Уравнение Шредера
уравнение Шредера , [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] названное в честь Эрнста Шредера , представляет собой функциональное уравнение с одной независимой переменной : по заданной функции h найдите функцию Ψ такую, что
Уравнение Шредера — это уравнение на собственные значения оператора композиции C h , которое переводит функцию f в f ( h (.)) .
Если a является неподвижной точкой h ) , то есть h ( a ) = a , то либо Ψ( a = 0 (или ∞ ), либо s = 1 . Таким образом, при условии, что Ψ( a ) конечно и Ψ′( a ) не обращается в нуль и не расходится, собственное значение s задается формулой s = h ′( a ) .
Функциональное значение
[ редактировать ]Для a = 0 , если h аналитичен на единичном круге, фиксирует 0 и 0 < | ч ′(0)| < 1 , то Габриэль Кенигс показал в 1884 году, что существует аналитический (нетривиальный) Ψ, удовлетворяющий уравнению Шредера. Это один из первых шагов в длинном ряду теорем, полезных для понимания операторов композиции в аналитических функциональных пространствах, ср. Функция Кенигса .
Уравнения, подобные уравнению Шредера, подходят для кодирования самоподобия и поэтому широко используются в исследованиях нелинейной динамики (часто называемой в просторечии теорией хаоса ). Он также используется в исследованиях турбулентности , а также в качестве ренормгруппы . [ 4 ] [ 5 ]
Эквивалентная транспонированная форма уравнения Шредера для обратного Φ = Ψ −1 функции сопряжения Шредера равна h (Φ( y )) = Φ( sy ) . Замена переменных α( x ) = log(Ψ( x ))/log( s ) ( функция Абеля ) далее преобразует уравнение Шредера в более старое уравнение Абеля , α( h ( x )) = α( x ) + 1 . Аналогично, замена переменных Ψ( x ) = log(φ( x )) преобразует уравнение Шредера в уравнение Бетчера , φ( h ( x )) = (φ( x )) с .
Более того, для скорости [ 5 ] β( x ) = Ψ/Ψ′ , , уравнение Джулии β ( f ( x )) = f ′( x )β( x ) , выполняется.
-я n степень решения уравнения Шредера дает решение уравнения Шредера с собственным значением s н , вместо. Точно так же для обратимого решения Ψ( x ) уравнения Шредера (необратимая) функция Ψ( x ) k (log Ψ( x )) также является решением для любой периодической функции k ( x ) с журнал периода ( ов ) . Таким образом связаны все решения уравнения Шредера.
Решения
[ редактировать ]Уравнение Шредера решалось аналитически, если a является притягивающим (но не сверхпритягивающим) фиксированная точка, то есть 0 < | час ′( а )| <1 Габриэля Кенигса (1884 г.). [ 6 ] [ 7 ]
В случае сверхпритягивающей неподвижной точки | час ′( а )| = 0 уравнение Шредера громоздко, и его лучше всего преобразовать в уравнение Бетчера . [ 8 ]
Существует большое количество частных решений, восходящих к оригинальной статье Шредера 1870 года. [ 1 ]
Разложение в ряд вокруг фиксированной точки и соответствующие свойства сходимости решения для полученной орбиты и его свойства аналитичности убедительно резюмированы Секересом . [ 9 ] Некоторые решения представлены в виде асимптотических рядов , ср. Матрица Карлемана .
Приложения
[ редактировать ]
Он используется для анализа дискретных динамических систем путем поиска новой системы координат, в которой система (орбита), порожденная h ( x ), выглядит проще и представляет собой простое расширение.
Более конкретно, система, для которой дискретный шаг по времени составляет x → h ( x ) , может иметь свою гладкую орбиту (или поток ), восстановленную из решения приведенного выше уравнения Шредера, его сопряжения уравнение .
То есть h ( x ) = Ψ −1 ( s Ψ( Икс )) ≡ час 1 ( Икс ) .
В общем, все его функциональные итерации (его итераций обычная группа , см. итерированную функцию ) предоставляются орбитой
для t вещественное — не обязательно положительное или целое число. (Таким образом, полная непрерывная группа .) Набор h n ( x ) , то есть всех положительных целых итераций h ( x ) ( полугруппы ), называется осколком (или последовательностью Пикара) h ( x ) .
Однако все итерации (дробные, бесконечно малые или отрицательные) h ( x ) также определяются посредством преобразования координат Ψ ( x ), определенного для решения уравнения Шредера: голографическая непрерывная интерполяция исходной дискретной рекурсии x → h ( x ) имеет построен; [ 10 ] по сути, вся орбита .
Например, функциональный квадратный корень равен h 1/2 ( x ) = Ψ −1 ( с 1/2 Ψ( x )) , так что h 1/2 ( h 1/2 ( x )) = h ( x ) и так далее.
Например, [ 11 ] специальные случаи логистического отображения, такие как хаотический случай h ( x ) = 4 x (1 − x ), уже были разработаны Шредером в его оригинальной статье. [ 1 ] (стр. 306),
- Ψ( x ) = (arcsin √ x ) 2 , s = 4 , и, следовательно, час t ( x ) = sin 2 (2 т дугсин √ Икс ) .
Фактически, это решение выглядит как движение, диктуемое последовательностью потенциалов обратного переключения: [ 12 ] V ( Икс ) ∝ Икс ( Икс - 1) ( nπ + arcsin √ Икс ) 2 , общая особенность непрерывных итераций, возникающая благодаря уравнению Шредера.
Нехаотический случай, который он также проиллюстрировал своим методом, h ( x ) = 2 x (1 − x ) , дает
- Ψ( Икс ) знак равно - 1 / 2 ln(1 - 2 x ) и, следовательно, час т ( x ) = - 1 / 2 ((1 - 2 Икс ) 2 т − 1) .
Аналогично, для –Холта модели Бевертона h ( x ) = x /(2 − x ) легко найти [ 10 ] Ψ( x ) = x /(1 − x ) , так что [ 13 ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Шредер, Эрнст (1870). «Об итерированных функциях». Математика . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992 .
- ^ Карлесон, Леннарт ; Гамелен, Теодор В. (1993). Сложная динамика . Серия учебников: Университеттекст: Трактаты по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97942-5 .
- ^ Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной . Математические монографии. Варшава: PWN – Польское научное издательство. ISBN 978-0-02-848110-4 . OCLC 489667432 .
- ^ Гелл-Манн, М .; Лоу, Ф.Е. (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF) . Физический обзор . 95 (5): 1300–1312. Бибкод : 1954PhRv...95.1300G . дои : 10.1103/PhysRev.95.1300 .
- ^ Jump up to: а б Куртрайт, ТЛ ; Захос, СК (март 2011 г.). «Функциональные уравнения ренормгруппы». Физический обзор D . 83 (6): 065019. arXiv : 1010.5174 . Бибкод : 2011PhRvD..83f5019C . дои : 10.1103/PhysRevD.83.065019 .
- ^ Кенигс, Г. (1884). «Исследование интегралов некоторых функциональных уравнений» (PDF) . Научные анналы Высшей нормальной школы . 1 (3, Приложение): 3–41. дои : 10.24033/asens.247 .
- ^ Эрдеш, Пол ; Жаботинский, Эри (1960). «Об аналитической итерации». Журнал Математического Анализа . 8 (1): 361–376. дои : 10.1007/BF02786856 .
- ^ Бетчер, Л.Е. (1904). «Основные законы сходимости итераций и их применение к анализу». Изв. Казань. Физ.-Мат. Обще. (Русский) . 14 : 155–234.
- ^ Секерес, Г. (1958). «Регулярное итерирование реальных и сложных функций» . Акта Математика . 100 (3–4): 361–376. дои : 10.1007/BF02559539 . [1]
- ^ Jump up to: а б Куртрайт, ТЛ ; Захос, СК (2009). «Профили эволюции и функциональные уравнения». Журнал физики А. 42 (48): 485208. arXiv : 0909.2424 . Бибкод : 2009JPhA...42V5208C . дои : 10.1088/1751-8113/42/48/485208 .
- ^ Куртрайт, Т.Л. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера .
- ^ Куртрайт, ТЛ ; Захос, СК (2010). «Хаотические карты, гамильтоновы потоки и голографические методы». Журнал физики А. 43 (44): 445101. arXiv : 1002.0104 . Бибкод : 2010JPhA...43R5101C . дои : 10.1088/1751-8113/43/44/445101 .
- ^ Скеллам, Дж. Г. (1951). «Случайное расселение в теоретических популяциях». Биометрика . 38 (1–2): 196–218. дои : 10.1093/biomet/38.1-2.196 . JSTOR 2332328 . См. уравнения 41, 42.