Лемма Варадхана
В математике названной лемма Варадхана является результатом теории больших уклонений, в честь Шринивасы Варадхана . Результат дает информацию об асимптотическом распределении статистики φ ( Z ε ) семейства случайных величин Z ε, когда ε становится малым с точки зрения функции скорости для переменных.
Утверждение леммы
[ редактировать ]Пусть X — регулярное топологическое пространство ; пусть ( Zε ) в ε >0 — семейство случайных величин, принимающих значения X ; пусть µε — закон ( мера ) Zε вероятностная . Предположим, что ( µ ε ) ε >0 удовлетворяет принципу больших уклонений с хорошей функцией скорости I : X → [0, +∞]. Пусть φ : X → R — любая непрерывная функция . Предположим, что выполнено хотя бы одно из следующих двух условий: либо условие хвоста
![{\displaystyle \lim _{M\to \infty }\limsup _ {\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\ фи (Z_ {\varepsilon })/\varepsilon {\big )}\,\mathbf {1} {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })\geq M{\big )}{\big ]}{\big )}=-\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1fa773e25e0d31746179ca5ff3690fb05527f4)
где 1 ( E ) обозначает индикаторную функцию события E ; или, для некоторого γ > 1, момента условие
![{\displaystyle \limsup _ {\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\gamma \phi (Z_ {\varepsilon }) /\varepsilon {\big )}{\big ]}{\big )}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675a2751ed70c2451a640a74eac63b103cf83d50)
Затем
![{\displaystyle \lim _ {\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\phi (Z_ {\varepsilon })/\varepsilon {\big) }{\big ]}=\sup _{x\in X}{\big (}\phi (x)-I(x){\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba100808619b3d7847eb4c143dacb949c6ac093)
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений . Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2 . МР 1619036 . (См. теорему 4.3.1)