Принцип Лапласа (теория больших уклонений)

В математике , принцип Лапласа является основной теоремой теории больших уклонений аналогичной лемме Варадхана . Он дает асимптотическое выражение для интеграла Лебега от exp(− θφ ( x )) по фиксированному множеству A, когда θ становится большим. Такие выражения можно использовать, например, в статистической механике для определения предельного поведения системы при стремлении температуры к абсолютному нулю .

Заявление о результате

Пусть A подмножество по Лебегу — измеримое d - мерного евклидова пространства R ^д и пусть φ : R ^д → R — измеримая функция с

$\int _{A}e^{-\varphi (x)}\,dx<\infty .$

Затем

$\lim _{\theta \to \infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x),$

где ess inf обозначает существенную нижнюю грань . Эвристически это можно прочитать как утверждение, что для θ больших

$\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).$

Приложение

Принцип Лапласа можно применить к семейству вероятностных мер P _θ, заданных формулой

$\mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\right){\bigg /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,dy\right)$

чтобы дать асимптотическое выражение вероятности некоторого события A, когда θ становится большим. Например, если X — стандартная нормально распределенная случайная величина на R , то

$\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}$

для каждого измеримого множества A .

См. также

• метод Лапласа

Ссылки

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений . Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN  0-387-98406-2 . МИСТЕР 1619036