Матрица Фробениуса

Чтобы узнать о норме матрицы, см. норму матрицы Фробениуса .

Матрица Фробениуса — это особый вид квадратной матрицы численного анализа . Матрица является матрицей Фробениуса, если она обладает следующими тремя свойствами:

• все записи на главной диагонали — единицы
• записи ниже главной диагонали не более чем в одном столбце произвольны
• каждая вторая запись равна нулю

Следующая матрица является примером.

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}$

Матрицы Фробениуса обратимы . Обратная матрица Фробениуса снова является матрицей Фробениуса, равной исходной матрице с измененными знаками вне главной диагонали. Таким образом, обратный пример выше:

$A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}$

Матрицы Фробениуса названы в честь Фердинанда Георга Фробениуса .

Термин «матрица Фробениуса» также может использоваться для обозначения альтернативной формы матрицы, которая отличается от единичной матрицы только элементами одной строки, предшествующей диагональному элементу этой строки (в отличие от приведенного выше определения, в котором матрица отличается от единичной матрицы). в один столбец под диагональю). Следующая матрица является примером этой альтернативной формы, показывающей матрицу 4х4, третья строка которой отличается от единичной матрицы.

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\a_{31}&a_{32}&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Альтернативное название этой последней формы матриц Фробениуса — матрица преобразования Гаусса , в честь Карла Фридриха Гаусса . Они используются в процессе исключения Гаусса для представления преобразований Гаусса.

Если матрица умножается слева (умножается слева) на матрицу преобразования Гаусса, линейная комбинацияпредыдущие строки добавляются к заданной строке матрицы (в приведенном выше примере к строке 3 будет добавлена ​​линейная комбинация строк 1 и 2). Умножение на обратную матрицу вычитает соответствующую линейную комбинацию из заданной строки. Это соответствует одной из элементарных операций исключения Гаусса (помимо операции транспонирования строк и умножения строки на скалярное кратное).

См. также

• Элементарная матрица , частный случай матрицы Фробениуса только с одной недиагональной ненулевой

Ссылки

• Джин Х. Голуб и Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления , третье издание, издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN   0-8018-5413-X (в твердом переплете), ISBN   0-8018-5414-8 (мягкая обложка).