории развития науки. [62]
В 1806 году Лаплас купил дом в Аркейе , тогда еще деревне, еще не вошедшей в состав Парижского агломерации . Химик Клод Луи Бертолле был соседом – их сады не были разделены. [63] – и эта пара сформировала ядро неформального научного кружка, позднее известного как Общество Аркейля. Из-за своей близости к Наполеону Лаплас и Бертолле эффективно контролировали продвижение в научных кругах и доступ к более престижным должностям. Общество выстроило сложную пирамиду покровительства . [64] В 1806 году Лаплас был также избран иностранным членом Шведской королевской академии наук .
В 1812 году Лаплас опубликовал свою «Аналитическую теорию вероятностей» , в которой изложил многие фундаментальные результаты статистики. Первая половина этого трактата была посвящена вероятностным методам и проблемам, вторая половина — статистическим методам и приложениям. Доказательства Лапласа не всегда строги в соответствии со стандартами более позднего времени, и его точка зрения колеблется между байесовскими и небайесовскими взглядами с легкостью, из-за которой некоторые из его исследований трудно понять, но его выводы остаются в основном верными даже в тех немногих ситуациях, когда его анализ сбивается. [65] В 1819 году он опубликовал популярный отчет о своей работе по вероятности. Эта книга имеет такое же отношение к «Теории вероятностей» , как « Система мира» к « Небесной механике» . [11] В своем акценте на аналитической важности вероятностных проблем, особенно в контексте «аппроксимации формульных функций больших чисел», работа Лапласа выходит за рамки современной точки зрения, которая почти исключительно рассматривала аспекты практической применимости. [66] «Аналитическая теория» Лапласа оставалась самой влиятельной книгой по математической теории вероятностей до конца XIX века. Общая значимость теории ошибок Лапласа для статистики была оценена только к концу XIX века. Однако это повлияло на дальнейшее развитие в значительной степени аналитически ориентированной теории вероятностей.
В своем «Философском эссе о вероятностях» (1814) Лаплас изложил математическую систему индуктивных рассуждений , основанную на вероятности , которую мы сегодня признали бы байесовской . Он начинает текст с ряда принципов вероятности, первые семь из которых таковы:
Вероятность — это отношение «предпочтительных событий» к общему количеству возможных событий.
Первый принцип предполагает равные вероятности всех событий. Если это не так, мы должны сначала определить вероятности каждого события. Тогда вероятность представляет собой сумму вероятностей всех возможных благоприятных событий.
Для независимых событий вероятность появления всех равна вероятности каждого, перемноженной вместе.
Когда два события A и B зависят друг от друга, вероятность составного события равна вероятности A, умноженной на вероятность того, что при A данном B. произойдет
Вероятность того, что произойдет А при условии, что произошло В, равна вероятности того, что А и В, деленной на вероятность того, что произойдет В. произойдет
Из шестого принципа даны три следствия, которые представляют собой байесовское правило. Если событие A i ∈ { A 1 , A 2 , ... A n } исчерпывает список возможных причин события B , Pr( B ) = Pr( A 1 , A 2 , ..., A n ) . Затем
Вероятность будущего события C представляет собой сумму произведений вероятности каждой причины B i, полученной из наблюдаемого события A , на вероятность того, что при наличии этой причины будущее событие произойдет. Символически,
Одной из хорошо известных формул, вытекающих из его системы, является правило преемственности , данное как принцип семь. Предположим, что какое-то испытание имеет только два возможных результата, обозначенных как «успех» и «провал». Предполагая, что априори мало или ничего не известно об относительной правдоподобности результатов, Лаплас вывел формулу вероятности того, что следующее испытание будет успешным.
где s — количество ранее наблюдавшихся успехов, а n — общее количество наблюдаемых испытаний. Он по-прежнему используется в качестве оценки вероятности события, если мы знаем пространство событий, но имеем лишь небольшое количество выборок.
Правило преемственности подвергалось большой критике, отчасти из-за примера, который Лаплас выбрал для его иллюстрации. Он подсчитал, что вероятность того, что солнце взойдет завтра, учитывая, что в прошлом оно никогда не поднималось, составляла
где d — количество раз, когда солнце всходило в прошлом. Этот результат был высмеян как абсурдный, и некоторые авторы пришли к выводу, что все применения Правила наследования абсурдны в широком смысле. Однако Лаплас полностью осознавал абсурдность результата; сразу же вслед за примером он написал: «Но это число (т. е. вероятность того, что солнце взойдет завтра) гораздо больше для того, кто, видя в совокупности явлений принцип, регулирующий дни и времена года, сознает, что ничто в настоящий момент может остановить его ход». [67]
Метод оценки отношения числа благоприятных случаев к целому числу возможных случаев был ранее указан Лапласом в статье, написанной в 1779 году. Он состоит в том, чтобы рассматривать последовательные значения какой-либо функции как коэффициенты разложения другой функции. функцию со ссылкой на другую переменную. [4] Поэтому последняя называется функцией, порождающей вероятность первой. [4] Затем Лаплас показывает, как с помощью интерполяции эти коэффициенты можно определить из производящей функции. Затем он решает обратную задачу и по коэффициентам находит производящую функцию; это осуществляется путем решения конечно-разностного уравнения . [11]
квадраты и центральная Наименьшие предельная теорема
Четвертая глава этого трактата включает изложение метода наименьших квадратов , что является замечательным свидетельством владения Лапласом процессами анализа. В 1805 году Лежандр опубликовал метод наименьших квадратов, не пытаясь связать его с теорией вероятностей. В 1809 году Гаусс вывел нормальное распределение, исходя из принципа, согласно которому среднее арифметическое наблюдений дает наиболее вероятное значение измеряемой величины; затем, обратив этот аргумент обратно на самого себя, он показал, что, если ошибки наблюдения нормально распределены, оценки методом наименьших квадратов дают наиболее вероятные значения коэффициентов в ситуациях регрессии. Эти две работы, похоже, побудили Лапласа завершить работу над трактатом о вероятности, который он задумал еще в 1783 году. [65]
В двух важных статьях в 1810 и 1811 годах Лаплас впервые разработал характеристическую функцию как инструмент теории большой выборки и доказал первую общую центральную предельную теорему . Затем в приложении к своей статье 1810 года, написанной после того, как он увидел работу Гаусса, он показал, что центральная предельная теорема обеспечивает байесовское обоснование метода наименьших квадратов: если кто-то объединяет наблюдения, каждое из которых само по себе является средним из большого числа независимых наблюдений, то оценки методом наименьших квадратов не только максимизируют функцию правдоподобия, рассматриваемую как апостериорное распределение, но и минимизируют ожидаемую апостериорную ошибку, и все это без каких-либо предположений относительно распределения ошибок или циклического обращения к принципу арифметики. иметь в виду. [65] В 1811 году Лаплас избрал другой, небайесовский подход. Рассматривая задачу линейной регрессии, он ограничил свое внимание линейными несмещенными оценками линейных коэффициентов. Показав, что члены этого класса были примерно нормально распределены, если количество наблюдений было большим, он утверждал, что метод наименьших квадратов обеспечивает «лучшие» линейные оценки. Здесь он «лучший» в том смысле, что он минимизирует асимптотическую дисперсию и, таким образом, минимизирует ожидаемое абсолютное значение ошибки и максимизирует вероятность того, что оценка будет лежать в любом симметричном интервале относительно неизвестного коэффициента, независимо от того, какова ошибка. распределение. Его вывод включал совместное предельное распределение оценок методом наименьших квадратов двух параметров. [65]
Мы можем рассматривать нынешнее состояние Вселенной как следствие ее прошлого и причину ее будущего. Разум, который в определенный момент знал бы все силы, приводящие природу в движение, и все положения всех предметов, из которых состоит природа, если бы этот разум был также достаточно обширен, чтобы подвергать эти данные анализу, он бы охватил в единой формуле движения величайших тел Вселенной и движений мельчайшего атома; для такого интеллекта ничто не было бы неопределенным, и будущее, как и прошлое, было бы для него настоящим.
Этот интеллект часто называют демоном Лапласа (в том же духе, что и демон Максвелла ), а иногда и Сверхчеловеком Лапласа (в честь Ганса Райхенбаха ). Сам Лаплас не использовал слово «демон», которое было более поздним украшением. В переводе на английский, приведенном выше, он просто упомянул: «Une Intelligence… Rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé, serait présent à ses yeux».
Хотя Лапласу обычно приписывают первое формулирование концепции причинного детерминизма, в философском контексте эта идея была широко распространена в то время, и ее можно найти еще в 1756 году в книге Мопертюи «Сюр ла Гадание». [70] Кроме того, иезуит учёный- Боскович впервые предложил версию научного детерминизма, очень похожую на версию Лапласа, в своей книге Theoria philosophiae naturalis 1758 года . [71]
Он был первым, кто рассмотрел трудные проблемы, связанные с уравнениями смешанных разностей, и доказал, что решение уравнения в конечных разностях первой степени и второго порядка всегда может быть получено в форме цепной дроби ; [4] [11]
Лаплас в 1816 году первым указал, что скорость звука в воздухе зависит от соотношения теплоемкостей . Первоначальная теория Ньютона давала слишком низкую величину, поскольку не учитывала адиабатическое сжатие воздуха , приводящее к локальному повышению температуры и давления . Исследования Лапласа в практической физике ограничивались исследованиями, проведенными им совместно с Лавуазье в 1782—1784 годах по удельной теплоемкости различных тел. [11]
В ранние годы Лаплас старался никогда не вмешиваться в политику или вообще в жизнь за пределами Академии наук . Он благоразумно покинул Париж во время самой жестокой части революции. [73]
В ноябре 1799 года, сразу после захвата власти в результате переворота 18 брюмера , Наполеон назначил Лапласа на пост министра внутренних дел . [4] Назначение, однако, продлилось всего шесть недель, после чего этот пост получил Люсьен Бонапарт , брат Наполеона. [4] Очевидно, что когда Наполеон укрепил власть, в правительстве отпала необходимость в престижном, но неопытном ученом. [74] Позже Наполеон (в своих «Воспоминаниях о Святой Елене ») писал об увольнении Лапласа следующим образом: [11]
Первоклассный геометр, Лаплас вскоре показал себя администратором хуже среднего; с первых его действий на посту мы осознали свою ошибку. Лаплас не рассматривал ни один вопрос под прямым углом: он везде искал тонкости, задумывал только проблемы и, наконец, внес в управление дух «бесконечно малых».
Граттан-Гиннесс, однако, описывает эти замечания как «тенденциозные», поскольку, похоже, нет никаких сомнений в том, что Лаплас «был назначен лишь краткосрочным номинальным главой, заменителем, пока Наполеон консолидировал власть». [74]
Хотя Лапласа и отстранили от должности, желательно было сохранить его верность. Соответственно, он был избран в сенат, и к третьему тому « Небесной механики» он поставил примечание о том, что из всех содержащихся в нем истин наиболее драгоценной для автора было заявление, которое он таким образом сделал о своей преданности миротворцу Европы. [4] В копиях, проданных после Реставрации Бурбонов, это было вычеркнуто. (Пирсон отмечает, что цензура все равно бы этого не допустила.) В 1814 году было очевидно, что империя рушится; Лаплас поспешил предложить свои услуги Бурбонам и в 1817 году во время Реставрации был удостоен титула маркиза .
По словам Роуз Болл, презрение, которое его более честные коллеги испытывали к его поведению в этом вопросе, можно прочитать на страницах « Поля Луи Курьера» . Его знания были полезны в многочисленных научных комиссиях, в которых он работал, и, по словам Роуз Болл, вероятно, это объясняет то, как его политическую неискренность игнорировали. [11]
Роджер Хан в своей биографии 2005 года оспаривает такое изображение Лапласа как оппортуниста и перебежчика, указывая, что, как и многие во Франции, он следил за провалом русской кампании Наполеона с серьезными опасениями. Лапласы, чья единственная дочь Софи умерла при родах в сентябре 1813 года, опасались за безопасность своего сына Эмиля, который находился на восточном фронте вместе с императором. Первоначально Наполеон пришел к власти, обещая стабильность, но было ясно, что он перенапрягся, поставив нацию под угрозу. Именно в этот момент лояльность Лапласа начала ослабевать. Хотя он по-прежнему имел легкий доступ к Наполеону, его личные отношения с императором значительно охладились. Как скорбящий отец, он был особенно задет бесчувственностью Наполеона в разговоре, рассказанном Жаном-Антуаном Шапталем : «Вернувшись после разгрома в Лейпциге , он [Наполеон] обратился к господину Лапласу: «О! Я вижу, что вы похудел — государь, я потерял дочь — о, это не повод худеть. Вы математик; подставьте это событие в уравнение, и вы обнаружите, что его сумма равна нулю». [75]
Во втором издании (1814 г.) «Философского эссе» Лаплас добавил несколько разоблачающих комментариев о политике и управлении . Поскольку именно, говорит он, «практика вечных принципов разума, справедливости и человечности создает и сохраняет общества, придерживаться этих принципов имеет большое преимущество, и отклоняться от них - большая нецелесообразность». [76] [77] Отмечая «глубины страданий, в которые были ввергнуты народы», когда амбициозные лидеры игнорируют эти принципы, Лаплас высказывает завуалированную критику поведения Наполеона: «Каждый раз, когда великая держава, опьяненная любовью к завоеваниям, стремится к всеобщему господству, чувство свободы среди наций, которым несправедливо угрожают, возникает коалиция, которой они всегда уступают». Лаплас утверждает, что «среди множества причин, которые направляют и сдерживают различные государства, действуют естественные пределы», внутри которых «важно оставаться как для стабильности, так и для процветания империй». Государства, нарушающие эти пределы, не могут избежать «возвращения» к ним, «так же, как и в случае, когда воды морей, дно которых было поднято жестокими бурями, опускаются обратно на свой уровень под действием силы тяжести». [78] [79]
Что касается политических потрясений, свидетелем которых он стал, Лаплас сформулировал набор принципов, заимствованных из физики, которые отдают предпочтение эволюционным изменениям, а не революционным:
Давайте применим к политическим и моральным наукам метод, основанный на наблюдении и расчете, который так хорошо сослужил нам службу в естественных науках. Давайте не будем оказывать бесплодное и часто вредное сопротивление неизбежным благам, получаемым от прогресса просвещения; но давайте изменим наши учреждения и обычаи, которые мы уже давно приняли, только с крайней осторожностью. Мы знаем по прошлому опыту, какие недостатки они могут вызвать, но не осознаем масштабы вреда, который могут вызвать изменения. Перед лицом этого невежества теория вероятности учит нас избегать любых изменений, особенно избегать внезапных изменений, которые как в моральном, так и в физическом мире никогда не происходят без значительной потери жизненной силы. [80]
В этих строках Лаплас выразил взгляды, к которым он пришел после революции и Империи. Он считал, что стабильность природы, подтвержденная научными открытиями, представляет собой модель, которая лучше всего помогает сохранить человеческий вид. «Такие взгляды, — комментирует Хан, — также соответствовали его стойкому характеру». [79]
В «Философском эссе » Лаплас также иллюстрирует потенциал вероятностей в политических исследованиях, применяя закон больших чисел для обоснования целочисленных рангов кандидатов, используемых в методе голосования Борда , с помощью которого были избраны новые члены Академии наук. избран. Словесный аргумент Лапласа настолько строг, что его легко превратить в формальное доказательство. [81] [82]
Лаплас умер в Париже 5 марта 1827 года, в тот же день, когда умер Алессандро Вольта . Его мозг был удален его врачом Франсуа Мажанди и хранился в течение многих лет, а затем был выставлен в передвижном анатомическом музее в Великобритании. Сообщается, что он был меньше среднего мозга. [6] Лаплас был похоронен на Пер-Лашез в Париже, но в 1888 году его останки были перевезены в Сен-Жюльен-де-Майок в кантоне Орбек и перезахоронены в родовом поместье. [83] Гробница расположена на холме с видом на деревню Сен-Жюльен де Майлок, Нормандия, Франция.
Часто цитируемое, но потенциально апокрифическое взаимодействие между Лапласом и Наполеоном якобы касается существования Бога. Хотя разговор, о котором идет речь, действительно состоялся, точные слова, которые использовал Лаплас, и его предполагаемое значение неизвестны. Типичная версия предоставлена Роуз Болл: [11]
Лаплас отправился к Наполеону, чтобы представить копию своей работы, и следующий отчет об интервью хорошо подтвержден и настолько характерен для всех заинтересованных сторон, что я цитирую его полностью. Кто-то сказал Наполеону, что в книге нет упоминания имени Бога; Наполеон, любивший задавать неловкие вопросы, встретил его замечанием: «М. Лаплас, мне сказали, что ты написал большую книгу о системе Вселенной и ни разу даже не упомянул о ее Создателе. Лаплас, который, хотя и был самым гибким из политиков, был тверд, как мученик, по всем пунктам своей философии, выпрямился и прямо ответил: Je n'avais pas besoin de cette hispotèse-là. («Мне не нужна была эта гипотеза».) Наполеон, весьма удивленный, передал этот ответ Лагранжу , который воскликнул: «Ах!» это прекрасная гипотеза; это широкий выбор вариантов. («Ах, это прекрасная гипотеза; она многое объясняет».)
Я разговаривал с Л.... Я поздравил его с только что опубликованной работой и спросил его, как имя Бога, постоянно появлявшееся под пером Лагранжа, не представилось лишь однажды под его собственным. Это потому, ответил он, что эта гипотеза мне не нужна. («Разговаривая с Л..... я поздравил его с только что опубликованной работой и спросил, как имя Бога, бесконечно появлявшееся в произведениях Лагранжа, ни разу не встретилось в его. Он ответил, что эта гипотеза ему не нужна».)
Однако в 1884 году астроном Эрве Фэй [85] [86] подтвердил, что этот отчет о разговоре Лапласа с Наполеоном представляет собой «странно преобразованную» ( étrangement Transformée ) или искаженную версию того, что на самом деле произошло. Лаплас рассматривал не Бога как гипотезу, а просто его вмешательство в определенный момент:
На самом деле Лаплас никогда этого не говорил. Я считаю, что именно это и произошло на самом деле. Ньютон, полагая, что вековые пертурбации, которые он набросал в своей теории, в конечном итоге приведут к разрушению Солнечной системы, где-то говорит, что Бог был обязан время от времени вмешиваться, чтобы исправить зло и каким-то образом поддерживать правильную работу системы. . Однако это было чистое предположение, подсказанное Ньютону неполным представлением об условиях устойчивости нашего маленького мира. В то время наука еще не была достаточно развита, чтобы полностью рассмотреть эти условия. Но Лаплас, открывший их путем глубокого анализа, ответил бы Первому консулу , что Ньютон ошибочно ссылался на вмешательство Бога, чтобы время от времени приспосабливать мировую машину ( lamachine du monde ) и что он, Лаплас , не нуждался в таком предположении. Следовательно, Лаплас рассматривал как гипотезу не Бога, а его вмешательство в определенное место.
Младший коллега Лапласа, астроном Франсуа Араго , произнесший хвалебную речь перед Французской академией в 1827 году, [87] рассказал Фэй о попытке Лапласа скрыть от распространения искаженную версию его взаимодействия с Наполеоном. Фэй пишет: [85] [86]
Я знаю от г-на Араго, что Лаплас, незадолго до своей смерти предупрежденный о том, что этот анекдот будет опубликован в биографическом сборнике, просил его [Араго] потребовать от издателя его удаления. Нужно было либо объяснить, либо удалить, и второй путь был самым простым. Но, к сожалению, это не было ни удалено, ни объяснено.
Швейцарско-американский историк математики Флориан Каджори , похоже, не знал об исследованиях Фэя, но в 1893 году он пришел к аналогичному выводу. [88] Стивен Хокинг сказал в 1999 году: [68] «Я не думаю, что Лаплас утверждал, что Бога не существует. Просто он не вмешивается, чтобы нарушить законы Науки».
Единственное свидетельство очевидца взаимодействия Лапласа с Наполеоном содержится в записи от 8 августа 1802 года в дневнике британского астронома сэра Уильяма Гершеля : [89]
Затем первый консул задал несколько вопросов, касающихся астрономии и устройства небес, на которые я дал такие ответы, которые, казалось, доставили ему большое удовлетворение. Он также обратился к г-ну Лапласу по тому же вопросу и провел с ним серьезный спор, в котором тот расходился с этим выдающимся математиком. Разница была вызвана восклицанием первого консула, который спросил тоном восклицания или восхищения (когда мы говорили о размерах звездных небес): «А кто автор всего этого!» Монс. Де ла Пляс хотел показать, что цепочка естественных причин объясняет строительство и сохранение этой чудесной системы. Этому первый консул скорее воспротивился. На эту тему можно многое сказать; объединив аргументы обоих, мы придем к «Природе и Богу природы».
Поскольку здесь не упоминается высказывание Лапласа: «Эта гипотеза мне не нужна», Дэниел Джонсон [90] утверждает, что «Лаплас никогда не употреблял приписываемых ему слов». Однако показания Араго, похоже, подразумевают, что он это сделал, но не в отношении существования Бога.
Выросший в католичестве, Лаплас, по-видимому, во взрослой жизни был склонен к деизму (вероятно, это его продуманная позиция, поскольку она единственная, встречающаяся в его произведениях). Однако некоторые из его современников считали его атеистом , в то время как ряд недавних ученых называли его агностиком .
Фэй думала, что Лаплас «не исповедовал атеизм». [85] но Наполеон на острове Святой Елены сказал генералу Гаспару Гурго : «Я часто спрашивал Лапласа, что он думает о Боге. Он признался, что был атеистом». [91] Роджер Хан в своей биографии Лапласа упоминает званый ужин, на котором «геолог Жан-Этьен Геттар был ошеломлен смелым осуждением Лапласом существования Бога». Геттару казалось, что атеизм Лапласа «подкреплялся радикальным материализмом ». [92] Но химик Жан-Батист Дюма , хорошо знавший Лапласа в 1820-е годы, писал, что Лаплас «предоставлял материалистам свои благовидные аргументы, не разделяя их убеждений». [93] [94]
Хан утверждает: «Нигде в своих произведениях, ни публичных, ни частных, Лаплас не отрицает существование Бога». [95] В его частных письмах встречаются выражения, которые кажутся несовместимыми с атеизмом. [4] Например, 17 июня 1809 года он писал своему сыну: « Я молюсь, чтобы Бог наблюдал за твоими днями. Пусть Он всегда присутствует в твоих мыслях, так же как и твой отец и твоя мать [Я молюсь, чтобы Бог наблюдал за твоими днями» . Пусть Он всегда будет присутствовать в твоих мыслях, как и твой отец и твоя мать]». [86] [96] Ян С. Гласс, цитируя рассказ Гершеля о знаменитом разговоре с Наполеоном, пишет, что Лаплас был «очевидно деистом, как Гершель». [97]
В «Изложении системы мира » Лаплас цитирует утверждение Ньютона о том, что «чудесное расположение Солнца, планет и комет может быть делом только всемогущего и разумного Существа». [98] Это, говорит Лаплас, «мысль, в которой он [Ньютон] подтвердился бы еще больше, если бы знал то, что мы показали, а именно, что условия расположения планет и их спутников являются именно такими, которые обеспечивают его устойчивость». ". [99] Показав, что «замечательное» расположение планет можно полностью объяснить законами движения, Лаплас устранил необходимость вмешательства «высшего разума», как это «заставил» Ньютон. [100] Лаплас с одобрением цитирует критику Лейбница по поводу призыва Ньютона к божественному вмешательству для восстановления порядка в Солнечной системе: «Это значит иметь очень узкие представления о мудрости и силе Бога». [101] Он, очевидно, разделял удивление Лейбница по поводу убеждения Ньютона, «что Бог создал его машину настолько плохо, что, если он не повлияет на нее каким-то необычным способом, часы очень скоро перестанут идти». [102]
В группе рукописей, хранящихся в относительной тайне в черном конверте в библиотеке Академии наук и впервые опубликованных Ханом, Лаплас изложил деистическую критику христианства. Он пишет, что это «первый и самый непогрешимый принцип... отвергать чудесные факты как ложные». [103] Что касается учения о пресуществлении , то оно «оскорбляет одновременно разум, опыт, показания всех наших чувств, вечные законы природы и возвышенные идеи, которые мы должны формировать о Высшем Существе». Было бы полнейшим абсурдом предполагать, что «суверенный законодатель вселенной приостановил бы действие законов, которые он установил и которые, по-видимому, неизменно поддерживал». [104]
Лаплас также высмеивал использование вероятности в теологии. Даже следуя рассуждениям Паскаля, изложенным в пари Паскаля , не стоит делать ставку на надежду на прибыль – равную произведению ценности свидетельств (бесконечно малой) и ценности обещанного ими счастья (которая значительна, но конечный) – обязательно должен быть бесконечно малым. [105]
В преклонном возрасте Лаплас по-прежнему интересовался вопросом о Боге. [106] и часто обсуждал христианство со швейцарским астрономом Жаном-Фредериком-Теодором Морисом. [107] Он сказал Морису, что «христианство — прекрасная вещь», и высоко оценил его цивилизующее влияние. Морис думал, что основа верований Лапласа мало-помалу видоизменяется, но он твердо придерживался своего убеждения, что неизменность законов природы не допускает сверхъестественных событий. [106] После смерти Лапласа Пуассон сказал Морису: «Вы знаете, что я не разделяю ваших [религиозных] взглядов, но моя совесть заставляет меня рассказать что-то, что наверняка вам понравится». Когда Пуассон похвалил Лапласа за его «блестящие открытия», умирающий посмотрел на него задумчивым взглядом и ответил: «Ах! Мы гонимся за призраками [ химерами ]». [108] Это были его последние слова, истолкованные Морисом как осознание предельной « суеты » земных занятий. [109] Лаплас получил последний обряд от священника Этранжерской миссии (в приходе которой он должен был быть похоронен). [94] и кюре Аркейля. [109]
По словам его биографа Роджера Хана, «неправдоподобно», что у Лапласа «конец был настоящим католиком», и что он «остался скептиком» до самого конца своей жизни. [110] Лапласа в последние годы его жизни называли агностиком. [111] [112] [113]
В 1470 году -гуманист учёный Бартоломео Платина написал: [114] что папа Калликст III просил молитв об избавлении от турок во время появления кометы Галлея в 1456 году . Рассказ Платины не согласуется с записями Чёрча, в которых комета не упоминается. Утверждается, что Лаплас приукрасил эту историю, заявив, что Папа « отлучил » от церкви комету Галлея. [115] На самом деле Лаплас в «Экспозиции системы мира» (1796 г.) сказал, что Папа приказал «изгнать » комету ( conjuré ). Именно Араго в «Кометах в целом» (1832) впервые заговорил об отлучении от церкви. [116] [117] [118]
Мне не нужна была эта гипотеза. («Je n'avais pas besoin de cettehythèse-là», якобы как ответ Наполеону , который спросил, почему он не упомянул Бога в своей книге по астрономии .) [11]
Поэтому очевидно, что... (Часто используется в Небесной механике , когда он что-то доказал, а доказательство потерял или нашел его неуклюжим. Печально известен как сигнал к чему-то истинному, но трудно доказуемому.)
Если мы ищем причину везде, где мы воспринимаем симметрию, то это не значит, что мы считаем симметричное событие менее возможным, чем другие, но, поскольку это событие должно быть следствием регулярной причины или причины случая, первое из этих предположений более вероятно, чем второе. [122]
Чем экстраординарнее событие, тем больше необходимость в его подтверждении вескими доказательствами. [123]
«Мы настолько далеки от знания всех агентов природы и их разнообразных способов действия, что было бы не философски отрицать явления только потому, что они необъяснимы при современном состоянии наших знаний. Но мы должны рассматривать их со всем вниманием. тем более щепетильнее, чем труднее признать их». [124]
Это повторяется в Теодора Флурнуа работе « От Индии до планеты Марс» как «Принцип Лапласа» или: «Вес доказательств должен быть пропорционален странности фактов». [125]
Чаще всего повторяется так: «Весность доказательств экстраординарного утверждения должна быть пропорциональна его странности». (см. также: Стандарт Сагана )
Эта простота соотношений не покажется удивительной, если принять во внимание, что все явления природы суть лишь математические результаты небольшого числа непреложных законов . [126]
Бесконечно разнообразна в своих действиях, природа проста в своих причинах. [127]
То, что мы знаем, мало, а то, о чем мы не знаем, огромно. (Фурье комментирует: «Таков был, по крайней мере, смысл его последних слов, которые были произнесены с трудом».) [63]
Из этого эссе видно, что теория вероятностей — это, по сути, всего лишь здравый смысл, сведенный к исчислению. Он позволяет точно оценить, что чувствуют здравомыслящие люди, своего рода инстинктом, часто не имея возможности объяснить это. [128]
Топлис, Дж. (пер.) (1814) Трактат по аналитической механике Ноттингем: Х. Барнетт
Лаплас, Пьер Симон Маркиз Де (2007) [1902]. Философский очерк о вероятностях . Перевод Траскотта, Ф.В. и Эмори, Флорида, Козимо. ISBN 978-1-60206-328-0 . , перевод с французского 6-го изд. (1840)
^ Лаплас, Пьер Симон, Философское эссе о вероятностях , перевод с 6-го французского издания Фредериком Уилсоном Траскоттом и Фредериком Линкольном Эмори. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 1902, с. 19. Издание Dover Publications (Нью-Йорк, 1951 г.) имеет такую же нумерацию страниц.
↑ Дневник Уильяма Гершеля о его поездке в Париж, цитируется на стр. 310 из The Herschel Chronicle , Констанс А. Лаббок, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2013, ISBN 1-107-65001-1 .
^ Дюма, Жан-Батист (1885). Академические беседы и похвалы , Vol. II. Париж: Готье-Виллар, с. 255.
^ Перейти обратно: а б Кнеллер, Карл Алоис. Христианство и лидеры современной науки: вклад в историю культуры девятнадцатого века , перевод второго немецкого издания Т.М. Кеттла. Лондон: Б. Гердер, 1911, стр. 73–74 .
^ Лейбниц Конти , ноябрь или декабрь 1715 г., в изд. Герберта Александра, Переписка Лейбница-Кларка (Manchester University Press, 1956), Приложение B. 1: «Лейбниц и Ньютон Конти», стр. 185 ISBN 0-7190-0669-4 ; цитируется у Лапласа, Exposition , 1827, с. 524.
^ Лейбниц Конти, 1715 г., в Александре, изд., 1956, стр. 185.
^ Роджер Хан (2005). Пьер Симон Лаплас, 1749–1827: решительный учёный . Издательство Гарвардского университета. п. 204. ИСБН 978-0-674-01892-1 . Католическая газета La Quotidienne [The Daily] объявила, что Лаплас умер на руках двух кюре (священников), подразумевая, что у него был настоящий католический конец, но это неправдоподобно. До конца он оставался скептиком, верным своему детерминистскому вероучению и бескомпромиссному духу, основанному на его обширном научном опыте.
^ Роджер Хан (2005). Пьер Симон Лаплас, 1749–1827: решительный учёный . Издательство Гарвардского университета. п. 202. ИСБН 978-0-674-01892-1 . Публично Лаплас придерживался своих агностических убеждений и даже в старости продолжал скептически относиться к любой функции Бога, которую мог бы играть в детерминистской вселенной.
^ Моррис Клайн (1986). Математика и поиск знаний . Издательство Оксфордского университета. п. 214. ИСБН 978-0-19-504230-6 . Лагранж и Лаплас, хотя и были католиками по происхождению, были агностиками.
^ Эдвард Каснер; Джеймс Ньюман; Джеймс Рой Ньюман (2001). Математика и воображение . Публикации Courier Dover. п. 253. ИСБН 978-0-486-41703-5 . Современная физика, да и вся современная наука, столь же скромна, как Лагранж, и столь же агностична, как Лаплас.
^ Э. Эмерсон (1910). Комета Лор . Шиллинг Пресс, Нью-Йорк. п. 83.
Бигурдан, Г. (1931). «Юность П.-С. Лапласа». Современная наука (на французском языке). 9 : 377–384.
Кросланд, М. (1967). Общество Аркейля: взгляд на французскую науку во времена Наполеона I. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-435-54201-6 .
– (2006) «Империя науки в наполеоновской Франции», История науки , том. 44, стр. 29–48.
Дикин, Майкл AB (1982). «Развитие преобразования Лапласа, 1737–1937 II. От Пуанкаре до Дётча, 1880–1937». Архив истории точных наук . 26 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 351–381. дои : 10.1007/bf00418754 . ISSN 0003-9519 . S2CID 123071842 . </ref>
Домбрес, Дж. (1989). «Теория капиллярности по Лапласу: поверхностная или расширенная математизация». Обзор истории наук и их приложений (на французском языке). 62 :43–70. дои : 10.3406/rhs.1989.4134 .
Дювин Д. и Хан Р. (1957). «Преемственность Лапласа на посту Безу студента-эксперта-артиллериста». Исида . 48 (4): 416–427. дои : 10.1086/348608 . S2CID 143451316 .
Гиллиспи, CC (1972). «Вероятность и политика: Лаплас, Кондорсе и Тюрго». Труды Американского философского общества . 116 (1): 1–20.
Гиллиспи, Чарльз (1997). Пьер-Симон Лаплас, 1749–1827: жизнь в точной науке . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01185-0 . OCLC 36656386 .
Граттан-Гиннесс, И. , 2005, «Изложение мировой системы» и «Трактат о небесной механике» в его « Веховых трудах по западной математике» . Эльзевир: 242–57.
Гриббин, Джон . Ученые: история науки, рассказанная через жизни ее величайших изобретателей . Нью-Йорк, Рэндом Хаус, 2002. с. 299.
Хан, Р. (1955). «Религиозные взгляды Лапласа». Международные архивы истории наук . 8 : 38–40.
– (1981) «Лаплас и исчезающая роль Бога в физической вселенной», в книге Вульф, Генри, изд., « Аналитический дух: Очерки истории науки» . Итака, Нью-Йорк: Издательство Корнельского университета. ISBN 0-8014-1350-8 .
Хан, Роджер (1982). Календарь переписки Пьера Симона Лапласа . Беркли: Управление истории науки и техники, Калифорнийский университет, Беркли. ISBN 978-0-918102-07-2 . OCLC 8877709 .
Хан, Роджер (1994). Новый календарь переписки Пьера Симона Лапласа . Беркли, Калифорния: Управление истории науки и технологий Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 978-0-918102-20-1 . OCLC 31967034 .
Хан, Роджер (2005). Пьер Симон Лаплас, 1749–1827: решительный ученый (на итальянском языке). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-01892-1 . OCLC 58457459 .
Израиль, Вернер (1987). «Темные звезды: эволюция идеи». В Хокинге, Стивен В.; Израиль, Вернер (ред.). 300 лет гравитации . Издательство Кембриджского университета. стр. 199–276.
«О движении тела, падающего с большой высоты» (Лаплас, 1803), онлайн и проанализировано на BibNum . Архивировано 2 апреля 2015 г. на Wayback Machine (на английском языке).
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 9ba30152eb9a02d1230bb5207a40df05__1717908780 URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/9b/05/9ba30152eb9a02d1230bb5207a40df05.html Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Pierre-Simon Laplace - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}} &+{\frac {1}{a\cos(\varphi)}}\left[{\frac {\ частичное {\partial \lambda }}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(vD\cos(\varphi)\right)\right]=0,\\[2ex ]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\left(2\Omega \sin(\varphi)\right)+{\frac {1}{a\cos(\varphi)}} {\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left(g\zeta +U\right)=0\qquad {\text{and}}\\[2ex]{\frac {\partial v}{ \partial t}}&+u\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left (g\zeta +U\right)=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601d1e09a0888770e6a0fbdd06f9376f2b9403b5)
![{\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\left[1-2\cos(\theta '-\theta){\frac {r}{r' }}+\left({\frac {r}{r'}}\right)^{2}\right]^{- {\tfrac {1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea54b1c6f95725f7ff719799b85635a92b103d4)
» Пьера-Симона Лапласа Тома 1-5 « Трактата о небесной механике (1799 г.)
Титульный лист I тома « Трактата о небесной механике » (1799 г.)
Оглавление I тома « Трактата о небесной механике » (1799 г.)
Первая страница I тома « Трактата о небесной механике » (1799 г.)
