Матрица Карлемана

В математике матрица Карлемана — это матрица, используемая для преобразования композиции функций в умножение матриц . Он часто используется в теории итераций для поиска непрерывной итерации функций , которые невозможно выполнить только с помощью распознавания образов . Другие варианты использования матриц Карлемана встречаются в теории производящих функций вероятностей и цепях Маркова .

Определение

Матрица Карлемана бесконечно дифференцируемой функции $f(x)$ определяется как:

$M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}~,$

так, чтобы удовлетворить уравнению ( ряда Тейлора ):

$(f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.$

Например, вычисление $f(x)$ к

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}.~$

просто равно скалярному произведению строки 1 $M[f]$ с вектор-столбцом $\left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }$.

Записи $M[f]$ в следующем ряду дайте 2-ю степень числа $f(x)$:

$f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}~,$

а также, чтобы иметь нулевую степень $f(x)$ в $M[f]$, берем строку 0, содержащую нули всюду, кроме первой позиции, такую, что

$f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot x^{k}~.$

Таким образом, произведение скалярное $M[f]$ с вектор-столбцом ${\begin{bmatrix}1,x,x^{2},...\end{bmatrix}}^{T}$ дает вектор-столбец $\left[1,f(x),f(x)^{2},...\right]^{T}$, то есть,

$M[f]{\begin{bmatrix}1\\x\\x^{2}\\x^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\f(x)\\(f(x))^{2}\\(f(x))^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}.$

Обобщение

Обобщение матрицы Карлемана функции может быть определено вокруг любой точки, например:

$M[f]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]$

или $M[f]_{x_{0}}=M[g]$ где $g(x)=f(x+x_{0})-x_{0}$. Это позволяет мощность матрицы соотнести следующим образом:

$(M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]$

Общая серия

Другой способ еще больше обобщить это — подумать об общем ряде следующим образом:

Позволять $h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)$ быть приближением ряда $h(x)$, где $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ является основой пространства, содержащего $h(x)$

Предполагая, что $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ также является основой для $f(x)$, Мы можем определить $G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)$, поэтому мы имеем $\psi _{m}\circ f=\sum _{n}c_{n}(\psi _{m}\circ f)\cdot \psi _{n}=\sum _{n}G[f]_{mn}\cdot \psi _{n}$, теперь мы можем доказать, что $G[g\circ f]=G[g]\cdot G[f]$, если предположить, что $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ также является основой для $g(x)$ и $g(f(x))$.

Позволять $g(x)$ быть таким, что $\psi _{l}\circ g=\sum _{m}G[g]_{lm}\cdot \psi _{m}$ где $G[g]_{lm}=c_{m}(\psi _{l}\circ g)$.

Сейчас

${\begin{aligned}\sum _{n}G[g\circ f]_{ln}\psi _{n}=\psi _{l}\circ (g\circ f)&=(\psi _{l}\circ g)\circ f\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}(\psi _{m}\circ f)\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}\sum _{n}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n,m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n}(\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn})\psi _{n}\end{aligned}}$

Сравнивая первый и последний член, и из $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ быть базой для $f(x)$, $g(x)$ и $g(f(x))$ отсюда следует, что $G[g\circ f]=\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}=G[g]\cdot G[f]$

Примеры

Восстановить матрицу Карлемана (Тейлор)

Если мы установим $\psi _{n}(x)=x^{n}$ у нас есть матрица Карлемана . Потому что
$h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot x^{n}$
то мы знаем, что n-й коэффициент $c_{n}(h)$ должен быть n-м коэффициентом Тейлора ряда $h$. Поэтому $c_{n}(h)={\frac {1}{n!}}h^{(n)}(0)$
Поэтому $G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)=c_{n}(f(x)^{m})={\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(f(x))^{m}\right]_{x=0}$
Это матрица Карлемана, приведенная выше. (Важно отметить, что это не ортонормированный базис)

Матрица Карлемана для ортонормированного базиса

Если $\{e_{n}(x)\}_{n}$ является ортонормированным базисом гильбертова пространства с определенным скалярным произведением $\langle f,g\rangle$, мы можем установить $\psi _{n}=e_{n}$ и $c_{n}(h)$ будет ${\displaystyle \langle h,e_{n}\rangle }$. Затем $G[f]_{mn}=c_{n}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle$.

Матрица Карлемана для ряда Фурье

Если $e_{n}(x)=e^{inx}$ у нас есть аналог для ряда Фурье . Позволять ${\hat {c}}_{n}$ и ${\hat {G}}$ представляют коэффициент Карлемана и матрицу в базисе Фурье. Поскольку базис ортогональный, имеем.

${\hat {c}}_{n}(h)=\langle h,e_{n}\rangle ={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle h(x)\cdot e^{-inx}dx$.

Тогда, следовательно, ${\hat {G}}[f]_{mn}={\hat {c_{n}}}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle$ который

${\hat {G}}[f]_{mn}={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle e^{imf(x)}\cdot e^{-inx}dx$

Характеристики

Матрицы Карлемана удовлетворяют фундаментальному соотношению

• $M[f\circ g]=M[f]M[g]~,$

что делает матрицу Карлемана M (прямым) представлением $f(x)$. Здесь термин $f\circ g$ обозначает композицию функций $f(g(x))$.

Другие свойства включают в себя:

• $\,M[f^{n}]=M[f]^{n}$, где $\,f^{n}$ является повторяющейся функцией и
• $\,M[f^{-1}]=M[f]^{-1}$, где $\,f^{-1}$ — обратная функция (если матрица Карлемана обратима ).

Примеры

Матрица Карлемана константы:

$M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Матрица Карлемана тождественной функции:

$M_{x}[x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Матрица Карлемана постоянного сложения:

$M_{x}[a+x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Матрица Карлемана функции-преемника эквивалентна биномиальному коэффициенту :

$M_{x}[1+x]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&1&0&0&\cdots \\1&2&1&0&\cdots \\1&3&3&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[1+x]_{jk}={\binom {j}{k}}$

Матрица Карлемана логарифма связана с (подписанными) числами Стирлинга первого рода, масштабированными факториалами :

$M_{x}[\log(1+x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&-1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&-{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[\log(1+x)]_{jk}=s(k,j){\frac {j!}{k!}}$

Матрица Карлемана логарифма связана с (беззнаковыми) числами Стирлинга первого рода, масштабированными факториалами :

$M_{x}[-\log(1-x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[-\log(1-x)]_{jk}=|s(k,j)|{\frac {j!}{k!}}$

Матрица Карлемана показательной функции связана с числами Стирлинга второго рода, масштабированными факториалами :

$M_{x}[\exp(x)-1]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{24}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {7}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[\exp(x)-1]_{jk}=S(k,j){\frac {j!}{k!}}$

Матрица Карлемана показательных функций :

$M_{x}[\exp(ax)]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&a&{\frac {a^{2}}{2}}&{\frac {a^{3}}{6}}&\cdots \\1&2a&2a^{2}&{\frac {4a^{3}}{3}}&\cdots \\1&3a&{\frac {9a^{2}}{2}}&{\frac {9a^{3}}{2}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[\exp(ax)]_{jk}={\frac {(ja)^{k}}{k!}}$

Матрица Карлемана постоянного кратного:

$M_{x}[cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Матрица Карлемана линейной функции:

$M_{x}[a+cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Матрица Карлемана функции $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}$ является:

$M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Матрица Карлемана функции $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}$ является:

$M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Связанные матрицы

Матрица Белла или матрица Жаботинского функции $f(x)$ определяется как

$B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}~,$

так, чтобы удовлетворить уравнению

$(f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}~,$

Эти матрицы были разработаны в 1947 году Эри Жаботинским для представления сверток полиномов. Это транспонирование матрицы Карлемана и удовлетворяет

$B[f\circ g]=B[g]B[f]~,$ делает матрицу B антипредставлением Белла что $f(x)$.

См. также

• Линеаризация Карлемана
• Оператор композиции
• Функциональная композиция
• Уравнение Шредера
• Полиномы Белла

Ссылки

• Р. Алдрованди, Специальные матрицы математической физики : стохастические, циркулянтные матрицы и матрицы Белла, World Scientific, 2001. ( превью )
• Р. Альдрованди, Л. П. Фрейтас, Непрерывная итерация динамических карт , онлайн-препринт, 1997.
• П. Гралевич, К. Ковальски, Непрерывная эволюция во времени на основе итерированных карт и линеаризация Карлемана , онлайн-препринт, 2000.
• К. Ковальски и В. Х. Стиб, Нелинейные динамические системы и линеаризация Карлемана , World Scientific, 1991. ( превью )