Точность (статистика)

Более широкий охват этой темы см. в разделе Точность и точность .

В статистике матрица точности или матрица концентрации является матрицей, обратной или матрице ковариации матрице дисперсии. $P=\Sigma ^{-1}$. Для одномерных распределений матрица точности вырождается в скалярную точность , определяемую как обратную дисперсии величину : $p={\frac {1}{\sigma ^{2}}}$.

Другая сводная статистика статистической дисперсии также называется точностью (или неточностью). )включать величину, обратную стандартному отклонению , $p={\frac {1}{\sigma }}$; само стандартное отклонение и относительное стандартное отклонение ; а также стандартная ошибка и доверительный интервал (или его полуширина, погрешность ).

Использование

Одно из конкретных применений матрицы точности находится в контексте байесовского анализа многомерного нормального распределения : например, Бернардо и Смит предпочитают параметризовать многомерное нормальное распределение в терминах матрицы точности, а не ковариационной матрицы, из-за определенных упрощений. что тогда возникает. Например, если и априорное значение , и правдоподобие имеют гауссову форму и матрица точности обоих из них существует (поскольку их ковариационная матрица имеет полный ранг и, следовательно, обратима), то матрица точности апостериорного значения будет просто суммой прецизионные матрицы априора и вероятности.

Как обратная эрмитова матрица , матрица точности действительных случайных величин, если она существует, является положительно определенной и симметричной.

Другая причина, по которой матрица точности может быть полезна, заключается в том, что если два измерения $i$ и $j$ многомерной нормали условно независимы , то $ij$ и $ji$ элементы матрицы точности: $0$. Это означает, что матрицы точности имеют тенденцию быть разреженными, когда многие измерения условно независимы, что может привести к повышению эффективности вычислений при работе с ними. Это также означает, что матрицы точности тесно связаны с идеей частичной корреляции .

Матрица точности играет центральную роль в обобщенном методе наименьших квадратов по сравнению с обычным методом наименьших квадратов , где $P$ — единичная матрица , и взвешенный метод наименьших квадратов , где $P$ диагональна ( весовая матрица ).

Этимология

Термин точность в этом смысле («измерение точности наблюдений») впервые появился в работах Гаусса (1809) « Теория движения небесных тел в конических сечениях, окружающих Солнце » (стр. 212). Определение Гаусса отличается от современного в несколько раз. ${\sqrt {2}}$. Он пишет для функции плотности нормального распределения с точностью $h$ (обратная стандартному отклонению),

$\varphi \Delta ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-hh\Delta \Delta }.$

где $hh=h^{2}$ (см. современные экспоненциальные обозначения ).Позже Уиттакер и Робинсон (1924) в « Исчислении наблюдений » назвали эту величину модулем (точности) , но этот термин вышел из употребления.