Гауссов интеграл

График функции и пространство между ним и -ось (т.е. вся действительная линия), равная .

Интеграл Гаусса , также известный как интеграл Эйлера–Пуассона , является интегралом функции Гаусса. по всей реальной линии. названный в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса Интеграл, , равен

Авраам де Муавр впервые открыл этот тип интеграла в 1733 году, а Гаусс опубликовал точный интеграл в 1809 году. [1] Интеграл имеет широкий спектр применения. Например, при незначительном изменении переменных используется для вычисления нормирующей константы нормального распределения . Один и тот же интеграл с конечными пределами тесно связан как с функцией ошибок, так и с кумулятивной функцией распределения нормального распределения . В физике этот тип интеграла часто появляется, например, в квантовой механике , чтобы найти плотность вероятности основного состояния гармонического осциллятора. Этот интеграл также используется в формулировке интеграла по траекториям для нахождения распространителя гармонического осциллятора и в статистической механике для нахождения его статистической суммы .

Хотя элементарной функции для функции ошибок не существует , что можно доказать с помощью алгоритма Риша , [2] Интеграл Гаусса может быть решен аналитически с помощью методов исчисления многих переменных . То есть элементарного неопределенного интеграла для

но определенный интеграл
можно оценить. Определенный интеграл произвольной функции Гаусса равен

Вычисление [ править ]

По полярным координатам [ править ]

Стандартный способ вычисления интеграла Гаусса, идея которого восходит к Пуассону: [3] заключается в использовании имущества, которое:

Рассмотрим функцию в самолете и вычислите его интеграл двумя способами:

  1. с одной стороны, при двойном интегрировании в декартовой системе координат ее интеграл представляет собой квадрат:
  2. с другой стороны, путем интегрирования по оболочке (случай двойного интегрирования в полярных координатах ) его интеграл вычисляется как

Сравнение этих двух вычислений дает интеграл, хотя следует позаботиться о несобственных интегралах .

где коэффициент r — это определитель Якобиана , который появляется в результате преобразования в полярные координаты ( r dr — стандартная мера на плоскости, выраженная в полярных координатах Wikibooks:Calculus/Polar Integration#Generalization ), а замена включает в себя взятие s = − р 2 , поэтому ds = −2 р dr .

Объединение этих доходностей

так

Полное доказательство [ править ]

Чтобы оправдать несобственные двойные интегралы и приравнять два выражения, начнем с аппроксимирующей функции:

Если интеграл

были бы абсолютно сходящимися , мы имели бы главное значение Коши , то есть предел
совпало бы с
Чтобы убедиться в этом, подумайте, что

Итак, мы можем вычислить

просто приняв предел

Взяв квадрат урожайность

Используя теорему Фубини , приведенный выше двойной интеграл можно рассматривать как интеграл по площади.

взято над квадратом с вершинами {(− a , a ), ( a , a ), ( , a ), (− a , − a )} на xy плоскости a .

Поскольку показательная функция больше 0 для всех действительных чисел, отсюда следует, что интеграл, взятый по вписанной окружности квадрата, должен быть меньше, чем квадрата , и аналогично интеграл по описанной окружности должен быть больше, чем . Интегралы по двум дискам можно легко вычислить, переключившись с декартовых координат на полярные :

(См. полярные координаты из декартовых координат, чтобы узнать, как выполнить полярное преобразование.)

Интеграция,

По теореме о сжатии это дает интеграл Гаусса

По декартовым координатам [ править ]

Другая техника, восходящая к Лапласу (1812 г.), [3] заключается в следующем. Позволять

Поскольку пределы на s при y → ±∞ зависят от знака x , использование того факта, что e х 2 четная функция , и, следовательно, интеграл по всем действительным числам в два раза больше интеграла от нуля до бесконечности. То есть,

Таким образом, в области интегрирования x ≥ 0 и переменные y и s имеют одинаковые пределы. Это дает:

Затем, используя теорему Фубини, чтобы изменить порядок интегрирования :

Поэтому, , как и ожидалось.

По методу Лапласа [ править ]

В приближении Лапласа мы имеем дело только с членами до второго порядка в разложении Тейлора, поэтому мы рассматриваем .

Фактически, поскольку для всех , мы имеем точные границы:

Тогда мы можем провести оценку в пределе аппроксимации Лапласа:

То есть,

С помощью тригонометрической подстановки мы точно вычисляем эти две границы: и

Извлекая квадратный корень из формулы Уоллиса ,

у нас есть , желаемый нижний предел. Аналогичным образом мы можем получить желаемый верхний предел.И наоборот, если мы сначала вычислим интеграл одним из других методов, описанных выше, мы получим доказательство формулы Уоллиса.

Связь с гамма-функцией [ править ]

Подынтегральная функция — четная функция ,

Таким образом, после замены переменной , это превращается в интеграл Эйлера

где это гамма-функция . Это показывает, почему факториал полуцелого числа является рациональным кратным . В более общем смысле,

которое можно получить заменой в подынтегральной функции гамма-функции, чтобы получить .

Обобщения [ править ]

Интеграл функции Гаусса [ править ]

Интеграл от произвольной функции Гаусса равен

Альтернативная форма:

Эта форма полезна для расчета ожиданий некоторых непрерывных распределений вероятностей, связанных с нормальным распределением, таких как логнормальное распределение , например, .

Сложная форма [ править ]

и в более общем плане,
для любой положительно определенной симметричной матрицы .

n -мерное и функциональное обобщение [ править ]

Предположим, что A — симметричная положительно определенная (следовательно, обратимая) n × n матрица точности размера , которая является матрицей, обратной матрице ковариации . Затем,

Заполняя квадрат, это обобщается до

Этот факт применяется при изучении многомерного нормального распределения .

Также,

где σ перестановка { 1 , …, 2 N }, правой части — это сумма по всем комбинаторным парам {1, …, 2 N } N а дополнительный множитель в копий A −1 .

Альтернативно, [4]

для некоторой аналитической функции f при условии, что она удовлетворяет некоторым подходящим ограничениям на ее рост и некоторым другим техническим критериям. (Это работает для некоторых функций и не работает для других. Полиномы подходят.) Экспонента над дифференциальным оператором понимается как степенной ряд .

Хотя функциональные интегралы не имеют строгого определения (или даже нестрогого вычислительного в большинстве случаев), мы можем определить гауссовский функциональный интеграл по аналогии с конечномерным случаем. [ нужна ссылка ] Однако существует еще проблема, заключающаяся в том, что бесконечно, а также функциональный определитель , вообще говоря, тоже будет бесконечным. Об этом можно позаботиться, если рассматривать только соотношения:

В обозначениях ДеВитта уравнение выглядит идентично конечномерному случаю.

n -мерный с линейным членом [ править ]

Если A снова является симметричной положительно определенной матрицей, то (при условии, что все являются векторами-столбцами)

Интегралы аналогичного вида [ править ]

где является положительным целым числом

Самый простой способ получить их — дифференцировать под знаком интеграла .

Для решения этой проблемы можно также интегрировать по частям и найти рекуррентное соотношение .

Полиномы высшего порядка [ править ]

Применение линейной замены базиса показывает, что интеграл от экспоненты однородного многочлена от n переменных может зависеть только от SL( n ) -инвариантов многочлена. является дискриминант Одним из таких инвариантов нули которых отмечают особенности интеграла. Однако интеграл может зависеть и от других инвариантов. [5]

Экспоненты других четных многочленов можно решить численно с помощью рядов. Их можно интерпретировать как формальные вычисления, когда нет сходимости. Например, решение интеграла экспоненты многочлена четвертой степени есть [ нужна ссылка ]

Требование n . + p = 0 по модулю 2 связано с тем, что интеграл от −∞ до 0 дает коэффициент (−1) п + п /2 к каждому члену, а интеграл от 0 до +∞ дает коэффициент 1/2 к каждому члену. Эти интегралы встречаются в таких предметах, как квантовая теория поля .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ Шталь, Саул (апрель 2006 г.). «Эволюция нормального распределения» (PDF) . МАА.org . Проверено 25 мая 2018 г.
  2. ^ Черри, GW (1985). «Интегрирование в конечных терминах со специальными функциями: функция ошибки» . Журнал символических вычислений . 1 (3): 283–302. дои : 10.1016/S0747-7171(85)80037-7 .
  3. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Интеграл вероятности» (PDF) .
  4. ^ «Справочник по многомерному гауссовскому интегралу» . Обмен стеками . 30 марта 2012 г.
  5. ^ Морозов А.; Шакирово, Ш. (2009). «Введение в интегральные дискриминанты». Журнал физики высоких энергий . 2009 (12): 002. arXiv : 0903.2595 . Бибкод : 2009JHEP...12..002M . дои : 10.1088/1126-6708/2009/12/002 .

Источники [ править ]