Обозначение ДеВитта

Физика часто имеет дело с классическими моделями, в которых динамические переменные представляют собой набор функций. { φ ^а } _α над d-мерным многообразием пространства/пространства-времени M , где α — индекс « вкуса ». Сюда входят функционалы над φ , функциональные производные , функциональные интегралы и т. д. С функциональной точки зрения это эквивалентно работе с бесконечномерным гладким многообразием , где его точки представляют собой присвоение функции для каждого α , а Процедура аналогична дифференциальной геометрии , где координаты точки x многообразия M равны φ ^а ( х ).

В обозначениях ДеВитта (названных в честь физика-теоретика Брайса ДеВитта ) φ ^а ( x ) записывается как φ ^я где i теперь понимается как индекс, охватывающий как α , так и x .

Итак, для гладкого функционала A , A _{, i} обозначает функциональную производную

$A_{,i}[\varphi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\delta }{\delta \varphi ^{\alpha }(x)}}A[\varphi ]$

как функционал от φ . Другими словами, поле « 1-формы » над бесконечномерным «функциональным многообразием».

В интегралах соглашение Эйнштейна о суммировании используется . Альтернативно,

$A^{i}B_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{M}\sum _{\alpha }A^{\alpha }(x)B_{\alpha }(x)d^{d}x$

Ссылки

• Кифер, Клаус (апрель 2007 г.). Квантовая гравитация (твердый переплет) (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 361. ИСБН  978-0-19-921252-1 .