Преобразование Лапласа

В математике , преобразование Лапласа названное в честь Пьера-Симона Лапласа / l ə ˈ p l ɑː s / ) , представляет собой интегральное преобразование , преобразующее функцию действительной ( переменной ( обычно $t$, во временной области ) к функции комплексной переменной $s$ (в комплекснозначной частотной области , также известной как s -домен или s-плоскость ).

Преобразование полезно для преобразования дифференцирования и интегрирования во временной области в гораздо более простое умножение и деление в области Лапласа (аналогично тому, как логарифмы полезны для упрощения умножения и деления на сложение и вычитание). Это дает преобразованию множество применений в науке и технике , в основном в качестве инструмента для решения линейных дифференциальных уравнений. и динамические системы путем упрощения обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений в алгебраические полиномиальные уравнения и путем упрощения свертки до умножения . После решения обратное преобразование Лапласа возвращается в исходную область.

Определено преобразование Лапласа (для подходящих функций $f$) интегралом :

$${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$$

где s — комплексное число . Оно связано со многими другими преобразованиями, в первую очередь с преобразованием Фурье и преобразованием Меллина . Формально преобразование Лапласа преобразуется в преобразование Фурье заменой $s=i\omega$ где $\omega$ реально. Однако в отличие от преобразования Фурье, которое дает разложение функции на ее компоненты на каждой частоте, преобразование Лапласа функции с подходящим затуханием является аналитической функцией и поэтому имеет сходящийся степенной ряд , коэффициенты которого дают разложение функции на ее моменты . Также в отличие от преобразования Фурье, рассматриваемого таким образом как аналитическая функция, для вычислений можно использовать методы комплексного анализа , и особенно контурные интегралы .

История

Пьер-Симон, маркиз Лаплас

Преобразование Лапласа названо в честь математика и астронома Пьера-Симона, маркиза де Лапласа , который использовал подобное преобразование в своей работе по теории вероятностей . Лаплас много писал об использовании производящих функций (1814 г.), и в результате естественным образом возникла интегральная форма преобразования Лапласа.

Использование Лапласом производящих функций было похоже на то, что сейчас известно как z-преобразование , и он уделял мало внимания случаю непрерывной переменной , который обсуждался Нильсом Хенриком Абелем .

С 1744 года Леонард Эйлер исследовал интегралы вида

$$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx$$

как решения дифференциальных уравнений, вводя, в частности, гамма-функцию . Жозеф-Луи Лагранж был поклонником Эйлера и в своей работе по интегрированию функций плотности вероятности исследовал выражения вида

$$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$$

что напоминает преобразование Лапласа.

Эти типы интегралов, кажется, впервые привлекли внимание Лапласа в 1782 году, когда он, следуя духу Эйлера, использовал сами интегралы в качестве решений уравнений. Однако в 1785 году Лаплас сделал решающий шаг вперед, когда вместо того, чтобы просто искать решение в виде интеграла, он начал применять преобразования в том смысле, который впоследствии стал популярным. Он использовал интеграл вида

$$\int x^{s}\varphi (x)\,dx,$$

сродни преобразованию Меллина , чтобы преобразовать все разностное уравнение , чтобы найти решения преобразованного уравнения. Затем он применил таким же образом преобразование Лапласа и начал выводить некоторые его свойства, начиная ценить его потенциальную мощь.

Лаплас также признал, что Фурье Жозефа Фурье метод рядов для решения уравнения диффузии может применяться только к ограниченной области пространства, поскольку эти решения были периодическими . В 1809 году Лаплас применил свое преобразование, чтобы найти решения, которые бесконечно распространялись в пространстве. В 1821 году Коши разработал операционное исчисление преобразования Лапласа, которое можно было использовать для изучения линейных дифференциальных уравнений почти так же, как это преобразование сейчас используется в базовой инженерии. Этот метод был популяризирован и, возможно, заново открыт Оливером Хевисайдом на рубеже веков.

Бернхард Риман использовал преобразование Лапласа в своей книге 1859 года «О числе простых чисел, меньшей заданной величины» , в которой он также разработал теорему обращения. Риман использовал преобразование Лапласа для разработки функционального уравнения дзета-функции Римана , и этот метод до сих пор используется для связи закона модульного преобразования тета -функции Якоби , который легко доказать с помощью суммирования Пуассона , с функциональным уравнением.

Ялмар Меллин был одним из первых, кто изучал преобразование Лапласа, строго в школе анализа Карла Вейерштрасса , и применил его к изучению дифференциальных уравнений и специальных функций на рубеже 20-го века. Примерно в то же время Хевисайд был занят оперативными расчетами. Томас Джоаннес Стилтьес рассмотрел обобщение преобразования Лапласа, связанное с его работой над моментами . Среди других участников этого периода были Матиас Лерх , Оливер Хевисайд и Томас Бромвич .

В 1934 году Раймонд Пейли и Норберт Винер опубликовали важную работу «Преобразования Фурье в комплексной области» , посвященную тому, что сейчас называется преобразованием Лапласа (см. ниже). Также в 30-е годы преобразование Лапласа сыграло важную роль в Г.Х. Харди и Джоном Эденсором Литтлвудом исследовании тауберовых теорем , а позже это применение было развито Виддером (1941), который разработал другие аспекты теории, такие как новый метод для инверсия. Эдвард Чарльз Титчмарш написал влиятельное «Введение в теорию интеграла Фурье» (1937).

Нынешнее широкое использование трансформации (в основном в технике) произошло во время и вскоре после Второй мировой войны . замена более раннего операционного исчисления Хевисайда . Преимущества преобразования Лапласа были подчеркнуты Густавом Дётчем . которому, по-видимому, и обязано название преобразования Лапласа.

Формальное определение

$\Re (e^{-st})$ для различных комплексных частот в s -области $(s{=}\sigma {+}i\omega ),$ что можно выразить как $e^{-\sigma t}cos(\omega t).$ $\sigma {=}0$ ось содержит чистые косинусы. Позитивный $\sigma$ содержит затухающие косинусы . Отрицательный $\sigma$ содержит экспоненциально растущие косинусы.

Преобразование Лапласа функции f ( t ) , определенное для всех действительных чисел t ≥ 0 , представляет собой функцию F ( s ) , которая является односторонним преобразованием, определяемым формулой

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$  ( Уравнение 1 )

где s — комплексный параметр частотной области

$$s=\sigma +i\omega ,$$

с действительными числами σ и ω .

Альтернативное обозначение преобразования Лапласа: ${\mathcal {L}}\{f\}$ вместо Ф. ​

Смысл интеграла зависит от типов интересующих функций. Необходимым условием существования интеграла является то, что f должна быть локально интегрируема на [0, ∞) . Для локально интегрируемых функций, затухающих на бесконечности или имеющих экспоненциальный тип ( $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$), интеграл можно понимать как (собственный) интеграл Лебега . Однако для многих приложений его необходимо рассматривать как условно сходящийся несобственный интеграл в точке ∞ . Еще в более общем смысле интеграл можно понимать в слабом смысле , о чем речь пойдет ниже.

Преобразование Лапласа конечной борелевской меры µ можно определить с помощью интеграла Лебега

$${\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).$$

Важный частный случай — когда µ — вероятностная мера , например, дельта-функция Дирака . В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто рассматривается так, как если бы мера возникла из функции плотности вероятности f . В этом случае, чтобы избежать возможной путаницы, часто пишут

$${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,$$

где нижний предел 0 ⁻ это сокращенное обозначение для

$$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.$$

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в точке 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя для интеграла Лебега нет необходимости принимать такой предел, он появляется более естественно в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса .

Двустороннее

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Когда кто-то без оговорок говорит «преобразование Лапласа», обычно имеется в виду одностороннее или одностороннее преобразование. Преобразование Лапласа можно альтернативно определить как двустороннее преобразование Лапласа или двустороннее преобразование Лапласа , расширив пределы интегрирования до всей действительной оси. Если это будет сделано, обычное одностороннее преобразование просто станет частным случаем двустороннего преобразования, где определение преобразуемой функции умножается на ступенчатую функцию Хевисайда .

Двустороннее преобразование Лапласа F ( s ) определяется следующим образом:

$F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$  ( Уравнение 2 )

Альтернативное обозначение двустороннего преобразования Лапласа: ${\mathcal {B}}\{f\}$ вместо Ф. ,

Лапласа

Основная статья: Обратное преобразование Лапласа

Две интегрируемые функции имеют одинаковое преобразование Лапласа только в том случае, если они различаются на множестве нулевой меры Лебега . Это означает, что в диапазоне преобразования существует обратное преобразование. Фактически, помимо интегрируемых функций, преобразование Лапласа представляет собой взаимно однозначное отображение одного функционального пространства в другое во многих других функциональных пространствах, хотя обычно не существует простой характеристики диапазона.

Типичные функциональные пространства, в которых это справедливо, включают пространства ограниченных непрерывных функций, пространство L ^∞ (0, ∞) или, в более общем смысле, умеренные распределения на (0, ∞) . Преобразование Лапласа также определено и инъективно для подходящих пространств умеренных распределений.

В этих случаях образ преобразования Лапласа живет в пространстве аналитических функций в области сходимости . Обратное преобразование Лапласа задается следующим комплексным интегралом, который известен под разными названиями ( интеграл Бромвича , интеграл Фурье-Меллина и обратная формула Меллина ):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds$  ( Уравнение 3 )

где γ – действительное число, так что контурный путь интегрирования находится в области сходимости F ( s ) . В большинстве приложений контур может быть замкнутым, что позволяет использовать теорему о вычетах . Альтернативная формула обратного преобразования Лапласа дается формулой обращения Поста . Предел здесь интерпретируется в топологииweak-* .

На практике обычно удобнее разложить преобразование Лапласа на известные преобразования функций, полученных из таблицы, и построить обратное путем проверки.

Теория вероятностей

В чистой и прикладной вероятности преобразование Лапласа определяется как ожидаемое значение . Если X — случайная величина с функцией плотности вероятности f , то преобразование Лапласа f определяется ожиданием

$${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \!\left[e^{-sX}\right]\!.$$

• где $\operatorname {E} \left[r\right]$ это математическое случайной ожидание величины $r$.

По соглашению это называется преобразованием Лапласа случайной величины X. самой Здесь замена на − t дает производящую функцию момента X s . Преобразование Лапласа имеет приложения во всей теории вероятностей, включая время первого прохождения случайных процессов, таких как цепи Маркова , и теорию восстановления .

Особенно полезной является возможность восстановить кумулятивную функцию распределения непрерывной случайной величины X с помощью преобразования Лапласа следующим образом:

$$F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}\!(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}\!(x).$$

Алгебраическая конструкция

Преобразование Лапласа можно альтернативно определить чисто алгебраическим способом, применив конструкцию поля частных к кольцу свертки функций на положительной полупрямой. Получающееся пространство абстрактных операторов в точности эквивалентно пространству Лапласа, но в этой конструкции никогда не требуется явно определять прямое и обратное преобразования (что позволяет избежать связанных с этим трудностей с доказательством сходимости).

Область конвергенции

См. Также: График полюс – ноль § Системы с непрерывным временем.

Если f — локально интегрируемая функция (или, в более общем смысле, борелевская мера локально ограниченной вариации), то преобразование Лапласа F ( s ) функции f сходится при условии, что предел

$$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt$$

существует.

Преобразование Лапласа сходится абсолютно, если интеграл

$$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt$$

существует как собственный интеграл Лебега. Преобразование Лапласа обычно понимают как условно сходящееся , то есть оно сходится в первом, но не во втором смысле.

Набор значений, для которых F ( s ) сходится абсолютно, имеет либо форму Re( s ) > a, либо Re( s ) ≥ a , где a — расширенная действительная константа с −∞ ≤ a ≤ ∞ (следствие теорема о доминируемой сходимости ). Константа a известна как абсцисса абсолютной сходимости и зависит от поведения роста f ( t ) . Аналогично двустороннее преобразование абсолютно сходится в полосе вида a < Re( s ) < b и, возможно, включая прямые Re( s ) = a или Re( s ) = b . Подмножество значений s , для которых преобразование Лапласа сходится абсолютно, называется областью абсолютной сходимости или областью абсолютной сходимости. В двустороннем случае ее иногда называют полосой абсолютной сходимости. Преобразование Лапласа аналитично в области абсолютной сходимости: это следствие теоремы Фубини и теоремы Мореры .

Аналогично, набор значений, для которых F ( s ) сходится (условно или абсолютно), известен как область условной сходимости или просто область сходимости (ROC). Если преобразование Лапласа сходится (условно) при s = s ₀ , то оно автоматически сходится для всех s с Re( s ) > Re( s ₀ ) . Следовательно, область сходимости представляет собой полуплоскость вида Re( s ) > a , возможно, включающую некоторые точки граничной линии Re( s ) = a .

области сходимости Re( s ) > Re( s0 _В ) преобразование Лапласа f можно выразить путем интегрирования по частям как интеграл

$$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$$

То есть F ( s ) может быть эффективно выражено в области сходимости как абсолютно сходящееся преобразование Лапласа некоторой другой функции. В частности, оно аналитическое.

Существует несколько теорем Пэли-Винера, касающихся связи между свойствами затухания f и свойствами преобразования Лапласа в области сходимости.

В инженерных приложениях функция, соответствующая линейной инвариантной во времени (LTI) системе, является стабильной , если каждый ограниченный входной сигнал дает ограниченный выходной сигнал. Это эквивалентно абсолютной сходимости преобразования Лапласа функции импульсного отклика в области Re( s ) ≥ 0 . В результате системы LTI устойчивы при условии, что полюсы преобразования Лапласа функции импульсной характеристики имеют отрицательную действительную часть.

Этот ROC используется для определения причинно-следственной связи и стабильности системы.

и

Ключевое свойство преобразования Лапласа заключается в том, что оно преобразует дифференцирование и интегрирование во временной области в умножение и деление в области Лапласа. Таким образом, переменная Лапласа s также известна как операторная переменная в области Лапласа: либо оператор производной , либо (для s ⁻¹ ) оператор интегрирования .

Учитывая функции f ( t ) и g ( t ) и их соответствующие преобразования Лапласа F ( s ) и G ( s ) ,

$${\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}$$

В следующей таблице приведен список свойств одностороннего преобразования Лапласа:

Свойства одностороннего преобразования Лапласа

Свойство	Временной интервал	s домен	Комментарий
Линейность	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Можно доказать, используя основные правила интегрирования.
Производная в частотной области	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	F ′ — первая производная F по s .
Общая производная в частотной области	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	Более общая форма, n- я производная от F ( s ) .
Производная	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$	f предполагается дифференцируемой функцией , а ее производная – экспоненциального типа. Затем это можно получить интегрированием по частям
Вторая производная	$f''(t)\$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	f предполагается дважды дифференцируемым, а вторая производная имеет экспоненциальный тип. Далее следует применение свойства дифференциации к f ′( t ) .
Общая производная	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\$	f Предполагается, что n -кратно дифференцируема с n- й производной экспоненциального типа. Далее следует математическая индукция .
в частотной области Интеграция	${\frac {1}{t}}f(t)\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$	Это выводится с использованием природы частотного дифференцирования и условной сходимости.
Интеграция во временной области	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	u ( t ) — ступенчатая функция Хевисайда, а u ∗ f ) ( t ) — свертка u ( ) t ) и f ( t . (
Сдвиг частоты	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)\$
Сдвиг времени	$f(t-a)u(t-a)$ $f(t)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$ $e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}$	a > 0 , u ( t ) — ступенчатая функция Хевисайда
Масштабирование времени	$f(at)$	${\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)$	а > 0
Умножение	$f(t)g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	Интегрирование производится вдоль вертикальной линии Re( σ ) = c , которая полностью лежит в области сходимости F .
Свертка	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$
Круговая свертка	$(f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	Для периодических функций с периодом T .
Комплексное сопряжение	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
Взаимная корреляция	$(f\star g)(t)=\int _{0}^{\infty }f(\tau )^{*}\,g(t+\tau )\,d\tau$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
Периодическая функция	$f(t)$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	f ( t ) — периодическая функция периода T , так что f ( t ) = f ( t + T ) для всех t ≥ 0 . Это результат свойства сдвига во времени и геометрической прогрессии .
Периодическое суммирование	$f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)$ $f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)$	$F_{P}(s)={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)$ $F_{P}(s)={\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)$

Теорема о первоначальном значении

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.$

Теорема об окончательной ценности

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$, если полюса все $sF(s)$ находятся в левой полуплоскости.

Теорема об окончательном значении полезна, поскольку она дает долгосрочное поведение без необходимости выполнять разложение на частичные дроби (или другую сложную алгебру). Если F ( s ) имеет полюс в правой плоскости или полюсы на мнимой оси (например, если $f(t)=e^{t}$ или $f(t)=\sin(t)$), то поведение этой формулы неопределенно.

со

Преобразование Лапласа можно рассматривать как непрерывный аналог степенного ряда . Если a ( n ) является дискретной функцией положительного целого числа n , то степенной ряд, связанный с a ( n ), представляет собой ряд

$$\sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}$$

где x — действительная переменная (см. Z-преобразование ). Заменяя суммирование по n интегрированием по t , непрерывная версия степенного ряда становится

$$\int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt$$

где дискретная функция a ( n ) заменяется непрерывной f ( t ) .

Изменение основания степени с x на e дает

$$\int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt$$

Чтобы это сходилось, скажем, для всех ограниченных функций f , необходимо потребовать, чтобы ln x < 0 . Замена − s = ln x дает только преобразование Лапласа:

$$\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$$

Другими словами, преобразование Лапласа — это непрерывный аналог степенного ряда, в котором дискретный параметр n заменяется непрерывным параметром t , а x заменяется на e ^{− с} .

Отношение к моментам

Основная статья: Функция генерации момента

Количества

$$\mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt$$

являются моментами функции f . Если первые n моментов функции f повторным дифференцированием под интегралом сходятся абсолютно, то

$$(-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.$$

Это имеет особое значение в теории вероятностей, где моменты случайной величины X задаются математическими ожиданиями. $\mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]$. Тогда имеет место соотношение

$$\mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).$$

Преобразование производной функции

Часто бывает удобно использовать свойство дифференцирования преобразования Лапласа, чтобы найти преобразование производной функции. Это можно получить из основного выражения для преобразования Лапласа следующим образом:

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}$$

уступчивость

$${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),$$

а в двустороннем случае

$${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.$$

Общий результат

$${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),$$

где $f^{(n)}$ обозначает n- ю производную от f , затем можно установить с помощью индуктивного аргумента.

положительной действительной

Полезным свойством преобразования Лапласа является следующее:

$$\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds$$

при подходящих предположениях о поведении $f,g$ в правильном районе $0$ и от скорости распада $f,g$ в левом районе г. $\infty$. Приведенная выше формула представляет собой вариант интегрирования по частям с операторами ${\frac {d}{dx}}$ и $\int \,dx$ заменяется на ${\mathcal {L}}$ и ${\mathcal {L}}^{-1}$. Докажем эквивалентную формулировку:

$$\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.$$

Подключив $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ левая часть превращается в:

$$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,$$

но если предположить, что теорема Фубини верна, изменив порядок интегрирования на обратный, мы получим искомую правую часть.

Этот метод можно использовать для вычисления интегралов, которые в противном случае было бы трудно вычислить с помощью элементарных методов реального исчисления. Например,

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.$$

Связь с другими преобразованиями

Преобразование Лапласа–Стилтьеса

(Одностороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса функции g : ℝ → ℝ определяется интегралом Лебега – Стилтьеса

$$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.$$

функция g Предполагается, что имеет ограниченную вариацию . Если g является первообразной f ​ :

$$g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t$$

тогда преобразование Лапласа–Стилтьеса функции g и преобразование Лапласа функции f совпадают. В общем, преобразование Лапласа-Стилтьеса представляет собой преобразование Лапласа меры Стилтьеса , связанной с g . Таким образом, на практике единственное различие между этими двумя преобразованиями заключается в том, что преобразование Лапласа рассматривается как действующее на функцию плотности меры, тогда как преобразование Лапласа-Стилтьеса рассматривается как действующее на ее кумулятивную функцию распределения .

Преобразование Фурье

Дополнительная информация: преобразование Фурье § преобразование Лапласа

Позволять $f$ — комплекснозначная интегрируемая по Лебегу функция с носителем на $[0,\infty )$, и пусть $F(s)={\mathcal {L}}f(s)$ быть его преобразованием Лапласа. Тогда в области сходимости имеем

$F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,$

что является преобразованием Фурье функции $f(t)e^{-\sigma t}$.

Действительно, преобразование Фурье является частным случаем (при определенных условиях) двустороннего преобразования Лапласа. Основное отличие состоит в том, что преобразование Фурье функции является комплексной функцией действительной переменной (частоты), преобразование Лапласа функции является комплексной функцией комплексной переменной . Преобразование Лапласа обычно ограничивается преобразованием функций от t с t ≥ 0 . Следствием этого ограничения является то, что преобразование Лапласа функции является голоморфной функцией переменной s . В отличие от преобразования Фурье, преобразование Лапласа распределения обычно является функцией с хорошим поведением . Методы комплексных переменных также можно использовать для непосредственного изучения преобразований Лапласа. Как голоморфная функция, преобразование Лапласа имеет представление степенного ряда . Этот степенной ряд выражает функцию как линейную суперпозицию моментов функции. Эта точка зрения имеет приложения в теории вероятностей.

Формально преобразование Фурье эквивалентно вычислению двустороннего преобразования Лапласа с мнимым аргументом s = iω. когда условие, описанное ниже, выполнено,

$${\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}$$

Это соглашение о преобразовании Фурье ( ${\hat {f}}_{3}(\omega )$ в преобразовании Фурье § Другие соглашения ) требует фактора 1/2 при . π обратном преобразовании Фурье часто используется для определения частотного спектра сигнала Эта связь между преобразованиями Лапласа и Фурье или динамической системы.

Вышеупомянутое соотношение действительно, как указано , тогда и только тогда, когда область сходимости (ROC) F ( s ) содержит мнимую ось, σ = 0 .

Например, функция f ( t ) = cos( ω ₀ t ) имеет преобразование Лапласа F ( s ) = s /( s ² + о ₀ ² ), ROC которого равен Re( s ) > 0 . Поскольку s = iω ₀ является полюсом F ( s ) , замена s = iω в F ( s ) не дает преобразования Фурье f ( t ) u ( t ) , которое содержит члены, пропорциональные дельта -функциям Дирака δ ( ω ± ω ₀ ) .

Однако отношение вида

$$\lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )$$

выполняется в гораздо более слабых условиях. Например, это справедливо для приведенного выше примера при условии, что под пределом понимается слабый предел мер (см. Неопределенная топология ). Общие условия, связывающие предел преобразования Лапласа функции на границе с преобразованием Фурье, принимают форму теорем Пэли–Винера .

Преобразование Меллина

Основная статья: Средняя трансформация

Преобразование Меллина и обратное ему связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных.

Если в преобразовании Меллина

$$G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}$$

мы полагаем θ = e ^{− т} мы получаем двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Дополнительная информация: Z-преобразование § Связь с преобразованием Лапласа.

Одностороннее или одностороннее Z-преобразование — это просто преобразование Лапласа идеально дискретизированного сигнала с заменой

$$z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},$$

где T = 1/ f _s — интервал выборки (в единицах времени, например, секундах), а f _s — частота дискретизации (в выборках в секунду или герцах ).

Позволять

$$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$$

быть последовательностью импульсов выборки (также называемой гребенкой Дирака ) и

$${\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}$$

быть выборочным представлением непрерывного времени x ( t )

$$x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.$$

Лапласа дискретизированного сигнала x _q ( t ) Преобразование

$${\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}$$

Это точное определение одностороннего Z-преобразования дискретной функции x [ n ]

$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$

с заменой z → e ^СТ .

Сравнивая последние два уравнения, мы находим связь между односторонним Z-преобразованием и преобразованием Лапласа дискретизированного сигнала:

$$X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.$$

Сходство между Z-преобразованиями и преобразованиями Лапласа расширяется в теории исчисления шкалы времени .

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля

$$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz$$

является частным случаем преобразования Лапласа для f целой функции экспоненциального типа, что означает, что

$$|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$$

для некоторых констант A и B . Обобщенное преобразование Бореля позволяет использовать другую весовую функцию вместо экспоненциальной функции для преобразования функций неэкспоненциального типа. Теорема Нахбина дает необходимые и достаточные условия для корректного определения преобразования Бореля.

отношения

Поскольку обычное преобразование Лапласа можно записать как частный случай двустороннего преобразования, а двустороннее преобразование можно записать как сумму двух односторонних преобразований, теория преобразований Лапласа, Фурье, Меллина - и Z-преобразования, по сути, одно и то же. Однако с каждым из этих четырех основных интегральных преобразований связана другая точка зрения и разные характерные проблемы.

Таблица

Основная статья: Список преобразований Лапласа

В следующей таблице представлены преобразования Лапласа для многих распространенных функций одной переменной. Определения и пояснения см. в пояснительных примечаниях в конце таблицы.

Поскольку преобразование Лапласа является линейным оператором,

• Преобразование Лапласа суммы представляет собой сумму преобразований Лапласа каждого члена.
  $${\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}$$
• Преобразование Лапласа кратной функции - это кратное преобразование Лапласа этой функции.
  $${\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}$$

Используя эту линейность, а также различные свойства и/или тождества тригонометрических , гиперболических и комплексных чисел (и т. д.), некоторые преобразования Лапласа можно получить из других быстрее, чем используя определение напрямую.

Одностороннее преобразование Лапласа принимает в качестве входных данных функцию, временная область которой является неотрицательными действительными числами, поэтому все функции временной области в таблице ниже кратны ступенчатой ​​функции Хевисайда u ( t ) .

Записи таблицы, включающие задержку τ, должны быть причинно-следственными (это означает, что τ > 0 ). Причинная система — это система, в которой импульсный отклик h ( t ) равен нулю в течение всего времени t до момента t = 0 . В общем, область конвергенции каузальных систем не такая же, как у антикаузальных систем .

Избранные преобразования Лапласа

Функция	Временной интервал $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$	Лапласа -домен ​ $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$	Область конвергенции	Ссылка
единичный импульс	$\delta (t)\$	$1$	все с	инспекция
задержанный импульс	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$		сдвиг во времени единичный импульс
единичный шаг	$u(t)\$	${1 \over s}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	интегрировать единичный импульс
задержанный единичный шаг	$u(t-\tau )\$	${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	сдвиг во времени единичный шаг
произведение функции с задержкой и шага с задержкой	$f(t-\tau )u(t-\tau )$	$e^{-s\tau }{\mathcal {L}}\{f(t)\}$		u-замещение, $u=t-\tau$
прямоугольный импульс	$u(t)-u(t-\tau )$	${\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})$	$\operatorname {Re} (s)>0$
рампа	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	интегрировать блок импульс дважды
n- ная степень (для целого числа n )	$t^{n}\cdot u(t)$	${n! \over s^{n+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ ( п > -1 )	интегрировать блок шаг n раз
q -я степень (для комплексного q )	$t^{q}\cdot u(t)$	${\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ $\operatorname {Re} (q)>-1$
n- й корень	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$	Установите q = 1/ n выше.
n- я степень со сдвигом частоты	$t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	Интегрировать единичный шаг, применить сдвиг частоты
с задержкой в ​​n- й степени со сдвигом частоты	$(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	интегрировать единичный шаг, применить частотный сдвиг, применить сдвиг времени
экспоненциальное затухание	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${1 \over s+\alpha }$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	Сдвиг частоты единичный шаг
двусторонний экспоненциальный распад (только для двустороннего преобразования)	$e^{-\alpha |t|}\$	${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$	$-\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha$	Сдвиг частоты единичный шаг
экспоненциальный подход	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	единичный шаг минус экспоненциальное затухание
их	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
косинус	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
гиперболический синус	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|$
гиперболический косинус	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|$
экспоненциально затухающий синусоидальная волна	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
экспоненциально затухающий косинусоидальная волна	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
натуральный логарифм	$\ln(t)\cdot u(t)$	$-{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]$	$\operatorname {Re} (s)>0$
Функция Бесселя первого рода, порядка n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ ( п > -1 )
Функция ошибки	$\operatorname {erf} (t)\cdot u(t)$	${\frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$
Пояснительные примечания: u ( t ) представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда . δ представляет собой дельта-функцию Дирака . Γ( z ) представляет гамма-функцию . γ — постоянная Эйлера–Машерони . t , действительное число, обычно представляет время , хотя оно может представлять любое независимое измерение. s — параметр комплексной частотной области, а Re( s ) — его действительная часть . α , β , τ и ω — действительные числа . n — целое число .

s эквивалентные схемы и импедансы в

Преобразование Лапласа часто используется при анализе цепей простые преобразования в s , и можно выполнить -область элементов схемы. Элементы схемы можно преобразовать в импедансы , очень похожие на векторные импедансы.

Вот краткий обзор эквивалентов:

s-domain equivalent circuits

Обратите внимание, что резистор абсолютно одинаков во временной и s -области. Источники включаются при наличии начальных условий на элементах схемы. Например, если на конденсаторе имеется начальное напряжение или если через катушку индуктивности протекает начальный ток, источниками, включенными в s это учитывается -домен.

Эквиваленты источников тока и напряжения просто получаются в результате преобразований, приведенных в таблице выше.

Примеры и приложения

Преобразование Лапласа часто используется в технике и физике ; Выход линейной нестационарной системы можно рассчитать путем свертки ее единичной импульсной характеристики с входным сигналом. Выполнение этого вычисления в пространстве Лапласа превращает свертку в умножение; последнее легче решить из-за его алгебраической формы. Для получения дополнительной информации см. теорию управления . Преобразование Лапласа обратимо для большого класса функций. Учитывая простое математическое или функциональное описание входных или выходных данных системы , преобразование Лапласа обеспечивает альтернативное функциональное описание, которое часто упрощает процесс анализа поведения системы или синтеза новой системы на основе набора спецификаций.

Преобразование Лапласа также можно использовать для решения дифференциальных уравнений и широко используется в машиностроении и электротехнике . Преобразование Лапласа сводит линейное дифференциальное уравнение к алгебраическому уравнению, которое затем можно решить с помощью формальных правил алгебры. Исходное дифференциальное уравнение затем можно решить, применив обратное преобразование Лапласа. Английский инженер-электрик Оливер Хевисайд впервые предложил подобную схему, хотя и без использования преобразования Лапласа; и полученное в результате операционное исчисление получило название исчисления Хевисайда.

Вычисление несобственных интегралов

Позволять ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$. Тогда (см. таблицу выше)

$$\partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)$$

Из чего получают:

$${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.$$

В пределе $s\rightarrow 0$, человек получает

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,$$

при условии, что обмен лимитами может быть оправдан. Это часто возможно как следствие теоремы об окончательной стоимости . Даже если обмен не может быть оправдан, расчет может быть наводящим на размышления. Например, при a ≠ 0 ≠ b , действуя формально, имеем

$${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}$$

Справедливость этого тождества можно доказать и другими способами. Это пример интеграла Фруллани .

Другой пример — интеграл Дирихле .

Комплексное сопротивление конденсатора

В теории электрических цепей ток, протекающий в конденсаторе, пропорционален емкости и скорости изменения электрического потенциала (с уравнениями, как для системы единиц СИ ). Символически это выражается дифференциальным уравнением

$$i=C{dv \over dt},$$

где C — емкость конденсатора, i = i ( t ) — электрический ток через конденсатор как функция времени, а v = v ( t ) — напряжение на выводах конденсатора, также как функция время.

Преобразовав это уравнение Лапласа, получим

$$I(s)=C(sV(s)-V_{0}),$$

где

$${\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}$$

и

$$V_{0}=v(0).$$

Решая для V ( s ), мы имеем

$$V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.$$

Определение комплексного импеданса Z (в Омах ) представляет собой отношение комплексного напряжения V к комплексному току I при удержании начального состояния V ₀ на нуле:

$$Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.$$

Используя это определение и предыдущее уравнение, находим:

$$Z(s)={\frac {1}{sC}},$$

что является правильным выражением для комплексного импеданса конденсатора. Кроме того, преобразование Лапласа имеет широкое применение в теории управления.

Импульсный отклик

Рассмотрим линейную стационарную систему с передаточной функцией

$$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.$$

Импульсная характеристика — это просто обратное преобразование Лапласа этой передаточной функции:

$$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.$$

Частичное расширение дроби

Чтобы оценить это обратное преобразование, мы начинаем с расширения H ( s ), используя метод разложения частичных дробей:

$${\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.$$

Неизвестные константы P и R представляют собой вычеты, расположенные в соответствующих полюсах передаточной функции. Каждый остаток представляет собой относительный вклад этой особенности в общую форму передаточной функции.

По теореме о вычетах обратное преобразование Лапласа зависит только от полюсов и их вычетов. Чтобы найти остаток P , мы умножаем обе части уравнения на s + α, чтобы получить

$${\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.$$

Тогда, полагая s = − α , вклад R исчезает, и остается только

$$P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.$$

Аналогично, остаток R определяется выражением

$$R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.$$

Обратите внимание, что

$$R={-1 \over \beta -\alpha }=-P$$

и поэтому замена R и P в расширенное выражение для H ( s ) дает

$$H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).$$

Наконец, используя свойство линейности и известное преобразование экспоненциального убывания (см. пункт № 3 в Таблице преобразований Лапласа выше), мы можем воспользоваться обратным преобразованием Лапласа H ( s ), чтобы получить

$$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),$$

что является импульсной характеристикой системы.

Свертка

Того же результата можно достичь, используя свойство свертки , как если бы система представляла собой серию фильтров с передаточными функциями 1/( s + α ) и 1/( s + β ) . То есть, обратное

$$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}$$

является

$${\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.$$

Фазовая задержка

Функция времени	Преобразование Лапласа
$\sin {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}$
$\cos {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.$

Начиная с преобразования Лапласа,

$$X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}$$

находим обратное, предварительно переставив члены дроби:

$${\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Теперь мы можем выполнить обратное преобразование Лапласа наших членов:

$${\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}$$

Это просто синус суммы аргументов, что дает:

$$x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).$$

Мы можем применить аналогичную логику, чтобы найти, что

$${\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.$$

Статистическая механика

В статистической механике преобразование Лапласа плотности состояний $g(E)$ определяет функцию распределения . То есть каноническая статистическая сумма $Z(\beta )$ дается

$$Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE$$

а обратное определяется выражением

$$g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta$$

Пространственная (не временная)

Широкая и общая применимость преобразования Лапласа и его обратного иллюстрируется применением в астрономии, которое дает некоторую информацию о пространственном распределении материи астрономического источника радиочастотного теплового излучения, слишком удаленного, чтобы его можно было разрешить как нечто большее, чем точку, учитывая его поток плотности спектр , а не связывать временную область со спектром (частотная область).

Предполагая определенные свойства объекта, например сферическую форму и постоянную температуру, расчеты, основанные на проведении обратного преобразования Лапласа по спектру объекта, могут дать единственно возможную модель распределения вещества в нем (плотность как функция расстояния от объекта). центр) согласуется со спектром. Было обнаружено, что при наличии независимой информации о структуре объекта метод обратного преобразования Лапласа хорошо согласуется.

Процессы рождения и смерти

Рассмотрим случайное блуждание с шагами $\{+1,-1\}$ происходит с вероятностью $p,q=1-p$. Предположим также, что временной шаг представляет собой пуассоновский процесс с параметром $\lambda$. Тогда вероятность того, что блуждание окажется в точке решетки $n$ во время $t$ является

$P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).$

Это приводит к системе интегральных уравнений (или, что то же самое, к системе дифференциальных уравнений). Однако, поскольку это система уравнений свертки, преобразование Лапласа преобразует ее в систему линейных уравнений для

$\pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),$

а именно:

$\pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)$

которую теперь можно решить стандартными методами.

Тауберова теория

Преобразование Лапласа меры $\mu$ на $[0,\infty )$ дается

${\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).$

Интуитивно понятно, что для малых $s>0$экспоненциально убывающее подынтегральное выражение станет более чувствительным к концентрации меры $\mu$ на более крупных подмножествах домена. Чтобы сделать это более точным, введем функцию распределения:

$M(t)=\mu ([0,t)).$

Формально мы ожидаем ограничения следующего вида:

$\lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).$

Тауберовы теоремы — это теоремы, касающиеся асимптотики преобразования Лапласа, поскольку $s\to 0^{+}$, к тем, которые связаны с распределением $\mu$ как $t\to \infty$. Таким образом, они имеют важное значение в асимптотических формулах вероятности и статистики , где часто спектральная сторона имеет асимптотику, которую легче вывести.

Следует отметить две тауберовы теоремы: тауберову теорему Харди-Литтлвуда и тауберову теорему Винера . Теорема Винера обобщает тауберову теорему Икехары , которая представляет собой следующее утверждение:

Пусть A ( x ) — неотрицательная монотонная неубывающая функция от x , определенная для 0 ≤ x < ∞. Предположим, что

$f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx$

сходится при ℜ( s ) > 1 к функции ƒ ( s некоторого неотрицательного числа c ) и что для

$f(s)-{\frac {c}{s-1}}$

имеет продолжение как непрерывную функцию при ℜ( s ) ≥ 1.Тогда предел при x стремится к бесконечности e ^{− х}  A ( x ) равно c.

Это утверждение может быть применено, в частности, к логарифмической производной дзета -функции Римана и, таким образом, обеспечивает чрезвычайно короткий путь доказательства теоремы о простых числах .

См. также

• Аналоговая обработка сигналов
• Теорема Бернштейна о монотонных функциях
• Ипотека с постоянным погашением
• Проблема момента гамбургера
• Тауберова теорема Харди – Литтлвуда
• Преобразование Лапласа – Карсона
• Функция генерации момента
• Нелокальный оператор
• Формула обращения Поста
• График потока сигналов
• Передаточная функция

Ссылки

Современный

• Брейсвелл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN  978-0-07-007013-4
• Брейсвелл, Р.Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-116043-8
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR   0270403.
• Корн, Джорджия; Корн, Т.М. (1967), Математический справочник для ученых и инженеров (2-е изд.), McGraw-Hill Companies, ISBN  978-0-07-035370-1
• Виддер, Дэвид Вернон (1941), Преобразование Лапласа , Princeton Mathematical Series, т. 6, Princeton University Press , MR   0005923
• Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, ISBN  978-0-04-512021-5
• Такач, Дж. (1953), «Определение амплитуд Фурье с помощью операторного суммирования», Magyar Hiradastechnika (на венгерском языке), IV (7–8): 93–96

Исторический

• Эйлер, Л. (1744), «De построение уравнений» [Построение уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 22 : 150–161.
• Эйлер, Л. (1753), «Метод уравнения дифференциалов» [Метод решения дифференциальных уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 22 : 181–213.
• Эйлер, Л. (1992) [1769], «Institutiones Calculus Integralis, Том 2» [Институты интегрального исчисления], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 12 , Базель: Birkhäuser, ISBN  978-3764314743 , Главы 3–5
• Эйлер, Леонхард (1769), Institutiones Calculus Integral [ Институты интегрального исчисления ] (на латыни), том. II, Париж: Петрополис, гл. 3–5, с. 57–153
• Граттан-Гиннесс, I (1997), «Интегральные решения Лапласа для уравнений в частных производных», в Гиллиспи, CC (редактор), Пьер Симон Лаплас 1749–1827: Жизнь в точной науке , Принстон: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-01185-1
• Лагранж, JL (1773), Мемуары о полезности метода , Работы Лагранжа, т. 2, с. 171–234

Дальнейшее чтение

• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз Дж. К.; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2002), Векторнозначные преобразования Лапласа и задачи Коши , Birkhäuser Basel, ISBN  978-3-7643-6549-3 .
• Дэвис, Брайан (2002), Интегральные преобразования и их приложения (Третье изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-95314-4
• Дикин, MAB (1981), «Развитие преобразования Лапласа», Архив истории точных наук , 25 (4): 343–390, doi : 10.1007/BF01395660 , S2CID   117913073
• Дикин, MAB (1982), «Развитие преобразования Лапласа», Архив истории точных наук , 26 (4): 351–381, doi : 10.1007/BF00418754 , S2CID   123071842
• Дётч, Густав (1974), Введение в теорию и применение преобразования Лапласа , Springer, ISBN  978-0-387-06407-9
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Benjamin, ISBN   0-8053-7002-1
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN.  978-0-8493-2876-3
• Шварц, Лоран (1952), «Преобразование Лапласа в распределениях», Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. Сем.] (на французском языке), 1952 : 196–206, MR   0052555.
• Шварц, Лоран (2008) [1966], Математика для физических наук , Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 215–241, ISBN  978-0-486-46662-0 - См. главу VI. Преобразование Лапласа.
• Зиберт, Уильям МакК. (1986), Схемы, сигналы и системы , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, ISBN  978-0-262-19229-3
• Виддер, Дэвид Вернон (1945), «Что такое преобразование Лапласа?», The American Mathematical Monthly , 52 (8): 419–425, doi : 10.2307/2305640 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2305640 , MR   0013447
• ЯКВейдман и Бенгт Форнберг: «Полностью численные методы преобразования Лапласа», Численные алгоритмы, том 92 (2023), стр. 985–1006. https://doi.org/10.1007/s11075-022-01368-x .

Внешние ссылки

• «Преобразование Лапласа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-вычисление преобразования или обратного преобразования, wims.unice.fr
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Лапласа» . Математический мир .
• Хорошие объяснения теорем о начальном и конечном значении. Архивировано 8 января 2009 г. в Wayback Machine.
• Преобразования Лапласа на MathPages
• Computational Knowledge Engine позволяет легко рассчитывать преобразования Лапласа и его обратное преобразование.
• Калькулятор Лапласа для легкого расчета преобразований Лапласа онлайн.
• Код для визуализации преобразований Лапласа и множества примеров видеороликов.