Теорема о сжатии

«Сэндвич-теорема» перенаправляется сюда. Результат из теории меры см. в «Теореме о сэндвиче Хэма» . Чтобы узнать о сэндвич-теории (физике), см. «Сэндвич-теория» .

Иллюстрация теоремы о сжатии

Если последовательность лежит между двумя другими сходящимися последовательностями с тем же пределом, она также сходится к этому пределу.

В исчислении теорема сжатия (также известная как сэндвич-теорема , среди других названий) ) — это теорема о пределе функции , ограниченной между двумя другими функциями.

Теорема о сжатии используется в исчислении и математическом анализе , как правило, для подтверждения предела функции путем сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны. Впервые оно было использовано в геометрической форме математиками Архимедом и Евдоксом в попытке вычислить число π , а в современных терминах оно было сформулировано Карлом Фридрихом Гауссом .

Заявление

Теорема о сжатии формально формулируется следующим образом.

Теорема — Пусть I содержащий — интервал, точку a . Пусть g , f и h — функции, определенные на I , за исключением, возможно, самого a . Предположим, что для каждого x в I, не равного a , мы имеем

$$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$$

а также предположим, что

$$\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.$$

Затем $\lim _{x\to a}f(x)=L.$

• Функции g и h называются нижней и верхней границей (соответственно) f .
• Здесь a не ​ лежит внутри I . обязательно Действительно, если a — конечная точка I , то указанные выше пределы являются левыми или правыми пределами.
• Аналогичное утверждение справедливо и для бесконечных интервалов: например, если I = (0, ∞) , то вывод верен, переходя к пределам при x → ∞ .

Эта теорема справедлива и для последовательностей. Пусть ( an _{две последовательности, сходящиеся} ), ( cn ₎ — к ℓ , и ( bn ₎ — последовательность. Если $\forall n\geq N,N\in \mathbb {N}$ у нас есть a _n ≤ b _n ≤ c _n , тогда ( b _n ) также сходится к ℓ .

Доказательство

Согласно приведенным выше гипотезам мы имеем, приняв предел нижний и верхний:

$$L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,$$

так что все неравенства действительно являются равенствами, и отсюда сразу следует этот тезис.

Прямым доказательством с использованием ( ε , δ ) -определения предела было бы доказать, что для всех действительных ε > 0 существует действительное δ > 0 такое, что для всех x с $|x-a|<\delta ,$ у нас есть $|f(x)-L|<\varepsilon .$ Символически,

$$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).$$

Как

$$\lim _{x\to a}g(x)=L$$

означает, что

$$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).$$

( 1 )

и

$$\lim _{x\to a}h(x)=L$$

означает, что

$$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),$$

( 2 )

тогда у нас есть

$$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$$

$$g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L$$

Мы можем выбрать $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$. Тогда, если $|x-a|<\delta$, объединяя ( 1 ) и ( 2 ), имеем

$$-\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,$$

$$-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,$$

что завершает доказательство. КЭД

Доказательство для последовательностей очень похоже, с использованием $\varepsilon$-определение предела последовательности.

Примеры

Первый пример

$x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ сжимается до предела, когда x стремится к 0

Предел

$$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$$

не может быть определен с помощью предельного закона

$$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),$$

потому что

$$\lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$$

не существует.

Однако по определению синуса функции

$$-1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.$$

Отсюда следует, что

$$-x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}$$

С $\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$, по теореме о сжатии, $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ также должно быть 0.

Второй пример

Сравниваем области:
${\begin{array}{cccccc}&A(\triangle ADB)&\leq &A({\text{sector }}ADB)&\leq &A(\triangle ADF)\\[4pt]\Rightarrow &{\frac {1}{2}}\cdot \sin x\cdot 1&\leq &{\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi &\leq &{\frac {1}{2}}\cdot \tan x\cdot 1\\[4pt]\Rightarrow &\sin x&\leq &x&\leq &{\frac {\sin x}{\cos x}}\\[4pt]\Rightarrow &{\frac {\cos x}{\sin x}}&\leq &{\frac {1}{x}}&\leq &{\frac {1}{\sin x}}\\[4pt]\Rightarrow &\cos x&\leq &{\frac {\sin x}{x}}&\leq &1\end{array}}$

Вероятно, наиболее известными примерами нахождения предела сжатием являются доказательства равенств

$${\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}$$

Первый предел следует с помощью теоремы о сжатии из того факта, что

$$\cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1$$

для x, достаточно близкого к 0. Правильность этого для положительного x можно увидеть с помощью простых геометрических рассуждений (см. Рисунок), которые можно распространить на отрицательный x и . Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

$$0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x$$

для x, достаточно близкого к 0. Это можно получить, заменив sin x в предыдущем факте на ${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$ и возводим полученное неравенство в квадрат.

Эти два предела используются в доказательстве того, что производная функции синуса является функцией косинуса. На этот факт опираются и другие доказательства производных тригонометрических функций.

Третий пример

Можно показать, что

$${\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$$

сжимая следующим образом.

На рисунке справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга равна

$${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},$$

поскольку радиус равен sec θ , а дуга единичной окружности имеет длину Δ θ . Аналогично, площадь большего из двух заштрихованных секторов равна

$${\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.$$

Между ними зажат треугольник, основанием которого является вертикальный сегмент, конечными точками которого являются две точки. Длина основания треугольника равна tan( θ + Δ θ ) − tan θ , а высота равна 1. Следовательно, площадь треугольника равна

$${\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.$$

Из неравенств

$${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}$$

мы делаем вывод, что

$$\sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),$$

при условии, что Δ θ > 0 , и неравенства меняются местами, если Δ θ < 0 . Поскольку первое и третье выражения приближаются к сек ² θ при Δ θ → 0 , а среднее выражение приближается к ${\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,$ желаемый результат следует.

Четвертый пример

Теорему о сжатии все еще можно использовать в исчислении с несколькими переменными, но нижняя (и верхняя функции) должны находиться ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и это работает только в том случае, если функция там действительно есть предел. Следовательно, его можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но его никогда нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке.

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$$

нельзя найти, взяв любое количество пределов вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

$${\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}$$

следовательно, по теореме о сжатии

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.$$

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о сжатии» . Математический мир .
• Теорема о сжатии Брюса Этвуда (Колледж Белойт) после работы Селвина Холлиса (Атлантический государственный университет Армстронга) в рамках Демонстрационного проекта Вольфрама .
• Теорема о сжатии на ProofWiki.