Экспоненциально эквивалентные меры

В математике экспоненциальная эквивалентность мер — это то, насколько две последовательности или семейства вероятностных мер являются «одинаковыми» с точки зрения теории больших уклонений .

Определение

Позволять $(M,d)$ — метрическое пространство и рассмотрим два однопараметрических семейства вероятностных мер на $M$, сказать $(\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ и $(\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$. Говорят, что эти два семейства экспоненциально эквивалентны , если существуют

• однопараметрическое семейство вероятностных пространств $(\Omega ,\Sigma _{\varepsilon },P_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$,
• две семьи $M$-значные случайные величины $(Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ и $(Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$,

такой, что

• для каждого $\varepsilon >0$, $P_{\varepsilon }$-закон (т.е. мера выталкивания ) $Y_{\varepsilon }$ является $\mu _{\varepsilon }$и $P_{\varepsilon }$-закон $Z_{\varepsilon }$ является $\nu _{\varepsilon }$,
• для каждого $\delta >0$, " $Y_{\varepsilon }$ и $Z_{\varepsilon }$ находятся дальше, чем $\delta$ отдельно" - это $\Sigma _{\varepsilon }$- измеримое событие , т.е.

${\big \{}\omega \in \Omega {\big |}d(Y_{\varepsilon }(\omega ),Z_{\varepsilon }(\omega ))>\delta {\big \}}\in \Sigma _{\varepsilon },$

• для каждого $\delta >0$,

$\limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\,\varepsilon \log P_{\varepsilon }{\big (}d(Y_{\varepsilon },Z_{\varepsilon })>\delta {\big )}=-\infty .$

Два семейства случайных величин $(Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ и $(Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ также называются экспоненциально эквивалентными .

Характеристики

Основное использование экспоненциальной эквивалентности заключается в том, что, что касается принципов больших отклонений, экспоненциально эквивалентные семейства мер неразличимы. Точнее, если для $(\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ с хорошей функцией оценки $I$, и $(\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ и $(\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ экспоненциально эквивалентны, то тот же принцип больших уклонений справедлив и для $(\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$ с такой же хорошей функцией скорости $I$.

Ссылки

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений . Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN  0-387-98406-2 . МР   1619036 . (См. раздел 4.2.2)