Комплексная матрица Адамара

Комплексная матрица Адамара – это любая комплексная матрица. $N\times N$ матрица $H$ удовлетворяющее двум условиям:

• унимодулярность ( модуль каждой записи равен единице): $|H_{jk}|=1{\text{ for }}j,k=1,2,\dots ,N$
• ортогональность : $HH^{\dagger }=NI$,

где $\dagger$ обозначает транспонирование эрмитово $H$ и $I$ является единичной матрицей . Концепция представляет собой обобщение матриц Адамара . Заметим, что любая комплексная матрица Адамара $H$ можно превратить в унитарную матрицу, умножив ее на ${\frac {1}{\sqrt {N}}}$; и наоборот , любая унитарная матрица, все элементы которой имеют модуль ${\frac {1}{\sqrt {N}}}$ становится комплексным Адамаром при умножении на ${\sqrt {N}}.$

Комплексные матрицы Адамара возникают при изучении операторных алгебр и теории квантовых вычислений . Вещественные матрицы Адамара и матрицы Адамара типа Батсона образуют частные случаи комплексных матриц Адамара.

Комплексные матрицы Адамара существуют для любого натурального числа. $N$ (сравните с реальным случаем, когда матрицы Адамара не существуют для всех $N$ и существование не известно для каждого допустимого $N$). Например, матрицы Фурье ( комплексное сопряжение матриц ДПФ без нормализующего множителя),

$[F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N$

принадлежат к этому классу.

Эквивалентность

Две комплексные матрицы Адамара называются эквивалентными , записанными $H_{1}\simeq H_{2}$, если существуют диагональные унитарные матрицы $D_{1},D_{2}$ и матрицы перестановок $P_{1},P_{2}$ такой, что

$H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.$

Любая комплексная матрица Адамара эквивалентна дефазированной матрице Адамара, в которой все элементы в первой строке и первом столбце равны единице.

Для $N=2,3$ и $5$ все комплексные матрицы Адамара эквивалентны матрице Фурье $F_{N}$. Для $N=4$ существуетнепрерывное однопараметрическое семейство неэквивалентных комплексных матриц Адамара,

$F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {with\quad }}}a\in [0,\pi ).$

Для $N=6$ следующие семейства комплексных матриц Адамараизвестны:

• одно двухпараметрическое семейство, которое включает $F_{6}$,
• одно однопараметрическое семейство $D_{6}(t)$,
• однопараметрическая орбита $B_{6}(\theta )$, включая циркулянтную матрицу Адамара $C_{6}$,
• двухпараметрическая орбита, включая два предыдущих примера $X_{6}(\alpha )$,
• однопараметрическая орбита $M_{6}(x)$ симметричных матриц ,
• двухпараметрическая орбита, включая предыдущий пример $K_{6}(x,y)$,
• трехпараметрическая орбита, включая все предыдущие примеры $K_{6}(x,y,z)$,
• дальнейшая конструкция с четырьмя степенями свободы, $G_{6}$, приводя другие примеры, кроме $K_{6}(x,y,z)$,
• одна точка - одна из матриц Адамара типа Батсона, $S_{6}\in H(3,6)$.

Однако неизвестно, полон ли этот список, но предполагается , что $K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}$ представляет собой исчерпывающий (но не обязательно неизбыточный) список всех комплексных матриц Адамара шестого порядка.

Ссылки

• У. Хаагеруп, Ортогональные максимальные абелевы *-подалгебры матриц n×n и циклических n-корней, Операторные алгебры и квантовая теория поля (Рим), 1996 (Кембридж, Массачусетс: International Press), стр. 296–322.
• П. Дита, Некоторые результаты по параметризации комплексных матриц Адамара, J. ​​Phys. А: Математика. Быт. 37, 5355–5374 (2004).
• Ф. Шоллози, Двухпараметрическое семейство комплексных матриц Адамара 6-го порядка, индуцированных гипоциклоидами, препринт, arXiv:0811.3930v2 [math.OA]
• В. Тадей и К. Жичковски , Краткое руководство по сложным матрицам Адамара Open Systems & Infor. Дин. 13 133-177 (2006)

Внешние ссылки

• Для получения явного списка известных $N=6$ комплексные матрицы Адамара и несколько примеров матриц Адамара размера 7–16 см. Каталог комплексных матриц Адамара.