Инвариант Лапласа

В дифференциальных уравнениях любого инвариантом Лапласа из некоторых дифференциальных операторов является определенная функция коэффициентов и их производных . Рассмотрим двумерный гиперболический дифференциальный оператор второго порядка

$\partial _{x}\,\partial _{y}+a\,\partial _{x}+b\,\partial _{y}+c,\,$

чьи коэффициенты

$a=a(x,y),\ \ b=c(x,y),\ \ c=c(x,y),$

являются гладкими функциями двух переменных. Его инварианты Лапласа имеют вид

${\hat {a}}=c-ab-a_{x}\quad {\text{and}}\quad {\hat {b}}=c-ab-b_{y}.$

Их важность обусловлена ​​классической теоремой:

Теорема : Два оператора вида эквивалентны относительно калибровочных преобразований тогда и только тогда, когда их инварианты Лапласа попарно совпадают.

Здесь операторы

$A\quad {\text{and}}\quad {\tilde {A}}$

называются эквивалентными, если существует калибровочное преобразование , переводящее одно в другое:

${\tilde {A}}g=e^{-\varphi }A(e^{\varphi }g)\equiv A_{\varphi }g.$

Инварианты Лапласа можно рассматривать как «остатки» факторизации исходного оператора A :

$\partial _{x}\,\partial _{y}+a\,\partial _{x}+b\,\partial _{y}+c=\left\{{\begin{array}{c}(\partial _{x}+b)(\partial _{y}+a)-ab-a_{x}+c,\\(\partial _{y}+a)(\partial _{x}+b)-ab-b_{y}+c.\end{array}}\right.$

Если хотя бы один из инвариантов Лапласа не равен нулю, т.е.

$c-ab-a_{x}\neq 0\quad {\text{and/or}}\quad c-ab-b_{y}\neq 0,$

то это представление является первым шагом преобразований Лапласа – Дарбу, используемых для решения нефакторизуемые двумерные линейные дифференциальные уравнения в частных производных (LPDE).

Если оба инварианта Лапласа равны нулю, т.е.

$c-ab-a_{x}=0\quad {\text{and}}\quad c-ab-b_{y}=0,$

тогда дифференциальный оператор A факторизуем и соответствующее линейное уравнение в частных производных второго порядка разрешимо.

Инварианты Лапласа были введены для двумерного линейного оператора в частных производных (ЛДДО) порядка 2 гиперболического типа. Они представляют собой частный случай обобщенных инвариантов , которые можно построить для двумерного LPDO произвольного порядка и произвольного типа; см. Инвариантную факторизацию LPDO .

См. также

• Частная производная
• Инвариант (математика)
• Инвариантная теория

Ссылки

• Ж. Дарбу, «Уроки общей теории поверхностей», Готье-Виллар (1912) (Издание: второе)
• Г. Цитцейка Г., “К одной теореме М. Дарбу”. Comptes Rendu de l’Academie des Sciences 150 (1910), стр. 955–956; 971–974
• Л. Бьянки, «Уроки дифференциальной геометрии», Заничелли, Болонья (1924).
• А. Б. Шабат, "К теории преобразований Лапласа–Дарбу". Дж. Теория. Математика. Физ. Том. 103, №1, с. 170–175 (1995) [1]
• А.Н. Лезнов, М.П. Савельев. "Теоретико-групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем" (Русский), Москва, Наука (1985). Английский перевод: Прогресс в физике, 15. Birkhauser Verlag, Базель (1992).