Интеграция Лебега

В теоретико-мерном анализе смежных разделах математики и интеграция Лебега-Стилтьеса обобщает как интеграцию Римана-Стилтьеса , так и интеграцию Лебега , сохраняя многие преимущества первого в более общей структуре теории меры. Интеграл Лебега–Стилтьеса — это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как мера Лебега–Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на действительной прямой. Мера Лебега–Стилтьеса является регулярной борелевской мерой , и наоборот, каждая регулярная борелевская мера на действительной прямой относится к такому типу.

Лебега-Стилтьеса Интегралы , названные в честь Анри Леона Лебега и Томаса Джоаннеса Стилтьеса , также известны как интегралы Лебега-Радона или просто интегралы Радона , в честь Иоганна Радона , которому принадлежит большая часть теории. Они находят общее применение в теории вероятностей и случайных процессах , а также в некоторых разделах анализа, включая теорию потенциала .

Определение

Интеграл Лебега–Стилтьеса

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

определяется, когда $f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ является борелевским - измеримым и ограниченный и $g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ имеет ограниченную вариацию в $[a, b]$ и непрерывен справа, или когда $f$ неотрицательен, а $монотонен$ и g непрерывен справа . Для начала предположим, что $f$ неотрицательна, а $g$ монотонно не убывает и непрерывна справа. Определим $w ((s, t]) = g (t) - g (s)$ и $w ({a}) = 0$ (Альтернативно конструкция работает для $g$ непрерывных слева, $w ([s, t)) = g (т) - г (s)$ и $ш ({б}) знак равно 0$ ).

По теореме Каратеодори о расширении существует единственная борелевская мера $µ g$ на $[a, b]$ которая согласуется с $w$ на каждом интервале $I.$ , Мера $µ g$ возникает из внешней меры (фактически, метрической внешней меры ), заданной формулой

\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\}

нижняя грань занимает все покрытия $E$ счетным числом полуинтервалов. Эту меру иногда называют ^[1] мера Лебега –Стилтьеса, связанная с $g$ .

Интеграл Лебега–Стилтьеса

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

определяется как интеграл Лебега от $f$ по мере $µ g$ обычным способом. Если $g$ не возрастает, то определим

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),

последний интеграл определяется предыдущей конструкцией.

Если $g$ имеет ограниченную вариацию, то можно написать

g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)

где $г 1 (Икс) знак равно V х a g$ — полная вариация г $в$ интервале $[а, Икс]$ и $г 2 (Икс) знак равно г 1 (Икс) - г (Икс)$ . И $g 1$ , и $g 2$ монотонно неубывающие.

Теперь, если $f$ ограничено, интеграл Лебега – Стилтьеса от f относительно $g$ определяется формулой

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),

где два последних интеграла корректно определены предыдущей конструкцией.

Интеграл Даниэля

Альтернативный подход ( Хьюитт и Стромберг, 1965 ) состоит в том, чтобы определить интеграл Лебега–Стилтьеса как интеграл Даниэля , который расширяет обычный интеграл Римана–Стилтьеса. Пусть $g$ — неубывающая непрерывная справа функция на $[a, b]$ и определите $I (f)$ как интеграл Римана – Стилтьеса .

I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

для всех непрерывных функций $f$ . Функционал , $I$ определяет Радона на $[a] b .$ меру Затем этот функционал можно расширить на класс всех неотрицательных функций, положив

{\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{aligned}}

Для измеримых по Борелю функций имеем

{\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),

и тогда каждая сторона идентичности определяет интеграл Лебега – Стилтьеса от $h$ . Внешняя мера $µ g$ определяется формулой

\mu _{g}(A):={\overline {I}}(\chi _{A})={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})

где $х А$ — функция А. $$ индикаторная

Интеграторы ограниченной вариации обрабатываются, как указано выше, путем разложения на положительные и отрицательные вариации.

Пример

Предположим, что $γ : [a, b] \to R 2$ — спрямляемая кривая на плоскости и $ρ : R 2 \to [0, \infty)$ измеримо по Борелю. Тогда мы можем определить длину $γ$ относительно евклидовой метрики, взвешенной по ρ, как

\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),

где $\ell (t)$ длина ограничения $γ$ на $[a, t]$ . Иногда это называют $ρ$ -длиной $γ$ . Это понятие весьма полезно для различных приложений: например, в грязной местности скорость, с которой может двигаться человек, может зависеть от глубины грязи. Если $ρ (z)$ обозначает обратную скорость ходьбы при $z$ или около него , то $ρ$ -длина $γ$ — это время, которое потребуется для прохождения $γ$ . Понятие экстремальной длины использует это понятие $ρ$ -длины кривых и полезно при изучении конформных отображений .

Интеграция по частям

Функция $f$ называется «регулярной» в точке $a,$ если существуют правый и левый пределы $f (a +)$ и $f (a -)$ и функция принимает в $точке a$ среднее значение

f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.

Для двух функций $U$ и $V$ конечной вариации, если в каждой точке хотя бы одна из $U$ или $V$ непрерывна или $U$ и $V$ обе регулярны, то справедлива формула интегрирования по частям для интеграла Лебега – Стилтьеса: ^[2]

\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<\infty .

Здесь соответствующие меры Лебега–Стилтьеса связаны с непрерывными справа версиями функций $U$ и $V$ ; то есть, чтобы ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ и аналогично ${\tilde {V}}(x).$ Ограниченный интервал $(a, b)$ может быть заменен неограниченным интервалом $(-\infty, b)$ , $(a, \infty)$ или $(-\infty, \infty)$ при условии, что $U$ и $V$ имеют конечную вариацию на этом неограниченном интервале. Также можно использовать комплексные функции.

Альтернативный результат, имеющий большое значение для теории стохастического исчисления, заключается в следующем. Даны две функции $U$ и $V$ конечной вариации, которые непрерывны справа и имеют пределы слева (они являются càdlàg функциями ), тогда

U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},

где $Δ U т знак равно U (т) - U (т -)$ . Этот результат можно рассматривать как предшественник леммы Ито , и он может быть использован в общей теории стохастического интегрирования. Последний член — $Δ U (t) Δ V (t) = d [U, V],$ который возникает из квадратичной $U$ и $V.$ ковариации (Тогда предыдущий результат можно рассматривать как результат, относящийся к интегралу Стратоновича .)

Связанные понятия

Когда $g (x) = x$ для всех вещественных $x$ , то $µ g$ является мерой Лебега , а интеграл Лебега–Стилтьеса от $f$ относительно $g$ эквивалентен интегралу Лебега от $f$ .

Интеграция Римана – Стилтьеса и теория вероятностей

Где $f$ — непрерывная вещественная функция действительной переменной, а $v$ — неубывающая действительная функция, интеграл Лебега–Стилтьеса эквивалентен интегралу Римана–Стилтьеса , и в этом случае мы часто пишем

\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)

для интеграла Лебега–Стилтьеса, оставляя меру $µ v$ неявной. Это особенно распространено в теории вероятностей , когда $v$ является кумулятивной функцией распределения вещественной случайной величины $X$ , и в этом случае

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].

см. в статье об интеграции Римана – Стилтьеса ( Более подробную информацию о таких случаях .)

Примечания

^ Халмош (1974), раздел 15.
^ Хьюитт, Эдвин (май 1960 г.). «Интегрирование по частям для интегралов Стилтьеса». Американский математический ежемесячник . 67 (5): 419–423. дои : 10.2307/2309287 . JSTOR 2309287 .

Также см.

Хенсток-Курцвейл-Стилтьес Интеграл

Ссылки

Халмош, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag .
Сакс, Станислав (1937) Теория интеграла.
Шилов Г.Е. и Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации. ISBN 0-486-63519-8 .

[1] Халмош (1974), раздел 15.

[2] Хьюитт, Эдвин (май 1960 г.). «Интегрирование по частям для интегралов Стилтьеса». Американский математический ежемесячник . 67 (5): 419–423. дои : 10.2307/2309287 . JSTOR 2309287 .

[1]

[2]

v т и Интегралы
Типы интегралы	Интеграл Римана Интеграл Лебега Интеграл Беркилла Интеграл Бохнера Интеграл Даниэля Интеграл Дарбу Интеграл Хенстока – Курцвейла Его интеграл Интеграл Хеллингера Интеграл Хинчина Kolmogorov integral Интеграл Лебега – Стилтьеса Интеграл Петтиса Интеграл Пфеффера Интеграл Римана – Стилтьеса Регулируемый интеграл
Интеграция методы	Замена Тригонометрический Эйлер Вейерштрасс По частям Частные дроби Формула Эйлера Обратные функции Изменение порядка Формулы приведения Параметрические производные Дифференцирование под знаком интеграла Преобразование Лапласа Контурная интеграция метод Лапласа Численное интегрирование Правило Симпсона Правило трапеции Алгоритм Риша
Несобственные интегралы	Гауссов интеграл Интеграл Дирихле Интеграл Ферми – Дирака полный неполный Интеграл Бозе – Эйнштейна Блендеры для цельнозерновой муки Общие интегралы в квантовой теории поля
Стохастические интегралы	Ито интеграл Интеграл Руссо – Валлуа Интеграл Стратоновича Skorokhod integral
Разнообразный	Базельская проблема Формула Эйлера-Маклорена Рог Габриэля Интеграционная пчела Доказательство того, что 22/7 превышает π Объемы Шайбы Ракушки