Функция скорости

В математике , в частности в теории больших отклонений , функция скорости — это функция, используемая для количественной оценки вероятностей редких событий. Такие функции используются для формулирования принципов больших уклонений . Принцип большого отклонения количественно определяет асимптотическую вероятность редких событий для последовательности вероятностей.

Функция скорости также называется функцией Крамера , в честь шведского специалиста по теории вероятностей Харальда Крамера .

Определения

Функция оценки. Расширенная действительного значения. функция $I:X\to [0,+\infty ]$ определенный в Хаусдорфа топологическом пространстве $X$ называется функцией скорости, если она не тождественна $+\infty$ и является полунепрерывным снизу, т.е. все множества подуровней

\{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0

закрыты в $X$ . Если при этом они компактны , то $I$ Говорят, что это хорошая функция скорости .

Семейство вероятностных мер $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ на $X$ Говорят, что он удовлетворяет принципу больших отклонений с функцией скорости $I:X\to [0,+\infty )$ (и оцените $1/\delta$ ), если для любого замкнутого множества $F\subseteq X$ и каждый открытый набор $G\subseteq X$ ,

\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}

\liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}

Если верхняя оценка (U) справедлива только для компактных (а не замкнутых) множеств $F$ , затем $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ говорят, что он удовлетворяет слабому принципу больших уклонений (со скоростью $1/\delta$ и слабая функция скорости $I$ ).

Примечания

Роль открытых и замкнутых множеств в принципе больших уклонений аналогична их роли в слабой сходимости вероятностных мер: напомним, что $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ говорят, что он слабо сходится к $\mu$ если для каждого замкнутого множества $F\subseteq X$ и каждый открытый набор $G\subseteq X$ ,

\limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),

\liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).

В литературе существуют некоторые вариации номенклатуры: например, Ден Холландер (2000) использует просто «функцию ставки», тогда как в этой статье — вслед за Дембо и Зейтуни (1998) — используются «функция хорошей ставки» и «функция слабой ставки». ". Рассул-Ага и Сеппяляйнен (2015) используют термин «функция жесткой ставки» вместо «функция хорошей ставки» из-за связи с экспоненциальной строгостью семейства мер. Независимо от номенклатуры, используемой для функций скорости, проверка того, должно ли выполняться неравенство верхней границы (U) для замкнутых или компактных множеств, позволяет определить, является ли используемый принцип больших уклонений сильным или слабым.

Характеристики

Уникальность

Естественный вопрос, который следует задать, учитывая несколько абстрактную структуру приведенной выше общей схемы, заключается в том, является ли функция ставки уникальной. Оказывается, это так: учитывая последовательность вероятностных мер ( µ _δ ) _{δ >0} на X, удовлетворяющих принципу больших уклонений для двух функций скорости I и J , из этого следует, что I ( x ) = J ( x ) для всех Икс € Икс .

Экспоненциальная герметичность

Превратить слабый принцип больших уклонений в сильный можно, если меры сходятся достаточно быстро. Если верхняя оценка справедлива для компактов F и последовательность мер ( μδ ₎ верхняя _{δ >0} , экспоненциально узка оценка справедлива и для замкнутых множеств F. то Другими словами, экспоненциальная строгость позволяет превратить слабый принцип больших уклонений в сильный.

Непрерывность

Наивно можно было бы попытаться заменить два неравенства (U) и (L) единственным требованием, что для всех борелевских S ⊆ X множеств

\lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}

Равенство (E) является слишком ограничительным, поскольку многие интересные примеры удовлетворяют (U) и (L), но не (E). Например, мера µ _δ может быть неатомарной для всех δ , поэтому равенство (E) может выполняться для S = { x } только в том случае, если I тождественно +∞, что не разрешено в определении. Однако неравенства (U) и (L) влекут за собой равенство (E) для так называемых I -непрерывных множеств S ⊆ X , для которых

I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},

где ${\stackrel {\circ }{S}}$ и ${\bar {S}}$ обозначают внутренность и замыкание S X в соответственно . Во многих примерах многие множества/события, представляющие интерес, являются I -непрерывными. Например, если I — непрерывная функция , то все множества S такие, что

S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}

я - непрерывен; например, все открытые множества удовлетворяют этому ограничению.

Трансформация принципов больших отклонений

Учитывая принцип большого отклонения в одном пространстве, часто представляет интерес возможность построить принцип большого отклонения в другом пространстве. В этой области есть несколько результатов:

принцип сжатия говорит нам, как принцип большого отклонения в одном пространстве «продвигается вперед» (посредством продвижения вероятностной меры) к принципу большого отклонения в другом пространстве через непрерывную функцию ;
Теорема Доусона-Гертнера рассказывает, как последовательность принципов больших уклонений в последовательности пространств переходит к проективному пределу .
наклонный принцип больших уклонений дает принцип больших уклонений для интегралов от экспоненциальных функционалов .
экспоненциально эквивалентные меры имеют одинаковые принципы больших отклонений.

История и базовое развитие

Понятие функции скорости появилось в 1930-х годах, когда шведский математик Харальд Крамер исследовал последовательность iid случайных величин ( Z _i ) _{iε $\mathbb {N}$}. А именно, среди некоторых соображений масштабирования Крамер изучил поведение распределения среднего ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ при n →∞. ^[1] Он обнаружил, что хвосты распределения X _n затухают экспоненциально по мере e ^{- nλ ( Икс )} где множитель λ ( x ) в показателе степени представляет собой преобразование Лежандра–Фенхеля (также известное как выпуклое сопряжение ) кумулянтной -производящей функции $\Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.$ По этой причине эту конкретную функцию λ ( x ) иногда называют функцией Крамера . Функция скорости, определенная выше в этой статье, является широким обобщением этого понятия Крамера, более абстрактно определенного в вероятностном пространстве , а не в пространстве состояний случайной величины.

См. также

Ссылки

^ Крамер, Харальд (1938). «О новой предельной теореме теории вероятностей». Конференция, посвященная теории вероятностей. Часть 3. Новости науки и промышленности (на французском языке). 731 :5–23.

Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений . Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2 . МИСТЕР 1619036
ден Холландер, Фрэнк (2000). Большие отклонения . Монографии Института Филдса 14. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. х+143. ISBN 0-8218-1989-5 . МИСТЕР 1739680
Расул-Ага, Фирас; Сеппаляйнен, Тимо (2015). Курс о больших уклонениях с введением в меры Гиббса . Аспирантура по математике 162. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. xiv+318. ISBN 978-0-8218-7578-0 . МИСТЕР 3309619

[1] Крамер, Харальд (1938). «О новой предельной теореме теории вероятностей». Конференция, посвященная теории вероятностей. Часть 3. Новости науки и промышленности (на французском языке). 731 :5–23.

[1]