Jump to content

Связанные полиномы Лежандра

(Перенаправлено из функции Associated Legendre )

В математике соответствующие полиномы Лежандра являются каноническими решениями общего уравнения Лежандра.

или эквивалентно

где индексы и m (которые являются целыми числами) называются степенью и порядком соответствующего полинома Лежандра соответственно. Это уравнение имеет ненулевые решения, которые не являются сингулярными на [−1, 1] только в том случае, если и m являются целыми числами с 0 ≤ m или с тривиально эквивалентными отрицательными значениями. Если, кроме того , m четно, функция является полиномом . Когда m равно нулю и целое число, эти функции идентичны полиномам Лежандра . В общем, когда и m являются целыми числами, регулярные решения иногда называют «ассоциированными полиномами Лежандра», даже если они не являются полиномами, когда m нечетно. Полностью общий класс функций с произвольными вещественными или комплексными значениями и m — это функции Лежандра . В этом случае параметры обычно обозначаются греческими буквами.

Лежандра Обыкновенное дифференциальное уравнение часто встречается в физике и других областях техники. В частности, это происходит при решении уравнения Лапласа (и связанных с ним уравнений в частных производных ) в сферических координатах . Соответствующие полиномы Лежандра играют жизненно важную роль в определении сферических гармоник .

Определение неотрицательных целочисленных параметров и m [ править ]

Эти функции обозначаются , где верхний индекс указывает порядок, а не степень P . Их наиболее простое определение заключается в терминахпроизводных обычных полиномов Лежандра ( m ≥ 0)

( −1 ) м Фактор в этой формуле известен как фаза Кондона – Шортли . Некоторые авторы опускают его. То, что функции, описываемые этим уравнением, удовлетворяют общему дифференциальному уравнению Лежандра с указанными значениями параметров и m, следует путем дифференцирования в m раз уравнения Лежандра для P : [1]

Более того, поскольку по Родригеса формуле

П м
можно выразить в виде

Это уравнение позволяет расширить диапазон m до: m . Определения P ± m , полученные в результате замены ± m , пропорциональны. Действительно, приравняем коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях

то отсюда следует, что константа пропорциональности равна
так что

Альтернативные обозначения [ править ]

В литературе также используются следующие альтернативные обозначения: [2]

Закрытая форма [ править ]

Связанный полином Лежандра также можно записать как: [ нужна ссылка ]

с простыми мономами и обобщенной формой биномиального коэффициента .

Ортогональность [ править ]

Соответствующие полиномы Лежандра вообще не являются взаимно ортогональными. Например, не ортогонально . Однако некоторые подмножества ортогональны. Полагая 0 ≤ m , они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном m :

Где δk , . дельта Кронекера

Кроме того, они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном :

Отрицательный м и/или отрицательный [ править ]

Дифференциальное уравнение, очевидно, инвариантно относительно изменения знака m .

Выше было показано, что функции для отрицательных m пропорциональны функциям для положительных m :

(Это следует из определения формулы Родригеса. Это определение также заставляет различные рекуррентные формулы работать как для положительного, так и для отрицательного m .)

Дифференциальное уравнение также инвариантно при изменении от к − 1 , а функции для отрицательных определяются формулой

Паритет [ править ]

Из их определения можно убедиться, что ассоциированные функции Лежандра либо четные, либо нечетные в соответствии с

Первые несколько связанных функций Лежандра [ править ]

Соответствующие функции Лежандра для m = 0
Соответствующие функции Лежандра для m = 1
Соответствующие функции Лежандра для m = 2

Первые несколько связанных функций Лежандра, в том числе для отрицательных значений m , таковы:

Формула повторения [ править ]

Эти функции имеют ряд свойств повторения:

Полезные тождества (начальные значения для первой рекурсии):

с !! двойной факториал .

Формула Гаунта [ править ]

Интеграл по произведению трех связанных полиномов Лежандра (с совпадением порядков, как показано ниже) является необходимым ингредиентом при преобразовании произведений полиномов Лежандра в ряд, линейный по полиномам Лежандра. Например, это оказывается необходимым при атомных вычислениях многообразия Хартри–Фока матричные элементы кулоновского оператора , где необходимы . Для этого у нас есть формула Гонта [3]

Эту формулу следует использовать при следующих допущениях:

  1. степени являются неотрицательными целыми числами
  2. все три порядка являются неотрицательными целыми числами
  3. является крупнейшим из трёх порядков
  4. заказы суммируются
  5. степени подчиняются

Остальные величины, входящие в формулу, определяются как

Интеграл равен нулю, если

  1. сумма степеней четна, так что целое число
  2. условие треугольника выполнено

Донг и Лемус (2002) [4] обобщил вывод этой формулы на интегралы по произведению произвольного числа ассоциированных полиномов Лежандра.

Обобщение с помощью гипергеометрических функций [ править ]

Эти функции на самом деле могут быть определены для общих комплексных параметров и аргументов:

где и функция гамма - это гипергеометрическая функция

они называются функциями Лежандра В более общем смысле . Они удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что и раньше:

Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, оно имеет второе решение: , определяемый как:

и оба подчиняются различным рекуррентным формулам, приведенным ранее.

Репараметризация в терминах углов [ править ]

Эти функции наиболее полезны, когда аргумент перепараметризуется в терминах углов, позволяя :

Используя соотношение , приведенный выше список дает первые несколько полиномов, параметризованных следующим образом:

Приведенные выше соотношения ортогональности в этой формулировке принимают вид:для фиксированного м , ортогональны, параметризованы θ по , с весом :

Кроме того, для фиксированного :

С точки зрения θ, являются решениями

Точнее, если задано целое число m 0, приведенное выше уравнение имеетневырожденные решения только тогда, когда за целое число ≥ m , и эти решения пропорциональны .

в физике: сферические Приложения гармоники

Во многих случаях в физике связанные полиномы Лежандра в терминах углов встречаются там, где сферическая симметрия задействована . Угол широты в сферических координатах равенугол использовано выше. Угол долготы, , появляется в повышающем коэффициенте. Вместе они образуют набор функций, называемых сферическими гармониками . Эти функции выражают симметрию двухсферы под действием группы Ли SO(3). [ нужна ссылка ]

Полезность этих функций заключается в том, что они играют центральную роль в решении уравнения на поверхности сферы. В сферических координатах θ (широта) и φ (долгота) лапласиан равен

Когда уравнение в частных производных

решается методом разделения переменных , получается зависящая от φ часть или для целого числа m≥0 и уравнение для зависящей от θ части

для которых есть решения с и .

Следовательно, уравнение

имеет невырожденные разделенные решения только тогда, когда ,и эти решения пропорциональны

и

Для каждого выбора существует 2ℓ + 1 функциядля различных значений m и выбора синуса и косинуса.Все они ортогональны как по ℓ, так и по m при интегрировании поповерхность сферы.

Решения обычно записываются в виде комплексных экспонент :

Функции сферические гармоники , а величина в квадратном корне – нормирующий коэффициент.Вспоминая связь между соответствующими функциями Лежандра положительных и отрицательных m , легко показать, что сферические гармоники удовлетворяют тождеству [5]

Сферические гармонические функции образуют полный ортонормированный набор функций в смысле рядов Фурье . Работники в области геодезии, геомагнетизма и спектрального анализа используют другую фазу и коэффициент нормализации, чем указано здесь (см. Сферические гармоники ).

При решении трехмерного сферически-симметричного уравнения в частных производных методом разделения переменных в сферических координатах та часть, которая остается после удаления радиальной части, обычно равнаформы

и, следовательно, решения представляют собой сферические гармоники.

Обобщения [ править ]

Полиномы Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами . В виде сферических гармоник они выражают симметрию двухсферы под действием группы Ли SO(3). Помимо SO(3), существует много других групп Ли, и существуют аналогичные обобщения полиномов Лежандра для выражения симметрии полупростых групп Ли и римановых симметрических пространств . Грубо говоря, можно определить лапласиан на симметричных пространствах; собственные функции лапласиана можно рассматривать как обобщение сферических гармоник на другие условия.

См. также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

  1. ^ Курант и Гильберт 1953 , V, §10.
  2. ^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 8» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 332. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
  3. Из книги Джона К. Слейтера «Квантовая теория атомной структуры» , McGraw-Hill (Нью-Йорк, 1960), том I, стр. 309, где цитируется оригинальная работа Дж. А. Гонта, «Философские труды Лондонского королевского общества» , A228:151 ( 1929)
  4. ^ Донг Ш., Лемус Р., (2002), «Интеграл перекрытия трех связанных полиномов Лежандра» , Appl. Математика. Летт. 15, 541–546.
  5. ^ Это тождество также можно показать, связав сферические гармоники с D-матрицами Вигнера и используя свойство обращения времени последних. Тогда связь между ассоциированными функциями Лежандра от ± m можно доказать на основе тождества комплексного сопряжения сферических гармоник.

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 848e3792df4daf9ef85f33180ce9bdbb__1709758320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/84/bb/848e3792df4daf9ef85f33180ce9bdbb.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Associated Legendre polynomials - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)