Экстремальная длина

В математической теории конформных и квазиконформных отображений экстремальная длина набора кривых $\Gamma$ является мерой размера $\Gamma$ инвариантный относительно конформных отображений. Более конкретно, предположим, что $D$ является открытым множеством в комплексной плоскости и $\Gamma$ это коллекцияпутей в $D$ и $f:D\to D'$ является конформным отображением. Тогда экстремальная длина $\Gamma$ равна экстремальной длине изображения $\Gamma$ под $f$. Также работают с конформным модулем $\Gamma$, обратная экстремальной длине. Тот факт, что экстремальная длина и конформный модуль являются конформными инвариантами $\Gamma$ делает их полезными инструментами при изучении конформных и квазиконформных отображений. Можно также работать с экстремальной длиной в размерностях больше двух и некоторых других метрических пространствах , но нижеследующее касается в первую очередь двумерной ситуации.

Определение экстремальной длины

Чтобы определить экстремальную длину, нам нужно сначала ввести несколько связанных величин.Позволять $D$ быть открытым множеством в комплексной плоскости. Предположим, что $\Gamma$ этосовокупность спрямляемых кривых в $D$. Если $\rho :D\to [0,\infty ]$измерима по Борелю , то для любой спрямляемой кривой $\gamma$ мы позволяем

$L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|$

обозначают $\rho$– длина $\gamma$, где $|dz|$ обозначает Евклидов элемент длины. (Возможно, что $L_{\rho }(\gamma )=\infty$.)Что это на самом деле означает? Если $\gamma :I\to D$ параметризуется в некотором интервале $I$,затем $\int _{\gamma }\rho \,|dz|$ – интеграл от измеримой по Борелю функции $\rho (\gamma (t))$ относительно меры Бореля на $I$для которого мера каждого подинтервала $J\subset I$ это длинаограничение $\gamma$ к $J$. Другими словами, это Интеграл Лебега-Стилтьеса $\int _{I}\rho (\gamma (t))\,d{\mathrm {length} }_{\gamma }(t)$, где ${\mathrm {length} }_{\gamma }(t)$ длина ограничения $\gamma$к $\{s\in I:s\leq t\}$.Также установите

$L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).$

Площадь ​ ​ $\rho$ определяется как

$A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,$

и длина экстремальная $\Gamma$ является

$EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,$

где верхняя грань находится по всем измеримым по Борелю $\rho :D\to [0,\infty ]$ с $0<A(\rho )<\infty$. Если $\Gamma$ содержит несколько неспрямляемых кривых и $\Gamma _{0}$ обозначает множество спрямляемых кривых в $\Gamma$, затем $EL(\Gamma )$ определяется как $EL(\Gamma _{0})$.

Термин (конформный) модуль $\Gamma$ относится к $1/EL(\Gamma )$.

Экстремальное расстояние в $D$ между двумя сетами в ${\overline {D}}$ — экстремальная длина набора кривых в $D$ с одной конечной точкой в ​​одном наборе и другой конечной точкой в ​​другом наборе.

Примеры

В этом разделе экстремальная длина вычисляется на нескольких примерах. Первые три из этих примеров действительно полезны в приложениях экстремальной длины.

Экстремальное расстояние в прямоугольнике

Исправьте некоторые положительные числа $w,h>0$, и пусть $R$ быть прямоугольником $R=(0,w)\times (0,h)$. Позволять $\Gamma$ — множество всех кривых конечной длины $\gamma :(0,1)\to R$ пересекающие прямоугольник слева направо в том смысле, что $\lim _{t\to 0}\gamma (t)$находится на левом краю $\{0\}\times [0,h]$ прямоугольника и $\lim _{t\to 1}\gamma (t)$ находится на правом краю $\{w\}\times [0,h]$.(Пределы обязательно существуют, поскольку мы предполагаем, что $\gamma$ имеет конечную длину.) Сейчас мы докажем, что в этом случае

$EL(\Gamma )=w/h$

Во-первых, мы можем взять $\rho =1$ на $R$. Этот $\rho$ дает $A(\rho )=w\,h$ и $L_{\rho }(\Gamma )=w$. Определение $EL(\Gamma )$ в качестве супремума тогда дает $EL(\Gamma )\geq w/h$.

Противоположное неравенство не так просто. Рассмотрим произвольную измеримую по Борелю $\rho :R\to [0,\infty ]$ такой, что $\ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0$.Для $y\in (0,h)$, позволять $\gamma _{y}(t)=i\,y+w\,t$ (где мы определяем $\mathbb {R} ^{2}$ с комплексной плоскостью).Затем $\gamma _{y}\in \Gamma$, и, следовательно, $\ell \leq L_{\rho }(\gamma _{y})$.Последнее неравенство можно записать как

$\ell \leq \int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt.$

Интегрируя это неравенство по $y\in (0,h)$ подразумевает

$h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt\,dy$.

Теперь замена переменной $x=w\,t$ и применение неравенства Коши – Шварца дают

$h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{w}\rho (x+i\,y)\,dx\,dy\leq {\Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (}w\,h\,A(\rho ){\bigr )}^{1/2}$. Это дает $\ell ^{2}/A(\rho )\leq w/h$.

Поэтому, $EL(\Gamma )\leq w/h$, как требуется.

Как показывает доказательство, экстремальная длина $\Gamma$ совпадает с экстремальной длиной гораздо меньшего набора кривых $\{\gamma _{y}:y\in (0,h)\}$.

Следует отметить, что экстремальная длина семейства кривых $\Gamma \,'$ которые соединяют нижний край $R$ до верхнего края $R$ удовлетворяет $EL(\Gamma \,')=h/w$, по тому же аргументу. Поэтому, $EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1$.Это естественно называть свойством двойственности экстремальной длины, и аналогичное свойство двойственности встречается в контексте следующего подраздела. Заметим, что получение нижней оценки $EL(\Gamma )$ обычно проще, чем получить верхнюю границу, поскольку нижняя граница предполагает выбор достаточно хорошего $\rho$ и оценка $L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )$, а верхняя оценка предполагает доказательство утверждения обо всех возможных $\rho$. По этой причине двойственность часто бывает полезна, когда ее можно установить: когда мы знаем, что $EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1$, нижняя граница $EL(\Gamma \,')$ переводится как верхняя граница $EL(\Gamma )$.

Экстремальное расстояние в кольцевом пространстве

Позволять $r_{1}$ и $r_{2}$ быть удовлетворяющими двум радиусам $0<r_{1}<r_{2}<\infty$. Позволять $A$ быть кольцом $A:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z|<r_{2}\}$ и пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ быть двумя граничными компонентами $A$: $C_{1}:=\{z:|z|=r_{1}\}$ и $C_{2}:=\{z:|z|=r_{2}\}$. Рассмотрим экстремальное расстояние в $A$ между $C_{1}$ и $C_{2}$; что является экстремальной длиной коллекции $\Gamma$ кривых $\gamma \subset A$ подключение $C_{1}$ и $C_{2}$.

Чтобы получить нижнюю оценку $EL(\Gamma )$, мы берем $\rho (z)=1/|z|$. Тогда для $\gamma \in \Gamma$ ориентированный из $C_{1}$ к $C_{2}$

$\int _{\gamma }|z|^{-1}\,ds\geq \int _{\gamma }|z|^{-1}\,d|z|=\int _{\gamma }d\log |z|=\log(r_{2}/r_{1}).$

С другой стороны,

$A(\rho )=\int _{A}|z|^{-2}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).$

Мы заключаем, что

$EL(\Gamma )\geq {\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.$

Теперь мы видим, что это неравенство на самом деле является равенством, используя аргумент, аналогичный приведенному выше для прямоугольника. Рассмотрим произвольную измеримую по Борелю $\rho$ такой, что $\ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0$. Для $\theta \in [0,2\,\pi )$ позволять $\gamma _{\theta }:(r_{1},r_{2})\to A$ обозначим кривую $\gamma _{\theta }(r)=e^{i\theta }r$. Затем

$\ell \leq \int _{\gamma _{\theta }}\rho \,ds=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\rho (e^{i\theta }r)\,dr.$

Мы интегрируем более $\theta$ и примените неравенство Коши-Шварца, чтобы получить:

$2\,\pi \,\ell \leq \int _{A}\rho \,dr\,d\theta \leq {\Bigl (}\int _{A}\rho ^{2}\,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.$

Возведение в квадрат дает

$4\,\pi ^{2}\,\ell ^{2}\leq A(\rho )\cdot \,2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).$

Отсюда следует верхняя граница $EL(\Gamma )\leq (2\,\pi )^{-1}\,\log(r_{2}/r_{1})$.В сочетании с нижней границей это дает точное значение экстремальной длины:

$EL(\Gamma )={\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.$

Экстремальная длина вокруг кольца

Позволять $r_{1},r_{2},C_{1},C_{2},\Gamma$ и $A$ быть, как указано выше, но теперь пусть $\Gamma ^{*}$ быть совокупностью всех кривых, которые однажды обвивают кольцевое пространство, разделяя $C_{1}$ от $C_{2}$. Используя приведенные выше методы, нетрудно показать, что

$EL(\Gamma ^{*})={\frac {2\pi }{\log(r_{2}/r_{1})}}=EL(\Gamma )^{-1}.$

Это иллюстрирует еще один пример двойственности экстремальной длины.

Экстремальная длина топологически существенных путей в проективной плоскости

В приведенных выше примерах экстремум $\rho$ что максимизировало соотношение $L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )$ и дал экстремальную длину, соответствующую плоской метрике. Другими словами, когда евклидова риманова метрика соответствующей плоской области масштабируется как $\rho$, результирующая метрика является плоской. В случае прямоугольника это была просто исходная метрика, но для кольца выявленная экстремальная метрика является метрикой цилиндра . Теперь мы обсудим пример, когда экстремальная метрика не является плоской. Проективная плоскость со сферической метрикой получается путем отождествления противоположных точек на единичной сфере в $\mathbb {R} ^{3}$ со своей римановой сферической метрикой. Другими словами, это фактор сферы по отображению $x\mapsto -x$. Позволять $\Gamma$ обозначаем множество замкнутых кривых в этой проективной плоскости, которые не являются нуль-гомотопными . (Каждая кривая в $\Gamma$ получается проектированием кривой на сферу от точки к ее антиподу.) Тогда сферическая метрика экстремальна для этого семейства кривых. (Определение экстремальной длины легко распространяется на римановы поверхности.) Таким образом, экстремальная длина равна $\pi ^{2}/(2\,\pi )=\pi /2$.

Экстремальная длина путей, содержащих точку

Если $\Gamma$ это любой набор путей, каждый из которых имеет положительный диаметр и содержит точку $z_{0}$, затем $EL(\Gamma )=\infty$. Это следует, например, если принять

$\rho (z):={\begin{cases}(-|z-z_{0}|\,\log |z-z_{0}|)^{-1}&|z-z_{0}|<1/2,\\0&|z-z_{0}|\geq 1/2,\end{cases}}$ который удовлетворяет $A(\rho )<\infty$ и $L_{\rho }(\gamma )=\infty$ за каждое исправимое $\gamma \in \Gamma$.

Элементарные свойства экстремальной длины

Экстремальная длина удовлетворяет нескольким простым свойствам монотонности. Во-первых, ясно, что если $\Gamma _{1}\subset \Gamma _{2}$, затем $EL(\Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})$.Более того, тот же вывод справедлив, если каждая кривая $\gamma _{1}\in \Gamma _{1}$ содержит кривую $\gamma _{2}\in \Gamma _{2}$ как подкривую (т.е. $\gamma _{2}$ это ограничение $\gamma _{1}$ на подинтервал своей области определения). Еще одно иногда полезное неравенство:

$EL(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq {\bigl (}EL(\Gamma _{1})^{-1}+EL(\Gamma _{2})^{-1}{\bigr )}^{-1}.$

Это ясно, если $EL(\Gamma _{1})=0$ или если $EL(\Gamma _{2})=0$, и в этом случае правая часть интерпретируется как $0$. Итак, предположим, что это не так, и без ограничения общности предположим, что кривые в $\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}$ все поправимо. Позволять $\rho _{1},\rho _{2}$ удовлетворить $L_{\rho _{j}}(\Gamma _{j})\geq 1$ для $j=1,2$. Набор $\rho =\max\{\rho _{1},\rho _{2}\}$. Затем $L_{\rho }(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq 1$ и $A(\rho )=\int \rho ^{2}\,dx\,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\rho _{2})$, что доказывает неравенство.

Конформная инвариантность экстремальной длины

Позволять $f:D\to D^{*}$ быть конформным гомеоморфизмом ( биективное голоморфное отображение ) между плоскими областями. Предположим, что $\Gamma$ представляет собой совокупность кривых $D$,и пусть $\Gamma ^{*}:=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma \}$ обозначаюткривые изображения под $f$. Затем $EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})$.Это утверждение конформной инвариантности является основной причиной, по которой концепцияэкстремальная длина полезна.

Вот доказательство конформной инвариантности. Позволять $\Gamma _{0}$ обозначим множество кривых $\gamma \in \Gamma$ такой, что $f\circ \gamma$ спрямляемо, и пусть $\Gamma _{0}^{*}=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma _{0}\}$, который представляет собой множество спрямляемыхкривые в $\Gamma ^{*}$. Предположим, что $\rho ^{*}:D^{*}\to [0,\infty ]$ измерима по Борелю. Определять

$\rho (z)=|f\,'(z)|\,\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}.$

Замена переменных $w=f(z)$ дает

$A(\rho )=\int _{D}\rho (z)^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D}\rho ^{*}(f(z))^{2}\,|f\,'(z)|^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).$

Теперь предположим, что $\gamma \in \Gamma _{0}$ спрямляемо и установим $\gamma ^{*}:=f\circ \gamma$. Формально мы можем снова использовать замену переменных:

$L_{\rho }(\gamma )=\int _{\gamma }\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}\,|f\,'(z)|\,|dz|=\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\,|dw|=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).$

Чтобы оправдать этот формальный расчет, предположим, что $\gamma$ определяется в некотором интервале $I$, позволять $\ell (t)$ обозначают длину ограничения $\gamma$ к $I\cap (-\infty ,t]$,и пусть $\ell ^{*}(t)$ быть аналогично определено с помощью $\gamma ^{*}$ вместо $\gamma$. Тогда это легко увидеть $d\ell ^{*}(t)=|f\,'(\gamma (t))|\,d\ell (t)$, и это подразумевает $L_{\rho }(\gamma )=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*})$, как требуется. Приведенные выше равенства дают

$EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma _{0}^{*})=EL(\Gamma ^{*}).$

Если бы мы знали, что каждая кривая в $\Gamma$ и $\Gamma ^{*}$ было поправимо, это быдоказывать $EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})$ поскольку мы также можем применить вышеизложенное с $f$ заменено на обратноеи $\Gamma$ поменялся местами с $\Gamma ^{*}$. Осталось разобраться с неспрямляемыми кривыми.

Теперь позвольте ${\hat {\Gamma }}$ обозначим множество спрямляемых кривых $\gamma \in \Gamma$ такой, что $f\circ \gamma$ являетсянеисправимый. Мы утверждаем, что $EL({\hat {\Gamma }})=\infty$.Действительно, возьмите $\rho (z)=|f\,'(z)|\,h(|f(z)|)$, где $h(r)={\bigl (}r\,\log(r+2){\bigr )}^{-1}$.Тогда замена переменной, как указано выше, дает

$A(\rho )=\int _{D^{*}}h(|w|)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .$

Для $\gamma \in {\hat {\Gamma }}$ и $r\in (0,\infty )$ такой, что $f\circ \gamma$содержится в $\{z:|z|<r\}$, у нас есть

$L_{\rho }(\gamma )\geq \inf\{h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {length} (f\circ \gamma )=\infty$.

С другой стороны, предположим, что $\gamma \in {\hat {\Gamma }}$ таков, что $f\circ \gamma$ является неограниченным.Набор $H(t):=\int _{0}^{t}h(s)\,ds$. Затем $L_{\rho }(\gamma )$ это как минимум длина кривой $t\mapsto H(|f\circ \gamma (t)|)$(из интервала в $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$). С $\lim _{t\to \infty }H(t)=\infty$,отсюда следует, что $L_{\rho }(\gamma )=\infty$.Таким образом, действительно, $EL({\hat {\Gamma }})=\infty$.

Используя результаты предыдущего раздела , имеем

$EL(\Gamma )=EL(\Gamma _{0}\cup {\hat {\Gamma }})\geq EL(\Gamma _{0})$.

Мы это уже видели $EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma ^{*})$. Таким образом, $EL(\Gamma )\geq EL(\Gamma ^{*})$.Обратное неравенство выполняется в силу симметрии, и поэтому установлена ​​конформная инвариантность.

Некоторые приложения экстремальной длины

Путем расчета экстремального расстояния в кольце и конформногоинвариантности, то кольцо $\{z:r<|z|<R\}$ (где $0\leq r<R\leq \infty$)не конформно гомеоморфно кольцу $\{w:r^{*}<|w|<R^{*}\}$ если ${\frac {R}{r}}\neq {\frac {R^{*}}{r^{*}}}$.

Экстремальная длина в высших измерениях

Понятие экстремальной длины адаптируется к изучению различных задач в размерностях 3 и выше, особенно в отношении квазиконформных отображений.

Дискретная экстремальная длина

Предположим, что $G=(V,E)$ это некоторый график и $\Gamma$ представляет собой совокупность путей в $G$. В этой ситуации есть два варианта экстремальной длины. Чтобы определить экстремальную длину ребра , первоначально введенную Р. Дж. Даффином , рассмотрим функцию $\rho :E\to [0,\infty )$. $\rho$-длина пути определяется как сумма $\rho (e)$ по всем ребрам пути, считая с кратностью. « Район » $A(\rho )$ определяется как $\sum _{e\in E}\rho (e)^{2}$. Экстремальная длина $\Gamma$ затем определяется, как и раньше. Если $G$ интерпретируется как сеть резисторов , где каждое ребро имеет единичное сопротивление, тогда эффективное сопротивление между двумя наборами вершин - это в точности экстремальная длина ребра набора путей с одной конечной точкой в ​​одном наборе и другой конечной точкой в ​​другом наборе. Таким образом, дискретная экстремальная длина полезна для оценок в дискретной теории потенциала .

Другое понятие дискретной экстремальной длины, подходящее в других контекстах, — это экстремальная длина вершины , где $\rho :V\to [0,\infty )$, площадь $A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}$, а длина пути равна сумме $\rho (v)$ по вершинам, которые посещает путь, с кратностью.

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1973), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., MR   0357743
• Даффин, Р.Дж. (1962), «Экстремальная длина сети», Журнал математического анализа и приложений , 5 (2): 200–215, doi : 10.1016/S0022-247X(62)80004-3
• Лехто, О.; Виртанен, К.И. (1973), Квазиконформные отображения на плоскости (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag