Формальный расчет

В математической логике формальное вычисление или формальная операция — это вычисление, имеющее систематический характер, но не имеющее строгого обоснования . Он предполагает манипулирование символами в выражении с использованием общей замены без доказательства выполнения необходимых условий. По сути, оно включает в себя форму выражения без учета его основного значения. Эти рассуждения могут служить либо положительным доказательством того, что какое-то утверждение верно, когда доказательства затруднительны или ненужны, либо вдохновением для создания новых (совершенно строгих) определений.

Однако такая интерпретация термина «формальный» не является общепринятой, и некоторые считают, что он означает совершенно противоположное: совершенно строгий аргумент, как в формальной математической логике .

Примеры

Формальные расчеты могут привести к результатам, которые неверны в одном контексте, но верны в другом контексте. Уравнение

\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}

выполняется, если q имеет абсолютное значение меньше 1. Игнорирование этого ограничения и замена q = 2 на приводит к

\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=-1.

Подстановка q =2 в доказательство первого уравнения дает формальный расчет, который дает последнее уравнение. Но это неверно относительно действительных чисел, поскольку ряд не сходится. Однако в других контекстах (например, при работе с 2-адическими числами или с целыми числами по модулю степени 2 ) ряд сходится. Формальный расчет подразумевает, что последнее уравнение должно быть действительным в этих контекстах.

Другой пример получается путем замены q =-1. Полученный ряд 1-1+1-1+... расходится (по действительным и p-адическим числам ), но ему можно присвоить значение с помощью альтернативного метода суммирования, такого как суммирование Чезаро . Результирующее значение 1/2 совпадает с полученным формальным вычислением.

Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд — это концепция, которая принимает форму степенного ряда из реального анализа . Слово «формальный» указывает на то, что ряд не обязательно сходится. В математике, и особенно в алгебре, формальный ряд — это бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от какого-либо понятия сходимости и которой можно манипулировать с помощью алгебраических операций над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. д.).

Формальный степенной ряд — это особый вид формальных рядов, который можно рассматривать как обобщение многочлена, в котором число членов может быть бесконечным без каких-либо требований сходимости. Таким образом, ряд больше не может представлять собой функцию своей переменной, а просто формальную последовательность коэффициентов, в отличие от степенного ряда, который определяет функцию, принимая числовые значения переменной в пределах радиуса сходимости. В формальном степенном ряду степени переменной используются только как удерживающие позиции для коэффициентов, так что коэффициент при $\displaystyle x^{5}}x^{5$ является пятым членом последовательности. В комбинаторике метод производящих функций использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательностей и мультимножеств, например, позволяя получить краткие выражения для рекурсивно определенных последовательностей независимо от того, может ли рекурсия быть решена явно. В более общем смысле, формальные степенные ряды могут включать ряды с любым конечным (или счетным) числом переменных и с коэффициентами в произвольном кольце.

Кольца формальных степенных рядов являются полными локальными кольцами, которые поддерживают методы исчисления в чисто алгебраической структуре алгебраической геометрии и коммутативной алгебры . Они аналогичны p-адическим целым числам, которые можно определить как формальный ряд степеней p.

Манипулирование символами

Дифференциальные уравнения

Чтобы решить дифференциальное уравнение

{\frac {dy}{dx}}=y^{2}

эти символы можно рассматривать как обычные алгебраические символы, и без каких-либо обоснований относительно справедливости этого шага мы возьмем обратные значения обеих сторон:

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y^{2}}}

Простая первообразная :

x={\frac {-1}{y}}+C

y={\frac {1}{C-x}}

Поскольку это формальный расчет, допустимо положить $C=\infty$ и получим другое решение:

y={\frac {1}{\infty -x}}={\frac {1}{\infty }}=0

Окончательные решения можно проверить, чтобы убедиться, что они решают уравнение.

Перекрестное произведение

Перекрестное произведение можно выразить как следующий определитель :

\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}

где $(\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )$ — положительно ориентированный ортонормированный базис трехмерного ориентированного евклидова векторного пространства , а $a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3}$ являются скалярами такими, что $\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$ и аналогичные для $\mathbf {b}$ .

См. также

Ссылки

Стюарт С. Антман (1995). Нелинейные задачи упругости, Прикладные математические науки вып. 107 . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-20880-1 .