Антиподальная точка

Чтобы узнать о географической противоположной точке места на Земле, см. антиподы .

Две точки P и P ' (красные) противоположны , потому что они являются концами диаметра PP ' , сегмента оси a ( фиолетового цвета), проходящего через центр сферы O (черного цвета). P и P ' — полюса большого круга g (зеленого цвета), точки которого равноудалены друг от друга (с центральным прямым углом). Любой большой круг s (синий), проходящий через полюса, вторичен по отношению к g .

В математике две точки сферы ( или n-сферы , включая круг ) называются антиподальными или диаметрально противоположными , если они являются концами диаметра , отрезка прямой между двумя точками на сфере и проходящей через ее центр .

Для любой точки на сфере ее антиподальная точка является единственной точкой наибольшего расстояния , независимо от того, измерена ли она внутренне ( расстояние по большому кругу на поверхности сферы) или внешне ( хордальное расстояние через внутреннюю часть сферы). Каждый большой круг на сфере, проходящий через точку, также проходит через свою антиподальную точку, и существует бесконечно много больших кругов, проходящих через пару противоположных точек (в отличие от ситуации для любой неантиподальной пары точек, которая имеет единственный большой круг проходя через оба). Многие результаты в сферической геометрии зависят от выбора неантиподальных точек и вырождаются , если допускаются антиподальные точки; например, сферический треугольник вырождается в неопределенную луну , если две вершины противоположны.

Точка, антиподальная к данной точке, называется ее антиподами , от греческого ἀντίποδες ( антиподы ), что означает «противоположные ноги»; см. Антиподы § Этимология . Иногда буква s опускается, и получается антипод , задняя формация .

Высшая математика

Понятие антиподальных точек распространяется на сферы любого измерения: две точки на сфере являются антиподальными, если они противоположны через центр . Каждая линия, проходящая через центр, пересекает сферу в двух точках, по одной для каждого луча, исходящего из центра, и эти две точки противоположны.

Теорема Борсука–Улама является результатом алгебраической топологии, имеющей дело с такими парами точек. Он говорит, что любая непрерывная функция из $S^{n}$ к $\mathbb {R} ^{n}$ отображает некоторую пару противоположных точек в $S^{n}$ в ту же точку в $\mathbb {R} ^{n}.$ Здесь, $S^{n}$ обозначает $n$-мерная сфера и $\mathbb {R} ^{n}$ является $n$-мерное реальное координатное пространство .

Антиподальная карта $A:S^{n}\to S^{n}$ отправляет каждую точку сферы в противоположную точку. Если точки на $n$-сфера представлены в виде векторов смещения от центра сферы в евклидовом виде. $(n+1)$-пространстве, то две противоположные точки представляются аддитивными обратными $\mathbf {v}$ и $-\mathbf {v} ,$ и антиподальное отображение можно определить как $A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .$ Антиподальное отображение сохраняет ориентацию ( гомотопно тождественному отображению ) когда $n$ является нечетным и меняет его, когда $n$ четный. Его степень ​ $(-1)^{n+1}.$

Если антиподальные точки идентифицированы (считаются эквивалентными), сфера становится моделью реального проективного пространства .

См. также

• Вырезать локус

Внешние ссылки

• «Антиподы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «антиподальный» . ПланетаМатематика .