Инвариантная факторизация LPDO

Факторизация линейного оператора в частных производных (LPDO) является важным вопросом теории интегрируемости из-за преобразований Лапласа-Дарбу: которые позволяют строить интегрируемые ЛДДУ. Лаплас решил задачу факторизации двумерного гиперболического оператора второго порядка (см. Гиперболическое уравнение в частных производных ), построив два инварианта Лапласа. Каждый инвариант Лапласа представляет собой явное полиномиальное условие факторизации; коэффициенты этого полинома являются явными функциями коэффициентов исходного LPDO. Полиномиальные условия факторизации называются инвариантами , поскольку они имеют один и тот же вид для эквивалентных (т. е. самосопряженных) операторов.

Факторизация Билса-Карташова (также называемая БК-факторизацией) — конструктивная процедура факторизации двумерного оператора произвольного порядка и произвольной формы . Соответственно, условия факторизации в этом случае также имеют полиномиальный вид, являются инвариантами и совпадают с инвариантами Лапласа для двумерных гиперболических операторов второго порядка. Процедура факторизации является чисто алгебраической, количество возможных факторизаций зависит от количества простых корней характеристического полинома (также называемого символом) исходного LPDO и приведенных LPDO, появляющихся на каждом этапе факторизации. Ниже описана процедура факторизации для двумерного оператора произвольного вида порядка 2 и 3. Формулы явной факторизации для оператора порядка $n$ можно найти в Общие инварианты определены в а инвариантная формулировка факторизации Билса-Карташовой приведена в

Факторизация Билса-Карташовой

Оператор 2-го порядка

Рассмотрим оператор

${\mathcal {A}}_{2}=a_{20}\partial _{x}^{2}+a_{11}\partial _{x}\partial _{y}+a_{02}\partial _{y}^{2}+a_{10}\partial _{x}+a_{01}\partial _{y}+a_{00}.$

с гладкими коэффициентами и искать факторизацию

${\mathcal {A}}_{2}=(p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y}+p_{3})(p_{4}\partial _{x}+p_{5}\partial _{y}+p_{6}).$

Запишем уравнения на $p_{i}$ явно, сохраняяпомните о правиле левой композиции, т.е. о том, что

$\partial _{x}(\alpha \partial _{y})=\partial _{x}(\alpha )\partial _{y}+\alpha \partial _{xy}.$

Тогда во всех случаях

$a_{20}=p_{1}p_{4},$

$a_{11}=p_{2}p_{4}+p_{1}p_{5},$

$a_{02}=p_{2}p_{5},$

$a_{10}={\mathcal {L}}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{6},$

$a_{01}={\mathcal {L}}(p_{5})+p_{3}p_{5}+p_{2}p_{6},$

$a_{00}={\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},$

где обозначение ${\mathcal {L}}=p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y}$ используется.

Не теряя общности, $a_{20}\neq 0,$ т.е. $p_{1}\neq 0,$ и его можно принять за 1, $p_{1}=1.$ Теперь решение системы 6 уравнений о переменных

$p_{2},$ $...$ $p_{6}$

можно найти в три шага .

На первом этапе корни квадратного многочлена необходимо найти .

На втором этапе линейную систему двух алгебраических уравнений необходимо решить .

На третьем этапе необходимо одно алгебраическое условие проверить .

Шаг 1. Переменные

$p_{2},$ $p_{4},$ $p_{5}$

можно найти из первых трех уравнений:

$a_{20}=p_{1}p_{4},$

$a_{11}=p_{2}p_{4}+p_{1}p_{5},$

$a_{02}=p_{2}p_{5}.$

(Возможные) решения тогда являются функциями корней квадратного многочлена:

${\mathcal {P}}_{2}(-p_{2})=a_{20}(-p_{2})^{2}+a_{11}(-p_{2})+a_{02}=0$

Позволять $\omega$ быть корнем многочлена ${\mathcal {P}}_{2},$затем

$p_{1}=1,$

$p_{2}=-\omega ,$

$p_{4}=a_{20},$

$p_{5}=a_{20}\omega +a_{11},$

Шаг 2. Подстановка результатов, полученных на первом шаге, в следующие два уравнения

$a_{10}={\mathcal {L}}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{6},$

$a_{01}={\mathcal {L}}(p_{5})+p_{3}p_{5}+p_{2}p_{6},$

дает линейную систему двух алгебраических уравнений:

$a_{10}={\mathcal {L}}a_{20}+p_{3}a_{20}+p_{6},$

$a_{01}={\mathcal {L}}(a_{11}+a_{20}\omega )+p_{3}(a_{11}+a_{20}\omega )-\omega p_{6}.,$

В частности , если корень $\omega$ это просто,т.е.

${\mathcal {P}}_{2}'(\omega )=2a_{20}\omega +a_{11}\neq 0,$ тогда эти

уравнения имеют единственное решение:

$p_{3}={\frac {\omega a_{10}+a_{01}-\omega {\mathcal {L}}a_{20}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}},$

$p_{6}={\frac {(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20})-a_{20}(a_{01}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11}))}{2a_{20}\omega +a_{11}}}.$

На этом этапе для каждого корень многочлена ${\mathcal {P}}_{2}$ соответствующий набор коэффициентов $p_{j}$ вычисляется.

Шаг 3. Проверьте условие факторизации (которое является последним из исходных 6 уравнений)

$a_{00}={\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},$

записанное в известных переменных $p_{j}$ и $\omega$):

$a_{00}={\mathcal {L}}\left\{{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\right\}+{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\times {\frac {a_{20}(a_{01}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11}))+(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}$

Если

$l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}\left\{{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\right\}+{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\times {\frac {a_{20}(a_{01}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11}))+(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}=0,$

оператор ${\mathcal {A}}_{2}$ является факторизуемой и имеет явную форму для коэффициентов факторизации $p_{j}$ дано выше.

Оператор 3-го заказа

Рассмотрим оператор

${\mathcal {A}}_{3}=\sum _{j+k\leq 3}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}=a_{30}\partial _{x}^{3}+a_{21}\partial _{x}^{2}\partial _{y}+a_{12}\partial _{x}\partial _{y}^{2}+a_{03}\partial _{y}^{3}+a_{20}\partial _{x}^{2}+a_{11}\partial _{x}\partial _{y}+a_{02}\partial _{y}^{2}+a_{10}\partial _{x}+a_{01}\partial _{y}+a_{00}.$

с гладкими коэффициентами и искать факторизацию

${\mathcal {A}}_{3}=(p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y}+p_{3})(p_{4}\partial _{x}^{2}+p_{5}\partial _{x}\partial _{y}+p_{6}\partial _{y}^{2}+p_{7}\partial _{x}+p_{8}\partial _{y}+p_{9}).$

Аналогично случаю с оператором ${\mathcal {A}}_{2},$ условия факторизации описываются следующей системой:

$a_{30}=p_{1}p_{4},$

$a_{21}=p_{2}p_{4}+p_{1}p_{5},$

$a_{12}=p_{2}p_{5}+p_{1}p_{6},$

$a_{03}=p_{2}p_{6},$

$a_{20}={\mathcal {L}}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{7},$

$a_{11}={\mathcal {L}}(p_{5})+p_{3}p_{5}+p_{2}p_{7}+p_{1}p_{8},$

$a_{02}={\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6}+p_{2}p_{8},$

$a_{10}={\mathcal {L}}(p_{7})+p_{3}p_{7}+p_{1}p_{9},$

$a_{01}={\mathcal {L}}(p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9},$

$a_{00}={\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},$

с ${\mathcal {L}}=p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y},$ и снова $a_{30}\neq 0,$ т.е. $p_{1}=1,$ и трехэтапная процедура дает:

На первом этапе корни кубического многочлена

${\mathcal {P}}_{3}(-p_{2}):=a_{30}(-p_{2})^{3}+a_{21}(-p_{2})^{2}+a_{12}(-p_{2})+a_{03}=0.$

надо найти. Снова $\omega$ обозначает корень, а первые четыре коэффициента равны

$p_{1}=1,$

$p_{2}=-\omega ,$

$p_{4}=a_{30},$

$p_{5}=a_{30}\omega +a_{21},$

$p_{6}=a_{30}\omega ^{2}+a_{21}\omega +a_{12}.$

На втором этапе линейную систему трех алгебраических уравнений необходимо решить :

$a_{20}-{\mathcal {L}}a_{30}=p_{3}a_{30}+p_{7},$

$a_{11}-{\mathcal {L}}(a_{30}\omega +a_{21})=p_{3}(a_{30}\omega +a_{21})-\omega p_{7}+p_{8},$

$a_{02}-{\mathcal {L}}(a_{30}\omega ^{2}+a_{21}\omega +a_{12})=p_{3}(a_{30}\omega ^{2}+a_{21}\omega +a_{12})-\omega p_{8}.$

На третьем этапе необходимо два алгебраических условия проверить .

Инвариантная формулировка

Определение Операторы ${\mathcal {A}}$, ${\tilde {\mathcal {A}}}$ называютсяэквивалентно, если существует калибровочное преобразование, переводящее вдругой:

${\tilde {\mathcal {A}}}g=e^{-\varphi }{\mathcal {A}}(e^{\varphi }g).$

В этом случае BK-факторизация представляет собой чисто алгебраическую процедуру, позволяющуюявно построить факторизацию LPDO произвольного порядка ${\tilde {\mathcal {A}}}$в форме

${\mathcal {A}}=\sum _{j+k\leq n}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}={\mathcal {L}}\circ \sum _{j+k\leq (n-1)}p_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}$

с оператором первого порядка ${\mathcal {L}}=\partial _{x}-\omega \partial _{y}+p$ где $\omega$ — произвольный простой корень характеристического многочлена

${\mathcal {P}}(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k,k}t^{n-k},\quad {\mathcal {P}}(\omega )=0.$

Факторизация возможна тогда для каждого простого корня ${\tilde {\omega }}$ если только

для $n=2\ \ \rightarrow l_{2}=0,$

для $n=3\ \ \rightarrow l_{3}=0,l_{31}=0,$

для $n=4\ \ \rightarrow l_{4}=0,l_{41}=0,l_{42}=0,$

и так далее. Все функции $l_{2},l_{3},l_{31},l_{4},l_{41},\ \ l_{42},...$ являются известными функциями, например,

$l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},$

$l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},$

$l_{31}=a_{01}-{\mathcal {L}}(p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9},$

и так далее.

Теорема Все функции

$l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},....$

являются инвариантами относительно калибровочных преобразований.

определения Инварианты $l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},.....$ являютсяназываются обобщенными инвариантами двумерного оператора произвольногозаказ.

В частном случае двумерного гиперболического оператора его обобщенныйинварианты совпадают с инвариантами Лапласа (см. Инвариант Лапласа ).

Следствие. Если оператор ${\tilde {\mathcal {A}}}$ факторизуемо, то всеэквивалентные ему операторы также факторизуемы.

Эквивалентные операторы легко вычислить:

$e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi }=\partial _{x}+\varphi _{x},\quad e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=\partial _{y}+\varphi _{y},$

$e^{-\varphi }\partial _{x}\partial _{y}e^{\varphi }=e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi }e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=(\partial _{x}+\varphi _{x})\circ (\partial _{y}+\varphi _{y})$

и так далее. Некоторые примеры приведены ниже:

$A_{1}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+1=\partial _{x}(\partial _{y}+x),\quad l_{2}(A_{1})=1-1-0=0;$

$A_{2}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+\partial _{y}+x+1,\quad A_{2}=e^{-x}A_{1}e^{x};\quad l_{2}(A_{2})=(x+1)-1-x=0;$

$A_{3}=\partial _{x}\partial _{y}+2x\partial _{x}+(y+1)\partial _{y}+2(xy+x+1),\quad A_{3}=e^{-xy}A_{2}e^{xy};\quad l_{2}(A_{3})=2(x+1+xy)-2-2x(y+1)=0;$

$A_{4}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+(\cos x+1)\partial _{y}+x\cos x+x+1,\quad A_{4}=e^{-\sin x}A_{2}e^{\sin x};\quad l_{2}(A_{4})=0.$

Транспонировать

Факторизация оператора является первым шагом на пути решения соответствующего уравнения. Но для решения нам нужны правые факторы, а BK-факторизация создает левые факторы, которые легко построить. С другой стороны, существование определенного правого фактора LPDO эквивалентно существованию соответствующего левого фактора транспонирования этого оператора.

Определение Транспонирование ${\mathcal {A}}^{t}$ оператора ${\mathcal {A}}=\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha },\qquad \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}.$определяется как ${\mathcal {A}}^{t}u=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(a_{\alpha }u).$и личность $\partial ^{\gamma }(uv)=\sum {\binom {\gamma }{\alpha }}\partial ^{\alpha }u,\partial ^{\gamma -\alpha }v$подразумевает, что ${\mathcal {A}}^{t}=\sum (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}(\partial ^{\beta }a_{\alpha +\beta })\partial ^{\alpha }.$

Теперь коэффициенты

${\mathcal {A}}^{t}=\sum {\tilde {a}}_{\alpha }\partial ^{\alpha },$${\tilde {a}}_{\alpha }=\sum (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta }(a_{\alpha +\beta }).$

со стандартным соглашением для биномиальных коэффициентов в несколькихпеременные (см. Биномиальный коэффициент ), например, в двух переменных

${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {(\alpha _{1},\alpha _{2})}{(\beta _{1},\beta _{2})}}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\,{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}.$

В частности, для оператора ${\mathcal {A}}_{2}$ коэффициенты ${\tilde {a}}_{jk}=a_{jk},\quad j+k=2;{\tilde {a}}_{10}=-a_{10}+2\partial _{x}a_{20}+\partial _{y}a_{11},{\tilde {a}}_{01}=-a_{01}+\partial _{x}a_{11}+2\partial _{y}a_{02},$

${\tilde {a}}_{00}=a_{00}-\partial _{x}a_{10}-\partial _{y}a_{01}+\partial _{x}^{2}a_{20}+\partial _{x}\partial _{x}a_{11}+\partial _{y}^{2}a_{02}.$

Например, оператор

$\partial _{xx}-\partial _{yy}+y\partial _{x}+x\partial _{y}+{\frac {1}{4}}(y^{2}-x^{2})-1$

факторизуется как

${\big [}\partial _{x}+\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(y-x){\big ]}\,{\big [}...{\big ]}$

и его транспонировать ${\mathcal {A}}_{1}^{t}$ факторизуется тогда как ${\big [}...{\big ]}\,{\big [}\partial _{x}-\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(y+x){\big ]}.$

См. также

• Частная производная
• Инвариант (математика)
• Инвариантная теория
• Характеристический полином

Ссылки

• Дж. Вайс. Преобразование Беклунда и свойство Пенлеви. [1] Дж. Математика. Физ. 27 , 1293-1305 (1986).
• Р. Билс, Е. Карташова. Конструктивный факторинг линейных операторов в частных производных от двух переменных. Теор. Математика. Физ. 145 (2), стр. 1510-1523 (2005).
• Е. Карташова. Иерархия обобщенных инвариантов линейных дифференциальных операторов в частных производных. Теор. Математика. Физ. 147 (3), стр. 839-846 (2006).
• Е. Карташова, О. Руденко. Инвариантная форма БК-факторизации и ее приложения. Учеб. GIFT-2006, стр. 225–241, ред.: Дж. Калмет, Р.В. Такер, издательство Университета Карлсруэ (2006); arXiv