Самое низкое и самое важное

В математике понятия существенной нижней и существенной верхней грани родственны понятиям нижней и верхней граней , но адаптированы для теории измерения и функционального анализа , где часто приходится иметь дело с утверждениями, которые справедливы не для всех элементов множества , а скорее почти для всех элементов множества. везде , кроме множества меры нуль .

Хотя точное определение не является сразу простым, интуитивно основная верхняя граница функции — это наименьшее значение, которое больше или равно значениям функции повсюду, игнорируя при этом то, что функция делает в наборе точек нулевой меры. Например, если взять функцию $f(x)$ который равен нулю везде, кроме точки $x=0$ где $f(0)=1,$ тогда верхняя грань функции равна единице. Однако ее существенная верхняя грань равна нулю, если мы применяем меру Лебега-Бореля и можем игнорировать то, что функция делает в единственной точке, где $f$ является своеобразным. Аналогичным образом определяется существенная нижняя грань.

Определение

Как это часто бывает в вопросах теории меры, определение существенной верхней и нижней границы не начинается с вопроса, что представляет собой функция $f$ делает в точках $x$ есть образ ( то $f$), а скорее запросив набор баллов $x$ где $f$ равно определенному значению $y$ есть прообраз ( то $y$ под $f$).

Позволять $f:X\to \mathbb {R}$ быть вещественнозначной определенной функцией, на множестве $X.$ Супремум ​ функции $f$ характеризуется следующим свойством: $f(x)\leq \sup f\leq \infty$ для всех $x\in X$ и если для некоторых $a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ у нас есть $f(x)\leq a$ для всех $x\in X$ затем $\sup f\leq a.$ Точнее, реальное число. $a$ называется верхней границей для $f$ если $f(x)\leq a$ для всех $x\in X;$ то есть, если набор $$f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}$$пусто ​ . Позволять $$U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,$$— множество верхних границ $f$ и определим нижнюю границу пустого множества по $\inf \varnothing =+\infty .$ Тогда верхняя грань $f$ является $$\sup f=\inf U_{f}$$если набор верхних границ $U_{f}$ непусто, и $\sup f=+\infty$ в противном случае.

Теперь предположим дополнительно, что $(X,\Sigma ,\mu )$ — пространство с мерой , и для простоты предположим, что функция $f$ измеримо. Подобно супремуму, существенный супремум функции характеризуется следующим свойством: $f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty$ для $\mu$- почти все $x\in X$ и если для некоторых $a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ у нас есть $f(x)\leq a$ для $\mu$- почти все $x\in X$ затем $\operatorname {ess} \sup f\leq a.$ Точнее, ряд $a$ называется существенная верхняя граница $f$ если измеримое множество $f^{-1}(a,\infty )$ представляет собой набор $\mu$-измерить ноль, То есть, если $f(x)\leq a$ для $\mu$- почти все $x$ в $X.$ Позволять $$U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}$$— множество существенных верхних границ. Тогда существенная супремум определяется аналогично как $$\operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }$$если $U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,$ и $\operatorname {ess} \sup f=+\infty$ в противном случае.

Точно так же определяют существенная нижняя грань как верхняя грань существенную нижнюю границу s , т.е. $$\operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}$$если множество существенных нижних оценок непусто и так как $-\infty$ в противном случае; снова есть альтернативное выражение, как $\operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}$ (при этом $-\infty$ если множество пусто).

Примеры

На прямой рассмотрим меру Лебега и соответствующую ей 𝜎-алгебру $\Sigma .$ Определить функцию $f$ по формуле $$f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Верхняя грань этой функции (наибольшее значение) равна 5, а нижняя грань (наименьшее значение) равна −4. Однако функция принимает эти значения только на множествах $\{1\}$ и $\{-1\},$ соответственно, которые имеют нулевую меру. Везде функция принимает значение 2. Таким образом, и существенная верхняя грань, и существенная нижняя грань этой функции равны 2.

В качестве другого примера рассмотрим функцию $$f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}$$где $\mathbb {Q}$ обозначает рациональные числа . Эта функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому ее верхняя и нижняя границы равны $\infty$ и $-\infty ,$ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега множество рациональных чисел имеет нулевую меру; таким образом, действительно важно то, что происходит в дополнении к этому набору, где функция задается как $\arctan x.$ Отсюда следует, что существенная верхняя грань равна $\pi /2$ в то время как существенная нижняя грань $-\pi /2.$

С другой стороны, рассмотрим функцию $f(x)=x^{3}$ определено для всех реальных $x.$ Его существенная супремум $+\infty ,$ и его существенная нижняя грань равна $-\infty .$

Наконец, рассмотрим функцию $$f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}$$Тогда для любого $a\in \mathbb {R} ,$ $\mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}$ и так $U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing$ и $\operatorname {ess} \sup f=+\infty .$

Характеристики

Если $\mu (X)>0$ затем $$\inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.$$ и в противном случае, если $X$ имеет меру ноль, тогда $$+\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .$$

Если существенные супремумы двух функций $f$ и $g$ оба неотрицательны, то $\operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).$

Учитывая пространство меры $(S,\Sigma ,\mu ),$ пространство ​ ${\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )$ состоящее из всех измеримых функций, ограниченных почти всюду, является полунормированным пространством которого , полунорма $$\|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}$$является существенным супремумом абсолютного значения функции, когда $\mu (S)\neq 0.$

См. также

• $L^{p}$ пространство - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.

Ссылки

В эту статью включены материалы из Essential supremum на сайте PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .